从平面向量到空间向量导学案.docx

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从平面向量到空间向量导学案

从平面向量到空间向量导学案

　　§1从平面向量到空间向量

　　学习目标

　　了解向量由平面到空间的推导过程

　　理解空间向量的概念

　　理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求直线的方向向量和平面的法向量

　　学习过程

　　一、课前准备

　　复习：

平面向量基本概念：

　　具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量，的相反向量记着.叫相等向量，向量的表示方法有，，

　　和共三种方法.

　　二、新课导学

　　※学习探究

　　探究任务一：

空间向量的相关概念

　　问题：

1.什么叫空间向量？

　　空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？

　　空间向量如何表示？

　　向量的夹角的概念、表示、垂直与平行如何表示？

　　探究任务二：

向量、直线、平面的相关概念

　　问题：

1.直线的方向向量概念

　　平面的法向量概念

　　※典型例题

　　例1见P26思考与交流例子

　　三、总结提升

　　※学习小结

　　空间向量基本概念；

　　直线的方向向量概念

　　平面的法向量的概念

　　向量的夹角及垂直、平行与夹角的关系

　　学习评价

　　※自我评价你完成本节导学案的情况为.

　　A.很好B.较好c.一般D.较差

　　※当堂检测计分：

　　下列说法中正确的是

　　A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;

　　B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;

　　c.空间向量的减法满足结合律;

　　D.在四边形ABcD中，一定有.

　　已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是

　　A.B.或

　　c.D.∣∣=∣∣

　　在四边形ABcD中，若,则四边形是

　　A.矩形B.菱形c.正方形D.平行四边形

　　下列说法正确的是

　　A.零向量没有方向

　　B.空间向量不可以平行移动

　　c.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

　　D.同向且等长的有向线段表示同一向量

　　§2空间向量的运算

　　一、选择题

　　下列说法中正确的是

　　A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;

　　B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;

　　c.空间向量的减法满足结合律;

　　D.在四边形ABcD中，一定有.

　　已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是

　　A.B.或

　　c.D.∣∣=∣∣

　　下列说法正确的是

　　A.零向量没有方向

　　B.空间向量不可以平行移动

　　c.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

　　D.同向且等长的有向线段表示同一向量

　　二、填空题

　　长方体中，化简=.

　　如果都是平面的法向量，则的关系.

　　三、解答题

　　已知平行六面体,为Ac与BD的交点，化简下列表达式：

　　⑴;⑵;

　　⑶；⑷.

　　创新与实践:

　　已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

　　错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§2空间向量的运算

　　一、选择题

　　下列说法正确的是

　　A.向量与非零向量共线，与共线，则与共线；

　　B.任意两个共线向量不一定是共线向量；

　　c.任意两个共线向量相等；

　　D.若向量与共线，则.

　　已知平行六面体，是Ac与BD交点，若，

　　则与相等的向量是

　　A.B.

　　c.D.

　　下列命题中：

　　①若，则，中至少一个为

　　②若且，则

　　③

　　④

　　正确有个数为

　　A.0个B.1个c.2个D.3个

　　二、填空题

　　已知中，所对的边为，且,,则=

　　已知向量满足，，，则________

　　三、解答题

　　已知平行六面体，点是棱AA的中点，点G在对角线Ac上，且cG:

GA=2:

1,设=，，试用向量表示向量.

　　创新与实践:

　　已知为平行四边形，且，求的坐标.

　　错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§3向量的坐标表示和空间向量基本定理

　　一、选择题

　　则

　　A．－15B．－5c．－3D．－1

　　若，且的夹角为钝角，则的取值范围是

　　A.B.c.D.

　　已知，且，则

　　A.B.

　　c.D.

　　二、填空题

　　设i、j、为空间直角坐标系o-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且

　　则点B的坐标是.

　　已知，且，则x＝.

　　三、解答题

　　已知，求：

　　⑴；⑵；⑶；⑷；.

　　创新与实践:

　　已知A、B，求：

　　⑴线段AB的中点坐标和长度；

　　⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．

　　错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§3向量的坐标表示和空间向量基本定理

　　一、选择题

　　若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是

　　A.B.

　　c.D.

　　在下列命题中：

①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为

　　A．0B.1c.2D.3

　　已知,与的夹角为120°，则的值为

　　A.B.c.D.

　　二、填空题

　　在三棱锥oABc中，G是的重心，选取为基

　　底，试用基底表示＝.

　　已知关于x的方程有两个实根，，且

　　当t＝时，的模取得最大值.

　　三、解答题

　　如图,在单位正方体中，点分别是的一个四等分点.

　　求与的坐标;

　　求与所成的角的余弦值．

　　创新与实践:

　　如图，正方体的棱长为，

　　⑴求的夹角；⑵求证：

.错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§4用向量讨论垂直与平行

　　一、选择题

　　若＝，＝，则是的

　　A.充分不必要条件B.必要不充分条

　　c.充要条件D.既不充分又不不要条

　　已知且与互相垂直，则的值是

　　A.1B.c.D.

　　下列各组向量中不平行的是

　　A.B.

　　c.D.

　　二、填空题

　　设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系

　　是.

　　已知向量，若，则______；若则______.

　　三、解答题

　　设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：

　　⑴；

　　⑵.

　　创新与实践:

　　如图，在四棱锥P—ABcD中，底面ABcD为正方形，PD⊥平面ABcD，且PD=AB=a，E为PB的中点，在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBc。

错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§4用向量讨论垂直与平行

　　一、选择题

　　下列说法正确的是

　　A.平面的法向量是唯一确定的

　　B.一条直线的方向向量是唯一确定的

　　c.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量

　　D.若是直线的方向向量，，则

　　已知，能做平面的法向量的是

　　A.B.c.D.

　　已知，，则以、为邻边的平行四边形的面积为

　　A.B.c.4D.

　　二、填空题

　　设分别是平面的法向量，则平面的位置关系

　　是.

　　若向量，则这两个向量的位置关系是___________.

　　三、解答题

　　如图，在四面体中，，点分别是的中点．

　　求证：

　　直线面；

　　平面面．

　　创新与实践:

　　用向量方法证明：

如果平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线b,那么直线垂直于直线b在这个平面上的射影.

　　错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§5夹角的计算

　　一、选择题

　　已知向量，若，设，则与轴夹角

　　的余弦值为

　　Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

　　若，，与的夹角为，则的值为

　　A.17或-1B.-17或1c.-1D.1

　　在正方体中，为的交点，则与所成角的

　　Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.

　　二、填空题

　　若，且，则与的夹角为____________.

　　若向量与的夹角为，，，则.

　　三、解答题

　　设空间两个不同的单位向量与向量的夹角

　　都等于45.

　　求和的值；求的大小.

　　创新与实践:

　　如图，已知点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.

　　求DP与所成角的大小.

　　错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§5夹角的计算

　　一、选择题

　　若A，B，c，则△ABc的形状是

　　A.不等边锐角三角形B.直角三角形c.钝角三角形D.等边三角形

　　若向量，且与的夹角余弦为，则等于

　　A.B.c.或D.或

　　如图，在长方体ABcD-A1B1c1D1中，AB=Bc=2,AA1=1,则Bc1与平面BB1D1D所成

　　角的正弦值为

　　A.B.

　　c.D.

　　二、填空题

　　直三棱柱ABc—A1B1c1中，∠AcB=90°，，AA1=6，E为AA1

　　的中点，则平面EBc1与平面ABc所成的二面角的大小为.

　　在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面

　　直线和所成角的余弦值为.

　　三、解答题

　　如图3，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，是直角，，求异面直线与所成角的大小.创新与实践:

　　如图，直三棱柱ABc—A1B1c1中，∠AcB=90°，Ac=AA1=1，,AB1与A1B相交于点D，为B1c1的中点.

　　求证：

cD⊥平面BD；

　　求平面B1BD与平面cBD所成二面角的大小.

　　错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§6距离的计算

　　一、选择题

　　设，，，则线段的中点到点的距离

　　为

　　A.B.c.D.

　　如图，ABcD-A1B1c1D1为正方体，下面结论错误的是

　　A.BD∥平面cB1D1

　　B.Ac1⊥BD

　　c.Ac1⊥平面cB1D1

　　D.异面直线AD与cB1所成的角为60°

　　四边形为正方形，为平面外一点，，二面角

　　为，则到的距离为

　　Ａ．Ｂ．Ｃ．2Ｄ．

　　二、填空题

　　如图，P—ABcD是正四棱锥，是正方体，

　　其中，则到平面PAD的距离为.

　　已知正方体的棱长是，则直线与

　　间的距离为。

　　三、解答题

　　如图所示的多面体是由底面为ABcD的长方体被截面AEc1F所截而得到的，其中AB=4,Bc=2,cc1=3,BE=1,求点c到平面AEc1F的距离.创新与实践:

　　如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.

　　错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　§6距离的计算

　　一、选择题

　　正方体的棱长为1，

　　是的中点，则点到平面距离等于

　　Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.

　　．一条长为的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是和，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是

　　Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

　　三角形ABc的三个顶点分别是，，，则Ac边上的高BD长为

　　A.5B.c.4D.

　　二、填空题

　　已知是异面直线，那么：

　　①必存在平面过且与平行；②必存在平面过且与垂直；

　　③必存在平面与都垂直；④必存在平面与距离都相等．

　　其中正确命题的序号是．

　　已知空间四边形，点分别为的中点，且

　　,用，，表示，则=______________________.

　　三、解答题

　　如图，在长方体中，，点在棱上移

　　证明：

；

　　当为的中点时，求点到面的距离.

　　创新与实践:

　　如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.求在侧面内找一点，使面，并计算点到和的距离.

　　错误反思

　　题号错题分析正确解法

　　本章小结测试

　　一、选择题

　　已知，则的最小值是

　　A.B.c.D.

　　将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为

　　A.B.c.D.

　　正方体的棱长为，,N是的中点，则＝

　　A.B.c.D.

　　二、填空题

　　已知，且，则＝

　　空间两个单位向量与的夹角都等于，则.

　　三、解答题

　　如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点.

　　⑴求证：

;

　　⑵求与所成角的余弦值；

　　⑶求的长.创新与实践:

　　如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？

这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？