向量组的线性相关与线性无关.docx

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向量组的线性相关与线性无关

向■组的线性相关与线性无关

仁线性组合

设6/）,eR",Al，®…&eR,称心4+k2a2+--+k,at为⑷心,…“的一

个线性组合。

【备注11按分块矩阵的运算规则，+k2a2+•••+ktat=a,）\。

这

样的表示是有好处的。

2.线性表示

设mg…awRJbwRJ如果存在&卡2、…使得

b=kxa}+k2a2+…+ktat

则称b可由坷,勺，…,勺线性表示。

b=k}ai+k2a2+---+k,al,写成矩阵形式，即Z?

=（绚宀，…，勺）\。

因此，〃可

■

■

*、

由％心，…，4线性表示即线性方程组（兔,©，…，勺）灯有解，而该方程组有解

■

■

当且仅当厂（4，“2，・・・，4）=「（"]42，・・・,勺上）o

3.向■组等价

设a】®,…,eRn,如果坷宀,…，勺中每一个向量都可以由

勺,E，…线性表示，则称向量组纠卫2,…"可以由向量组»%,•••,»线性表示。

如果向量组…,4和向量组4%…,b、可以相互线性表示，则称这两个向

量组是等价的。

向量组等价的性质:

（1）自反性任何一个向量组都与自身等价。

（2）对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。

⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。

证明：

自反性与对称性直接从定义得出。

至于传递性，简单计算即可得到。

设向量组I为竹宀，…，勺，向量组H为b血向量组III为eg,…,q。

向量组11可由III线性表示，假设坷=乞ykjck,丿*=1,2,…,s。

向量组I可ill向量组II线性表示，假设=因此，

JXII3

4=2＞也=工心艺=工（工场勺）5「=12

/■】/■】A:

—1J—1

因此，向量组I可由向量组III线性表示。

向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次,同样可得出，向量组III可由I线性表示。

因此，向量组I与III等价。

结论成立！

4.线性相关与线性无关

设勺卫2,…，4已尺"，如果存在不全为零的数«,込,使得

kxaA+k2a2+…+kta,=0

则称％勺，…M线性相关，否则，称2"…耳线性无关。

按照线性表示的矩阵记法，5，勺，…，4线性相关即齐次线性方程组

（厲心，…“）.=0

■

■

有非零解，当且仅当g,©，q）v/。

绚,勺，…,ai线性无关，即

（心2，・・・，4）•=。

■

■

只有零解，当且仅当如「①，…，q）=f。

特别的，若/=H，则4,勺，…€尺"线性无关"1且仅当厂（4，。

2,"，

当且仅当©，他，…，。

“）可逆，当且仅当|（5皿2，「6）|工0。

例仁单独一个向量心"线性相关即“=0,线性无关即"H0。

因为，若"线性相关，则存在数k工o,使得滋=o,于是。

=o。

而若“=o,由于1•。

=a=o,1工o因此，“线性相关。

例2.两个向量a^beR11线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。

因为，若匕方线性相关，则存在不全为零的数也,使得心也=0。

心,広不全为零，不妨

假设心,则—缸,畑平行,即对应分量成比例。

如果心平彳亍，不妨

方法唯一。

事实上,

x=

/、

•V1

V2

=召

T

0

+X2

"0、

1

+兀3

o

0

0

丄

5•线性相关与无关的性质

（1）若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。

证明:

设s吆…“匹川，其中有一个为零，不妨假设q=0,则

0・q+0・a?

0-+10=0

因此，"[，勺‘…‘勺线性相关。

（2）若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。

证明：

设5心、0\、卩「…、伏已R",终,°2,…，勺线性相关。

存在不全为零的数

使得

这样,

kxax+k2a2+•••+&&『+00]+O・0]+•・・+（）•0、=0

k\、k“・・、ki不全为零,因此,（1\、（1"・・・、（1［、卩\、卩2、・・、0、线性相关。

后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。

（3）若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的

新向量组仍然线性无关。

证明:

设55…4"为一组线性无关的向量。

不妨假设新的元素都增加在向量

则比“+耳—+…+出匕二。

。

由向量组仆色…"线性相关，可以得到«=込=・・・=&=0。

结论得证！

（4）向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以山其余向量线性表示。

证明：

设q畑…aeRn为一组向量。

必要性若…，勺线性相关，则存在一组不全为零的数k\、k“・・、k「使得

kxax+k2a2+…+ktag=0k\、k“・・K不全为零,设k严,则

kg+…+“戸+勺+"问+•••+/◎

充分性若4,勺，…，4中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设©可以表示成…,％，勺+],•••“的线性组合，则存在一组数他，…,S，伤+i，，使得

aj=叭+…kj-Wp+伤+"/+]+•••+/©

也就是

但心_1，-1,©+],•••,«不全为零，因此，舛宀,…,q线性无关。

【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以山其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。

（5）若①,©，…,勺已R"线性无关,b已R",使得…,“丿线性相关，则b可由“["，…，勺线性表示，且表示方法唯一。

证明：

5*2,…,厲，b线性相关，因此，存在不全为零的数匕人，…&&+】，使得

kg+k2a2+…+ktat+kt+ib=0

匕+iH0,否则kl+l=0,则切]+k2a2+…+ktat=0o由州,幻,4线性无关，我们就得到«兮…#=0,这样,々，匕，…，心,&+|均为零，与其不全为零矛盾！

这样，

b_也+也+•••+/

di

因此，方可由勺,。

2'…'勺线性表示。

假设b=Wi+x2a2+・・・+兀舛=yxax+y2a2+・・・+$“，则

（西一比M+（x2一y2）a2+・・・+（兀一=0

由5，勺,・・・，4线性无关，有州一“=吃一比=•・・=兀一X=0,即

召=）1心=儿，…，兀

因此，表示法唯一。

【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组％线

性表示，则表示法唯一。

事实上，向量b可由线性无关向量组角，…宀线性表示,

即线性方程组=b有解。

而％•••“线性无关，即「⑷,…,q）=/。

因此,若有解，当然解唯一，即表示法唯一。

⑹若线性无关向量组q,“2，…，4可由向量组妬厶，…,b,线性表示，则t

证明：

假设结论不成立，于是r>s。

…4可由勺,E，…也线性表示。

假设

/、

X21

■

■

■

几

di）

q=斗心+勺肉+…+九0=%b「…、bj

a2=x12^+x22b2+--+xs2bi=（b\、b»・・・、b）

/、

%=X山十心S+…十x、「b、=（九.…也）

■

■

任取kg・・g则

…叮

kg+k2a2+•・•+也=（即&2,…吗）

■

■

■

■

%V22

••

••

••

…G

•♦

••

•♦

k2

•

Z“2

♦•・X

r/

&>

兀21兀22…X2;

必有非零解，设为

于是kxax+k2a2+--+ktal=0o因此，存在一组不全为

零的数…使得切+也+・・・+也=0。

因此，向量组ay…厲线性相关，这与向量组勺色…皿线性无关矛盾！

因此，Z<^o

（7）若两线性无关向量组%吆…,勺和％L…也可以相互线性表示,贝ijr=5o

证明：

由性质（6）,/<5,S

【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。

（8）设①心，…,a（R“，P为”阶可逆矩阵,则％他，…，4线性无关当且仅当

Pa“Ps…、Pa（线性无关。

b可由①卫“…、4线性表示，且仅当Pb可由

PgPSsPq线性表示。

若可以线性表示，表示的系数不变。

证明：

由于P可逆，因此

+^2a2+…+=0oP（kg+k2ci2+…+ktat）=0

ok}（Pq）+k2（Pa2）+・・・+&（Pq）=0k{at+k2a2+・・・+£“=boPgq+k2a2+…+k“）=b

oki（PaJ+k[（Pa2）+・・・+kf（PaJ=Pb如此，结论得证！

6.极大线性无关组

定义1设勺,“2,…,q已川，如果存在部分向量组％,%，…,％，使得

（1）气,%•••,%线性无关；

（2）吗,勺，…，e中每一个向量都可以由%%，…,％线性表示;

则称气,色，…,％为a\,“2，…，q的极大线性无关组。

【备注5】设“"2,…,qe川，仆作，…叫为其极大线性无关组。

按照定义，绚屉…，终可由%,叫…,％线性表示。

但另一方面,色，…,q也显然可以由"["，…，勺线性表示。

因此，"”血，…“与件，你，…，作等价。

也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。

向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。

它们乂都是线性无关的，因此，山之前的性质（7）,向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。

这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。

【备注6】按照定义，向量组“色，…，4线性无关，充分必要条件即其秩为八定义2设55・・・宀已R”，如果其中有厂个线性无关的向量6,%,•••,%,但没有更多的线性无关向量，则称他叫,…,％为5心，的极大线性无关组，而「为勺,《，…，勺的秩。

【备注7】定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。

一方面，有r个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，乂体现了

“极大性”。

【备注8】两个定义之间是等价的。

一方面，如果他叫，…叫线性无关，且吗宀,…,终中每一个向量都可以由气，％％线性表示，那么，纠宀，…，％就没有更多的线性无关向量,否则，假设有，设为久仇，…厶，5>/o务仇,…,®当然

可以由仆％…叫线性表示，且还线性无关，按照性质⑹，5

另一方面，假设气,气,…，气为坷,。

2,…，吗中厂个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量，任取即勺，…"中一个向量，记为b，则b线性相关。

按照性质（5）,b可有%,%，…叫线性表示（且表示方法唯一）。

【备注9】设向量组厲心，…“的秩为广，则其极大线性无关向量组含有r个向量。

反过来，其中任何厂个线性无关向量所成的向量组也是即心…"的一个极大线性无关组。

这从定义即可得到。

6.向量组的秩的矩阵的秩的关系

称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A的行秩。

定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。

证明：

设A=）eRmKn,r（A）=ro将其按列分块为A=（厲“，…"）。

存在〃［阶

可逆矩阵P,使得必为行最简形，不妨设为

rl

0・••

1•…

■

■

0

0

■

^l.r+1

E.r+l

•

•

■

■

PA.=（Pa},Pa2，…,PaJ=

■

■

1

•

•

…几

0

0・・•

0

0

…0

♦♦•

3

••••••

0•…

•••

0

•••

0

••••••

…0）

线性无关，且尢4中其余列向量都可以山其线性表示，因此,

关，且A中其余列向量均可山其线性表示（且表示的系数不变）。

因此，A的列秩等于A的秩。

将A按行分块，A=:

则屮=（久人，…,乞），因此，按照前面的结论，AkJ

的行秩为A7"的秩，而4?

的秩等于A的秩。

至此，结论证明完毕！

【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。

7.扩充定理

定理2设54,…皿已川，秩为"勺叫，…叫为其中的斤个线性无关的向量,

k

证明：

如果k=r,则气,％…,％已经是⑷,“2,…“的一个极大线性无关组，无须再添加向量。

如果k

54,…,4必有元素不能由其线性表示，设为％_，由性质⑸，向量组

如果k+\=r,则气,％，…，％,%已经是纠宀，…，纠的一个极大线性无关组,无须再添加向量。

如果k+\

同样的过程一直进行下去，直到得到厂个线性无关的向量为止。

【备注11］证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。

只是，这方法并不好实现。

8.求极大线性无关组并将其余向■由极大线性无关组线性表示

求向量组％佝,…qeR”的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。

（1）将ava2,--at合在一起写成一个矩阵人=（务,吆・叫）;

（2）将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为

如-

•切

久r+1•

•九、

0

•

■

“22*

-b2r

■

♦

^2.r+l

■

♦■

•b2.n

•

■

AT

■

0

0.

••

■

•

•br.n

=B,SH0J=1,2,,

r=r（A）

0

■

0•

•0

0・

■

・0

•

■

■

<0

•♦••

0•

■

•0

■

■

0・

•

•

•07

⑶在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为皿…j列，则j"，…i为B列向量组的极大线性线性无关组，也是A列向量组的极大线性线性无关组，也就是时2，叫的极大线性无关组。

为了在上半部分寻找r个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找厂阶的非奇异子矩阵。

厂阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。

显而易见，上面矩阵第1到笫，•列即向量组的一个极大线性无关组。

其余情形同理。

（4）将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。

这时候得解方程组。

我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。

不妨设行最简形为

在8中笫1到第厂列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组

合也非常容易，表示系数即对应的分量。

于是，在4中，第1到第r列为列向量

组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数与B中的一致。

我们的理论依据是性质（8）。

并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。

【解答】记A=（al,a2,a3ya4,as）,

丫2

1

-1

1

-1

-2

I

1

2>

4

<1

2

I

-1

-2

-1

1

1

4、

2

r>-2n心的

j

0

1

-3

-2

3

1

-1

4、

-6

A=

T

4

-6

2

-2

4

4

-6

2

-2

4

口-3斤

0

-10

10

-6

-12

2

6

-9

7

9丿

\3

6

-9

7

9丿

<0

3

一3

4

一3丿

因此，A的列向量的一个极大线性无关组为5=-®-心,a4=4q+—3©。