向量组的线性相关与线性无关.docx

1、向量组的线性相关与线性无关向组的线性相关与线性无关仁线性组合设6/）,e R, Al，& e R ,称心4 + k2a2+- +k,at 为心,“的一个线性组合。【备注11按分块矩阵的运算规则，+ k2a2 + + ktat = a,） 。这样的表示是有好处的。2.线性表示设mgawRJ bwRJ如果存在&卡2、使得b = kxa + k2a2 + + ktat则称b可由坷,勺，,勺线性表示。b = kai +k2a2+- + k,al ,写成矩阵形式，即Z?=（绚宀，勺）。因此，可*、由心，4线性表示即线性方程组（兔,，勺）灯有解，而该方程组有解当且仅当厂（4，“2，4）=（42，,勺上）o

2、3.向组等价设a】,e Rn,如果坷宀,，勺中每一个向量都可以由勺,E，线性表示，则称向量组纠卫2,可以由向量组%,线性表示。如果向量组,4和向量组4%,b、可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。向量组等价的性质:(1)自反性任何一个向量组都与自身等价。(2)对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为竹宀，勺，向量组H为b血向量组III为eg,q。 向量组11可由III线性表示，假设坷=乞ykjck,丿* = 1,2,s

3、。向量组I可ill向 量组II线性表示，假设= 因此，J X I I 34 =2也=工心艺=工(工场勺)5= 12/】 /】 A:1 J1因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次, 同样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立！4.线性相关与线性无关设勺卫2,，4已尺，如果存在不全为零的数,込,使得kxaA + k2a2 + + kta, = 0则称勺，M线性相关，否则，称 2耳线性无关。按照线性表示的矩阵记法，5，勺，4线性相关即齐次线性方程组(厲心，“).=0有非零解，当且仅当g,，q)

4、v /。绚,勺，,ai线性无关，即（心2，4）=。只有零解，当且仅当如，q）=f。特别的，若/ = H，则4,勺，尺线性无关1且仅当厂（4，。2,，当且仅当，他，。“）可逆，当且仅当|（5皿2，6）|工0。例仁 单独一个向量心线性相关即“=0,线性无关即H0。因为，若线性 相关，则存在数k工o,使得滋=o,于是。=o。而若“ =o,由于1 。=a=o, 1工o 因此，“线性相关。例2.两个向量abeR11线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若匕方 线性相关，则存在不全为零的数也,使得心也 =0。心,広不全为零，不妨假设心,则缸,畑平行,即对应分量成比例。如果心平彳亍，不妨方法唯一。事

5、实上,x =/ 、V1V2=召T0+ X20、1+兀3o00丄5 线性相关与无关的性质（1）若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明:设s吆“匹川，其中有一个为零，不妨假设q=0,则0 q + 0 a? 0-+ 10 = 0因此，勺勺线性相关。(2)若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设5心、0、卩、伏已R,终,2,，勺线性相关。存在不全为零的数使得这样,kxax +k2a2 + + & +00 +O0 + + () 0、=0k、k“、ki不全为零,因此,(1、(1、(1、卩、卩2、0、线性相关。

6、后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3)若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。证明:设554 为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量则比“+耳+出匕二。由向量组仆色线性相关，可以得到 =込= = & =0。结论得证！(4)向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以山其余向量线性表示。证明：设q畑a e Rn为一组向量。必要性若，勺线性相关，则存在一组不全为零的数k、k“、k使得kxax + k2a2 + + ktag = 0 k、k“K不全为零,设k严,则 kg + + “戸 + 勺+问 + + /充分性若4,勺，4中某个

7、向量可以表示成其余向量的线性组合，假设 可以表示成,，勺+,“的线性组合，则存在一组数他，,S，伤+i， 使得a j =叭 + kj-Wp + 伤+/+ + + /也就是但心_1，-1,+,不全为零，因此，舛宀,q线性无关。【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以山其余向量线性表示，而 不是全部向量都可以。（5）若,，,勺已R线性无关,b已R,使得,“丿线性相关，则b可由 “，勺线性表示，且表示方法唯一。证明：5*2,厲，b线性相关，因此，存在不全为零的数匕人，&+】，使得kg + k2a2 + + ktat + kt+ib = 0匕+i H0 ,否则kl+l = 0,则切+ k2a2

8、 + ktat =0 o由州,幻,4线性无关，我们 就得到兮#=0,这样,，匕，心,&+|均为零，与其不全为零矛盾！ 这样，b_ 也+也+ + /di因此，方可由勺,。2勺线性表示。假设b = Wi +x2a2 + +兀舛=yxax + y2a2 +$“，则（西一比M + （x2 一 y2）a2 + + （兀一 = 0由5，勺,，4线性无关，有州一 “=吃一比= =兀一 X =0,即召=)1心=儿，兀因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组角，宀线性表示,即线性方程组= b有解。而“线性无关，即,q

9、) = /。因此, 若有解，当然解唯一，即表示法唯一。 若线性无关向量组q,“2，4可由向量组妬厶，,b,线性表示，则ts。4可由勺,E，也线性表示。假设/ 、X21几di）q =斗心+勺肉+九0 =%b、bja2 =x12 +x22b2+- + xs2bi =（b、b、b）/ 、% = X山十心S +十x、b、=(九.也)任取kgg则xn xn叮兀21兀22 X2;必有非零解，设为,于是kxax +k2a2+- + ktal =0 o因此，存在一组不全为零的数使得切+也+也=0。因此，向量组ay厲线性相 关，这与向量组勺色皿线性无关矛盾！因此，Zo(7)若两线性无关向量组%吆,勺和L也可以相

10、互线性表示,贝ijr = 5o证明：由性质(6), / 5, S/o务仇,当然可以由仆叫线性表示，且还线性无关，按照性质，5r,这与假设矛 盾！另一方面，假设气,气,，气为坷,。2,，吗中厂个线性无关向量，但没有更多 的线性无关向量，任取即勺，中一个向量，记为b，则b线性相 关。按照性质(5), b可有%,%，叫线性表示(且表示方法唯一)。【备注9】设向量组厲心，“的秩为广，则其极大线性无关向量组含有r个向量。反过来，其中任何厂个线性无关向量所成的向量组也是即心的一个极大线 性无关组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量

11、组的 秩称为矩阵A的行秩。定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。证明：设A = ) e RmKn , r(A) = r o将其按列分块为A =(厲“，)。存在阶可逆矩阵P,使得必为行最简形，不妨设为rl0 1 00l.r+1E.r+lPA. = (Pa, Pa 2，,PaJ =1几0000 0 3 0 0 0 0 )线性无关，且尢4中其余列向量都可以山其线性表示，因此,关，且A中其余列向量均可山其线性表示（且表示的系数不变）。因此，A的列秩 等于A的秩。将A按行分块，A=:,则屮=（久人，,乞），因此，按照前面的结论，A kJ的行秩为A7的秩，而4?的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕！【备注

12、10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。7.扩充定理定理2设54,皿已川，秩为勺叫，叫为其中的斤个线性无关的向量,kr ,则能在其中加入弘勺，中的U-k）个向量，使新向量组为，4的 极大线性无关组。证明：如果k = r,则气,已经是,“2,“的一个极大线性无关组，无须再 添加向量。如果kr ,则竹，叶,不是,的一个极大线性无关组，于是，54,4必有元素不能由其线性表示，设为_，由性质，向量组如果k+ = r ,则气,，,%已经是纠宀，纠的一个极大线性无关组, 无须再添加向量。如果k + r 则仆,叽不是舛,“2,q的一个极大线性无关组，于 是，弘勺，必有元素不能由其线性表示，设为仇

13、j曲性质，向量组 气叫 , %，气+2线性无关。同样的过程一直进行下去，直到得到厂个线性无关的向量为止。【备注11证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法 并不好实现。8.求极大线性无关组并将其余向由极大线性无关组线性表示求向量组佝,q eR”的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。(1)将ava2,-at合在一起写成一个矩阵人=(务,吆叫);(2)将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为如-切久 r+1 九、0“22 *-b2r2.r+l b2.nA T00 . br.n=B , S H 0J = 1,2,r = r(A)00 00 04-2n 心的j01-3-231-14、-6A =T4-62-244-62-24口-3斤0-1010-6-1226-979丿36-979丿03一34一3丿因此，A的列向量的一个极大线性无关组为5=-心, a4 = 4q + 3。