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1、离散数学课后题答案离散数学课后题答案 1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为 T。b)不是命题。c)是命题，真值要根据具体情况确定。d)不是命题。e)是命题，真值为 T。f)是命题，真值为 T。g)是命题，真值为 F。h)不是命题。i)不是命题。（2）解：原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）解：a)(P R)Q b)QR c)P d)PQ（4）解：a)设 Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q(RP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设 R:我在看电视。Q:我在吃苹果。RQ:我在看电视边吃苹果。c)设 Q:一个数是奇数。R:一

2、个数不能被 2 除。（QR）(RQ):一个数是奇数，则它不能被 2 整除并且一个数不能被 2 整除，则它是奇数。(5)解：a)设 P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。PQ b)设 P：小李看书。Q：小李听音乐。PQ c)设 P：气候很好。Q：气候很热。PQ d)设 P：a和 b 是偶数。Q：a+b 是偶数。PQ e)设 P：四边形 ABCD是平行四边形。Q：四边形 ABCD 的对边平行。PQ f)设 P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P Q）R(6)解：a)P:天气炎热。Q:正在下雨。PQ b)P:天气炎热。R:湿度较低。PR c)R:天正在下雨。S:湿度很高。RS d)A:刘英上山。B

3、:李进上山。AB e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。MN f)L:你看电影。M:我看电影。LM g)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。PQR h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PQ 1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式 c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和 S 之间缺少联结词）e)是合式公式。（2）解：a）A是合式公式，(AB)是合式公式，(A(AB)是合式公式。这个过程可以简记为：A；(AB)；(A(AB)同理可记 b）A；A；(AB)；(AB)A)c）A；A；B；(

4、AB)；(BA)；(AB)(BA)d）A；B；(AB)；(BA)；(AB)(BA)（3）解：a）(AC)(BC)A)(BC)A)(AC)b）(BA)(AB)。（4）解：a)是由 c)式进行代换得到，在 c)中用 Q代换 P,(PP)代换 Q.d)是由 a)式进行代换得到，在 a)中用 P(QP)代换 Q.e)是由 b)式进行代换得到，用 R代换 P,S 代换 Q,Q 代换 R,P代换 S.（5）解：a)P:你没有给我写信。R:信在途中丢失了。P Q b)P:张三不去。Q:李四不去。R:他就去。(PQ)R c)P:我们能划船。Q:我们能跑步。(PQ)d)P:你来了。Q:他唱歌。R:你伴奏。P(Q

5、R)（6）解：P:它占据空间。Q:它有质量。R:它不断变化。S:它是物质。这个人起初主张：(PQR)S 后来主张：(PQS)(SR)这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有 PQ必同时有 R，开头时没有这样的主张。（7）解：a)P:上午下雨。Q:我去看电影。R:我在家里读书。S:我在家里看报。(PQ)(P(RS)b)P:我今天进城。Q:天下雨。QP c)P:你走了。Q:我留下。QP 1-4 （4）解：a)P Q R QR P(QR)PQ(PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F T F F F T F F F T F F

6、F F F F F T T F F F F F F T F F F F F F F 所以，P(QR)(PQ)R b)P Q R QR P(QR)PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F 所以，P(QR)(PQ)R ）（）（）（）所以，P(QR)(PQ)(PR)）P Q P Q PQ(PQ)PQ(PQ)T T T F F T F F F F T T F T F T F T T T F T T T F F F T F F F T 所以，(PQ)PQ,(PQ)PQ（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式 F1F6，可表达为 P

7、 Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T T T T F T T F F T T F F F T F F F T F T T F F T T F T F F F T F T T F F T T T F F T T F F T F T F F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T T F1:(QP)R F2:(PQR)(PQR)F3:(PQ)(QR)F4:(PQR)(PQR)F5:(PQR)(PQR)F6:(PQR)(6)P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F F F T F T F T F T

8、F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T 解：由上表可得有关公式为 1.F 2.(PQ)3.(QP)4.P 5.(PQ)6.Q 7.(PQ)8.(PQ)9.PQ 10.PQ 11.Q 12.PQ 13.P 14.QP 15.PQ 16.T(7)证明：a)A(BA)A(BA)A(AB)A(AB)1 A(AB)b)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)或(AB)(AB)(BA)

9、(AB)(BA)(AB)(AA)(BB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB)(AB)(AB)c)(AB)(AB)AB d)(AB)(AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB)e)(ABC)D)(C(ABD)(ABC)D)(C(ABD)(ABC)D)(ABC)D)(ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(AB)D)f)A(BC)A(BC)(AB)C (AB)C (AB)C g)(AD)(BD)(AD)(BD)(AB)D (AB)D (AB)D h)(AB)C)(B(DC)(AB)C)(B(DC)(AB)(BD)C(AB)(DB)C(AB)(DB)C (

10、AD)B)C (B(DA)C（8）解：a)(AB)(BA)C (AB)(BA)C (AB)(AB)C TC C b)A(A(BB)(AA)(BB)TF T c)(ABC)(ABC)(AA)(BC)T(BC)BC（9）解：1）设 C为 T，A为 T，B 为 F，则满足 ACBC，但 AB不成立。2）设 C为 F，A为 T，B 为 F，则满足 ACBC，但 AB不成立。3）由题意知A和B的真值相同，所以 A和 B 的真值也相同。习题 1-5（1）证明：a)(P(PQ)Q (P(PQ)Q (PP)(PQ)Q (PQ)Q(PQ)Q PQQ PT T b)P(PQ)P(PQ)(PP)Q TQ T c)(

11、PQ)(QR)(PR)因为(PQ)(QR)(PR)所以(PQ)(QR)为重言式。d)(ab)(bc)(ca)(ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca)(ac)b)(ca)(ac)(ca)(b(ca)(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc)(ca)(ab)(bc)(ca)为重言式。（2）证明：a)(PQ)P(PQ)解法 1：设 PQ为 T （1）若 P 为 T，则 Q为 T，所以 PQ为 T，故 P(PQ)为 T（2）若 P 为 F，则 Q为 F，所以 PQ为 F，P(PQ)为 T 命题得证 解法 2：设 P(PQ)为 F，则 P 为 T，(PQ)为 F，故必有 P 为 T，Q为

12、F，所以 PQ为 F。解法 3：(PQ)(P(PQ)(PQ)(P(PQ)(PQ)(PP)(PQ)T 所以(PQ)P(PQ)b)(PQ)QPQ 设 PQ为 F，则 P 为 F，且 Q为 F，故 PQ为 T，(PQ)Q 为 F，所以(PQ)QPQ。c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ 设 RQ为 F，则 R为 T，且 Q为 F，又 PP 为 F 所以 Q(PP)为 T，R(PP)为 F 所以 R(R(PP)为 F，所以(Q(PP)(R(R(PP)为 F 即(Q(PP)(R(R(PP)RQ 成立。（3）解：a)PQ表示命题“如果 8 是偶数，那么糖果是甜的”。b)a)的逆换式 QP 表示命题“如果糖

13、果是甜的，那么 8 是偶数”。c)a)的反换式PQ 表示命题“如果 8 不是偶数，那么糖果不是甜的”。d)a)的逆反式QP 表示命题“如果糖果不是甜的，那么 8 不是偶数”。（4）解：a)如果天下雨，我不去。设 P：天下雨。Q：我不去。PQ 逆换式 QP 表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式QP 表示命题:如果我去，则天不下雨 b)仅当你走我将留下。设 S：你走了。R：我将留下。RS 逆换式 SR表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式SR 表示命题：如果你不走，则我不留下。c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设 E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。EH 逆换式 HE表示

14、命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式HE 表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明 PQ，Q逻辑蕴含 P。证明：解法 1：本题要求证明(PQ)QP,设(PQ)Q为 T，则(PQ)为 T，Q为 T，故由的定义，必有 P 为T。所以(PQ)QP 解法 2：由体题可知，即证(PQ)Q)P 是永真式。(PQ)Q)P (PQ)(PQ)Q)P (PQ)(PQ)Q)P (PQ)(PQ)Q)P (QPQ)(QPQ)P (QP)T)P QPP QT T（6）解：P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。如果我学习，那么我数学不会不及格：PQ 如果我不热衷于玩扑克，那么我

15、将学习:RP 但我数学不及格:Q 因此我热衷于玩扑克。R 即本题符号化为：(PQ)(RP)QR 证：证法 1：(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP)QPRP T 所以，论证有效。证法 2：设(PQ)(RP)Q为 T，则因 Q为 T，(PQ)为 T，可得 P 为 F，由(RP)为 T，得到 R为 T。故本题论证有效。（7）解：P：6 是偶数 Q：7 被 2 除尽 R：5 是素数 如果 6 是偶数，则 7 被 2 除不尽 PQ 或 5 不是素数，或 7 被 2 除尽 RQ 5 是素数 R 所以 6 是奇数 P 即本题符号化为：（PQ）

16、（RQ）R P 证：证法 1：(PQ)(RQ)R)P (PQ)(RQ)R)P (PQ)(RQ)R)P (PP)(PQ)(RR)(RQ)(PQ)(RQ)T 所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法 2：(PQ)(RQ)R为 T，则有 R为 T，且RQ 为 T，故 Q 为 T，再由 PQ 为 T，得到P 为 T。（8）证明：a)P(PQ)设 P 为 T，则P 为 F，故PQ为 T b)ABCC 假定ABC 为 T，则 C 为 T。c)CABB 因为 ABB 为永真，所以 CABB成立。d)(AB)AB 设(AB)为 T，则 AB为 F。若 A为 T，B为 F，则A为 F，B为 T，故AB 为

17、 T。若 A为 F，B为 T，则A为 T，B 为 F，故AB为 T。若 A为 F，B为 F，则A为 T，B 为 T，故AB 为 T。命题得证。e)A(BC)，DE，(DE)ABC 设A(BC)，DE，(DE)A 为 T，则 DE为 T，(DE)A 为 T，所以A为 T 又A(BC)为 T，所以 BC 为 T。命题得证。f)(AB)C，D，CDAB 设(AB)C，D，CD为 T，则D为 T，CD 为 T，所以 C为 F 又(AB)C 为 T，所以 AB为 F，所以AB为 T。命题得证。（9）解：a)如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气 Q：他将得胜 原命题：PQ 逆反式：QP 表示：如果他失败了

18、，说明他没勇气。b)仅当他不累他将得胜。P：他不累 Q：他得胜 原命题：QP 逆反式：PQ 表示：如果他累，他将失败。习题 1-6(1)解：a)(PQ)P(PP)Q(TQ)b)(P(QR)PQ (P(QR)PQ(PPQ)(QPQ)(RPQ)(PQ)(PQ)(PRQ)PQ(PQ)c)PQ(RP)PQ(RP)(PQR)(PQP)(PQR)F PQR(PQR)(2)解：a)P PP b)PQ(PQ)(PQ)(PQ)c)PQPQ(PP)(QQ)(3)解：P(PQ)P(PQ)T PP (PP)(PP)P(PP)P(PQ)P(PQ)T PP (PP)(PP)P)(PP)P)(PP)P)(4)解：PQ(PQ

19、)(PP)(QQ)(PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)证明：(BC)(BC)BC(BC)(BC)BC(6)解：联结词“”和“”不满足结合律。举例如下：a)给出一组指派：P 为 T，Q为 F，R为 F，则(PQ)R 为 T，P(QR)为 F 故(PQ)R P(QR).b)给出一组指派：P 为 T，Q为 F，R为 F，则(PQ)R 为 T，P(QR)为 F 故(PQ)R P(QR).(7)证明：设变元 P，Q，用连结词,作用于 P，Q得到：P，Q，P，Q，PQ，PP，QQ，QP。但 PQQP，PPQQ，故实际有：P，Q，P，Q，PQ，PP（T）（A）用作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式

20、类）：P，Q，P，Q，（PQ），T，F，PQ（B）用作用于（A）类，得到：PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，P（PP）P，QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ,PQPQ，P（PQ）Q，PTP,Q（PQ）P，QTQ,（PQ）（PQ）PQ.因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。对（B）类使用运算得：P，Q，P，Q，PQ，F，T，（PQ），仍在（B）类中。对（B）类使用运算得：PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，PTP，PFP，P（PQ）Q，QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ,QFQ，Q（PQ）P，PQPQ，P（PQ）Q，PTP,PFP,P（PQ）Q，Q（PQ）P，Q

21、TQ,QTQ,Q（PQ）P，（PQ）T（PQ），（PQ）FPQ，（PQ）（PQ）F TFF，T（PQ）PQ F（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）PQ.故由（B）类使用运算后，结果仍在（B）中。由上证明：用,两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故,不是功能完备的，更不能是最小联结词组。已证,不是最小联结词组，又因为 P Q（PQ），故任何命题公式中的联结词，如仅用,表达，则必可用,表达，其逆亦真。故,也必不是最小联结词组。(8)证明，和不是最小联结词组。证明：若，和是最小联结词，则 P（PP）P（PP）PP(P(P)对所有命题变元指派 T，则

22、等价式左边为 F，右边为 T，与等价表达式矛盾。所以，和不是最小联结词。(9)证明,和,是最小联结词组。证明：因为,为最小联结词组，且 PQPQ 所以,是功能完备的联结词组，又,都不是功能完备的联结词组。所以,是最小联结词组。又因为 PQ(P Q)，所以,是功能完备的联结词组，又,不是功能完备的联结词组，所以,是最小联结词组。习题 1-7(1)解：P(PQ)P(PQ)(PP)(PQ)P(PQ)(P(QQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(2)解：a)(PQ)R (PQ)R PQR (PQ)(PQ)(QR)(QR)(RP)(RP)b)P(QR)S)P(QR)S)PQRS (PQ)(PQ)(QR)

23、(QR)(RS)(RS)(SP)(SP)c)(PQ)(ST)(PQ)(ST)(PQS)(PQT)d)(PQ)R(PQ)R(PQ)R (PR)(QR)e)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ)(PQ)(QP)(3)解：a)P(PQR)(PP)(PQ)(PR)(PQ)(PR)b)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PPQ)(QPQ)c)(PQ)(PQ)PQ(PQ)(PQ)(QP)d)(PQ)R(PQ)R (PQ)R (PR)(QR)e)(PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ)(PQ)(QP)(4)解：a)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ

24、)(PQ)1，2，3 PQ=0 b)Q(PQ)(PQ)(QQ)PQ=3 0，1，2 (PQ)(PQ)(PQ)c)P(P(Q(QR)P(P(Q(QR)PQR=0 1，2，3,4,5,6,7=(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)d)(P(QR)(P(QR)(P(QR)(P(QR)(PP)(P(QR)(QR)P)(QR)(QR)(PQR)(PQR)=0,7 1，2，3,4,5,6 (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)e)P(P(QP)P(P(QP)(PP)(PQP)T(TQ)T 0,1,2,3=(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)f)(QP)(P

25、Q)(QP)PQ (QP)(PQ)F 0,1，2，3=(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(5)证明：a)(AB)(AC)(AB)(AC)A(BC)A(BC)(AB)(AC)b)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)A(BB)AT A(AB)(BA)(AB)(BA)A(BB)AF A c)AB(AB)(AA)(AB)B ABB F AB(AB)(AA)(AB)B ABB F d)A(A(AB)AA(AB)T AB(AB)(AB)(AB)T (6)解：AR(Q(RP),则 A*R(Q(RP)AR(Q(RP)(R(Q(RP)RQ(RP)(RQ)(RP)A*R(Q(RP)(R(Q(RP)RQ(

26、RP)(RQ)(RP)(7)解：设 A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。若 A去则 C 和 D 中要去一个。A(C D)B和 C不能都去。(BC)C去则 D要留下。CD 按题意应有：A(C D)，(BC)，CD必须同时成立。因为 C D (CD)(DC)故(A(C D)(BC)(CD)(A(CD)(DC)(BC)(CD)(A(CD)(DC)(BC)(CD)(A(CD)(DC)(BC)(BD)(CD)C)(ABC)(ABD)(ACD)(AC)(BCD)(CDBD)(CDCD)(CDC)(DCBC)(DCBD)(DCCD)(DCC)在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，

27、舍弃，得(AC)(BCD)（CD）(DCB)故分派的方法为：BD,或 DA,或 CA。(8)解：设 P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。由题意得(P Q)(R S)(E S)(PQ)(PQ)(RS)(RS)(ES)(ES)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(ES)(ES)因为 (PQRS)与(PQRS)不合题意，所以原式可化为 (PQRS)(PQRS)(ES)(ES)(PQRSES)(PQRSES)(PQRSES)(PQRSES)(PQRSE)(PQRSE)因 R与 E矛盾，故PQRSE为真，即 A不是第一，B 是第二，C不是第二，D为第四，A

28、不是第二。于是得：A是第三 B是第二 C 是第一 D是第四。习题 1-8(1)证明：a)(PQ)，QR，RP(1)R P(2)QR P (3)Q (1)(2)T,I (4)(PQ)P(5)PQ (4)T,E(6)P (3)(5)T,I b)J(MN)，(HG)J，HGMN(1)(HG)J P(2)(HG)P(3)J (1)(2)T,I(4)J(MN)P(5)MN (3)(4)T,I c)BC，(BC)(HG)GH(1)BC P (2)B (1)T,I (3)C (1)T,I (4)BC (2)T,I(5)CB (3)T,I(6)CB (4)T,E(7)BC (5)T,E(8)BC (6)(7)

29、T,E(9)(BC)(HG)P (10)HG (8)(9)T,I d)PQ，(QR)R，(PS)S(1)(QR)R (2)QR (1)T,I(3)R (1)T,I(4)Q (2)(3)T,I(5)PQ P(6)P (4)(5)T,I(7)(PS)P(8)PS (7)T,E(9)S (6)(8)T,I(2)证明：a)AB，CBAC(1)(AC)P (2)A (1)T,I(3)C (1)T,I(4)AB P(5)B (2)(4)T,I(6)CB P(7)B (3)(6)T,I(8)BB 矛盾。(5),(7)b)A(BC)，(CD)E，F(DE)A(BF)(1)(A(BF)P(2)A (1)T,I(

30、3)(BF)(1)T,I(4)B (3)T,I(5)F (3)T,(6)A(BC)P(7)BC (2)(6)T,I(8)C (4)(7)T,I(9)F(DE)P (10)DE (5)(9)T,I(11)D (10)T,I(12)CD (8)(11)T,I (13)(CD)E P(14)E (12)(13)T,I(15)E (10)T,I(16)EE 矛盾。(14),(15)c)ABCD，DEFAF(1)(AF)P(2)A (1)T,I(3)F (1)T,I(4)AB (2)T,I(5)(AB)CD P(6)CD (4)(5)T,I(7)C (6)T,I(8)D (6)T,I(9)DE (8)T

31、,I(10)DEF P(11)F (9)(10)T,I(12)FF 矛盾。(3),(11)d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE)BE(1)(BE)P(2)B (1)T,I(3)E (1)T,I(4)BD P(5)D (2)(4)T,I(6)(EF)D P (7)(EF)(5)(6)T,I(8)E (7)T,I(9)EE 矛盾 e)(AB)(CD)，(BE)(DF)，(EF)，ACA(1)(AB)(CD)P(2)AB (1)T,I(3)(BE)(DF)P(4)BE (3)T,I(5)AE (2)(4)T,I(6)(EF)P(7)EF (6)T,E(8)EF (7)T,E(9)AF (5)(

32、8)T,I(10)CD (1)T,I(11)DF (3)T,I(12)CF (10)(10)T,I(13)AC P(14)AF (13)(12)T,I(15)FA (14)T,E(16)AA (9)(15)T,I(17)AA (16)T,E(18)A (17)T,E(3)证明：a)AB，CBAC(1)A P(2)AB P(3)B (1)(2)T,I(4)CB P(5)C (3)(4)T,I(6)AC CP b)A(BC)，(CD)E，F(DE)A(BF)(1)A P (2)A(BC)P (3)BC (1)(2)T,I(4)B P (5)C (3)(4)T,I(6)(CD)E P (7)C(DE

33、)(6)T,E(8)DE (5)(7)T,I(9)DE (8)T,E(10)(DE)(9)T,E(11)F(DE)P(12)F (10)(11)T,I(13)BF CP(14)A(BF)CP c)ABCD，DEFAF(1)A P(2)AB (1)T,I(3)ABCD P(4)CD (2)(3)T,I(5)D (4)T,I(6)DE (5)T,I(7)DEF P(8)F (6)(7)T,I(9)AF CP d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE)BE(1)B P(附加前提)(2)BD P(3)D (1)(2)T,I(4)(EF)D P(5)(EF)(3)(4)T,I(6)E (5)T,I(7)BE CP(4)证明：a)RQ，RS，SQ，PQP(1)RQ P(2)RS P(3)SQ P(4)Q (1)(2)(3)T,I(5)PQ P(6)P (4)(5)T,I b)SQ，SR，R，PQP