不等关系及不等式以及基本不等式.docx

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不等关系及不等式以及基本不等式

第1讲　不等关系与不等式

【2021年高考会这样考】

结合命题真假判断、充要条件、大小比拟等知识考察不等式性质的根本应用．

【复习指导】

不等式的性质是解（证）不等式的根底，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好根本概念，少做偏难题．

根底梳理

1．不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．

2．比拟两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，假设b＞0，那么有

＞1⇔a＞b；

＝1⇔a＝b；

＜1⇔a＜b.

3．不等式的性质

（1）对称性：

a＞b⇔b＜a；

（2）传递性：

a＞b，b＞c⇔a＞c；

（3）可加性：

a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

（4）可乘性：

a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

（5）可乘方：

a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）；

（6）可开方：

a＞b＞0⇒

＞

（n∈N，n≥2）．

一个技巧

作差法变形的技巧：

作差法中变形是关键，常进展因式分解或配方．

一种方法

待定系数法：

求代数式的围时，先用的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法那么求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的围．

两条常用性质

（1）倒数性质：

①a＞b，ab＞0⇒

＜

；

②a＜0＜b⇒

＜

；

③a＞b＞0,0＜c＜d⇒

＞

；

④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒

＜

＜

.

（2）假设a＞b＞0，m＞0，那么

①真分数的性质：

＜

；

＞

（b－m＞0）；

②假分数的性质：

＞

；

＜

（b－m＞0）．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）给出以下命题：

①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是（　　）．

A．①②B．②③

C．③④D．①④

2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（　　）．

A．v＜40km/hB．v＞40km/h

C．v≠40km/hD．v≤40km/h

3．（2021·质检）a，b，c∈R，那么“a＞b〞是“ac2＞bc2〞的（　　）．

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么以下不等式成立的是（　　）．

A．ad＞bcB．ac＞bd

C．a－c＞b－dD．a＋c＞b＋d

5.

与

＋1的大小关系为________．

考向一　比拟大小

【例1】►a，b，c是实数，试比拟a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．

【训练1】a，b∈R且a＞b，那么以下不等式中一定成立的是（　　）．

A.

＞1B．a2＞b2

C．lg（a－b）＞0D.

a＜

b

考向二　不等式的性质

【例2】►（2021·模拟）假设a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，那么以下命题：

（1）ad＞bc；

（2）

＋

＜0；（3）a－c＞b－d；（4）a·（d－c）＞b（d－c）中能成立的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

【训练2】三个不等式：

①ab＞0；②bc＞ad；③

＞

.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，那么可以组成正确命题的个数是（　　）．

A．0B．1C．2D．3

考向三　不等式性质的应用

【例3】►函数f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4.求f（－2）的取值围．

【训练3】假设α，β满足

试求α＋3β的取值围．

考向四　利用不等式的性质证明简单不等式

【例4】►设a＞b＞c，求证：

＋

＋

＞0.

【训练4】假设a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：

＞

.

难点突破15——数式大小比拟问题

数式大小的比拟是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考察不等式性质、函数性质的应用．

一、作差法

【例如】►（2021·）设0＜a＜b，那么以下不等式中正确的选项是（　　）．

A．a＜b＜

＜

B．a＜

＜

＜b

C．a＜

＜b＜

D.

＜a＜

＜b

二、作商法

【例如】►假设0＜x＜1，a＞0且a≠1，那么|loga（1－x）|与|loga（1＋x）|的大小关系是（　　）．

A．|loga（1－x）|＞|loga（1＋x）B．|loga（1－x）|＜|loga（1＋x）|

C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定

\三、中间量法

【例如】►假设a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin

，那么（　　）．

A．a＞b＞cB．b＞a＞c

C．c＞a＞bD．b＞c＞a

第4讲　根本不等式

【2021年高考会这样考】

1．考察应用根本不等式求最值、证明不等式的问题．

2．考察应用根本不等式解决实际问题．

【复习指导】

1．突出对根本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．

2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．

根底梳理

1．根本不等式：

≤

（1）根本不等式成立的条件：

a＞0，b＞0.

（2）等号成立的条件：

当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；

（2）

＋

≥2（a，b同号）；

（3）ab≤

2（a，b∈R）；

（4）

≥

2（a，b∈R）．

3．算术平均数与几何平均数

设a＞0，b＞0，那么a，b的算术平均数为

，几何平均数为

，根本不等式可表达为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用根本不等式求最值问题

x＞0，y＞0，那么

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2

.（简记：

积定和最小）

（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是

.（简记：

和定积最大）

一个技巧

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤

；

≥

（a，b＞0）逆用就是ab≤

2（a，b＞0）等．还要注意“添、拆项〞技巧和公式等号成立的条件等．

两个变形

（1）

≥

2≥ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）；

（2）

≥

≥

≥

（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）．

这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．

三个注意

（1）使用根本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等〞的无视．要利用根本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

（2）在运用根本不等式时，要特别注意“拆〞“拼〞“凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞“定〞“等〞的条件．

（3）连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）函数y＝x＋

（x＞0）的值域为（　　）．

A．（－∞，－2]∪[2，＋∞）B．（0，＋∞）

C．[2，＋∞）D．（2，＋∞）

2．以下不等式：

①a2＋1＞2a；②

≤2；③x2＋

≥1，其中正确的个数是

（　　）．

A．0B．1C．2D．3

3．假设a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，那么ab的最大值为（　　）．

A.

B．1C．2D．4

4．（2021·）假设函数f（x）＝x＋

（x＞2）在x＝a处取最小值，那么a＝（　　）．

A．1＋

B．1＋

C．3D．4

5．t＞0，那么函数y＝

的最小值为________．

考向一　利用根本不等式求最值

【例1】►

（1）x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，那么

＋

的最小值为________；

（2）当x＞0时，那么f（x）＝

的最大值为________．

【训练1】

（1）x＞1，那么f（x）＝x＋

的最小值为________．

（2）0＜x＜

，那么y＝2x－5x2的最大值为________．

（3）假设x，y∈（0，＋∞）且2x＋8y－xy＝0，那么x＋y的最小值为________．

考向二　利用根本不等式证明不等式

【例2】►a＞0，b＞0，c＞0，求证：

＋

＋

≥a＋b＋c.

【训练2】a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.

求证：

＋

＋

≥9.

考向三　利用根本不等式解决恒成立问题

【例3】►（2021·）假设对任意x＞0，

≤a恒成立，那么a的取值围是________．

【训练3】（2021·模拟）x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，假设xy≥m－2恒成立，那么实数m的最大值是________．

考向三　利用根本不等式解实际问题

【例3】►某单位建造一间地面面积为12m2的反面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋反面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

【训练3】（2021·六校第二次联考）东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定本钱为80元．从今年起，工厂投入100万元科技本钱．并方案以后每年比上一年多投入100万元科技本钱．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定本钱g（n）与科技本钱的投入次数n的关系是g（n）＝

.假设水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．

（1）求出f（n）的表达式；

（2）求从今年算起第几年利润最高？

最高利润为多少万元？

阅卷报告8——无视根本不等式成立的条件致误

【问题诊断】利用根本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等〞，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对根本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现屡次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防措施】尽量不要连续两次以上使用根本不等式，假设使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.

【例如】►a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求

＋

的最小值．

【试一试】（2021·）设a＞b＞0，那么a2＋

＋

的最小值是（　　）．

A．1B．2C．3D．4