量子力学主要知识点复习资料.docx
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量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分
1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量的整数倍,2,3,4,,n
对频率为的谐振子,最小能量为:
hν
2.波粒二象性
波粒二象性（wave-particleduality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：
波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
2h
德布罗意公式Emc2hνpmv
3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：
波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程
2
i（r,t）[2V（r）]（r,t）0
t2m
粒子的波动性可以用波函数来表示，
其
中，振幅表示波动在空间一点（x,y,z）上的强弱。
所以，应
该表示粒子出现在点（x,y,z）附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数
Aexp[i（prEt）]
波函数的性质：
可积性，归一化，单值性，连续性
4.波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C是一个常数，则（x,y,z）和c（x,y,z对）粒子在点（x,y,z）
附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数Cei，则（x,y,z）和ei（x,y,z）对粒子在点（x,y,z）附件出现概率的描述是相同的。
2
|（x,y,z）|2表示粒子出现在点（x,y,z）附近的概率。
2
|（x,y,z）|2xyz表示点（x,y,z）处的体积元xyz中找到粒子的概
率。
这就是波函数的统计诠释。
自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1
2必然有以下归一化条件|（x,y,z）|dxdydz1
5.力学量的平均值
既然|（rr）|2|（x,y,z）|2表示粒子出现在点r（x,y,z）附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x的平均值x，由概率论，有x|（rr）|2xd3r*（rr）x（rr）d3r,
又如，势能V是r的函数：
V（r），其平均值由概率论，drdxdydz
可表示为V
（r）V（r）（r）d3rV
（r）V（r）（r）d3r
*rrr3再如，动量的平均值为：
p*（p）p（p）d3p,
*3为什么不能写成p*（r）p（r）（r）d3r
因为x完全确定时p完全不确定，x点处的动量没有意义。
能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？
可以，但需要表示为p*（r）p?
（r）d3r
其中p?
i为动量p的算符
6.算符
量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算
如动量算符p?
i
能量算符EitE?
2
动能算符T?
2动能平均值T*（r）T?
（r）d3r
2m
角动量算符l
rp?
角动量平均值l
*（r）l?
（r）d3r
薛定谔方程
（r,t）
2m
V（r,t）]（r,t）
算符H?
h2V（rr），被称为哈密顿算符，
7.定态2m
称f为能本量征本函征方数,
本征值
数学中，形如A?
faf的方程，称为本征方程。
其中方程h22rrr?
rA?
[2V（r）]E（r）EE（r）H?
E（r）AE程，2m
E（r）被称为能量本征函数，E被称为能量本征值。
i
当E为确定值，（r,t）=E（r）exp（Et）拨函数所描述的状态称为定态，处
于定态下的粒子有以下特征：
粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。
8.量子态叠加原理但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。
换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即
（x）cnn（x），
n
|cn|2表示在态（x）中发现粒子处于态n（x）,具有能量En的概率
9.宇称
若势函数V（x）=V（-x），若（x）是能量本征方程对于能量本征值E的解，则（x）也是能量本征方程对于能量本征值E的解
定义空间反演算符P为:
P（x）（x）
如果P（x）（x）（x）
或P（x）（x）（x），
称（x）具有确定的偶宇称或奇宇称，如
偶宇称Pcos（x）cos（x）cos（x）
奇宇称Psin（x）sin（x）sin（x）
注意：
一般的函数没有确定的宇称
设（x）是能量本征方程对应于能量本征值E
的解，如果V（x）V（x）,若（x）无简并，则（x）具有确定的宇称。
10.束缚态
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态
11.一维谐振子的能量本征值
EEn（n1/2）,n0,1,2,.
12.隧穿效应
量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。
这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。
又称隧穿效应，势垒贯穿。
按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。
但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。
它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。
能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。
而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子（代表点）穿越势垒（也称势垒穿透
barrierpenetration），好像从大山隧道通过一般。
这就是隧道效应。
例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。
13.算符对易式
一般说来，算符之积不满足交换律，即A?
B?
B?
A?
，由此导致量子力学中的一个基本问题：
对易关系
A?
和B?
设[A?
B?
]A?
B?
B?
A?
对易式坐标对易关系
[,p?
]i
0,
x,y,z
，通常[A?
B?
]0
角动量的对易式
[l?
x,x]
0,[l?
x,y]i
z,[l?
x,z]i
y,
[l?
y,x]
iz,[l?
y,y]
0,[l?
y,z]i
x,
[l?
z,x]
iy,[l?
z,y]
ix,[l?
y,z]
0,
[l?
x,p?
x]
0,[l?
x,p?
y]
ip?
z,[l?
x,p?
z]
i
p?
y,
[l?
y,p?
x]
ip?
z,[l?
y,
p?
y]0,[l?
y,p?
z]
i
p?
x,
[l?
z,p?
x]
ip?
y,[l?
z,p?
y]ip?
x,[l?
y,
p?
z]
0,
[l?
x,l?
x]
0,[l?
y,l?
y]
0,[l?
z,l?
z]0,
[l?
x,l?
y]
il?
z,[l?
y,l?
z]
il?
x,[l?
z,l?
x]
i
?
y
l?
z2,有
[l?
2,l?
x]0,[l?
2,l?
y]0,[l?
2,l?
z]0
14.厄密算符平均值的性质
A?
则A?
的共轭转置算符A~?
*称为A?
的厄密共轭算符,记为A?
即A?
＝A~?
*。
先转置，再共轭。
**
d*A?
dA?
*
体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。
厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
15.量子力学关于算符的基本假设
1、微观粒子的状态由波函数（r,t）描写。
2、波函数的模方|（r,t）|2表示t时刻粒子出现在空间点（x,y,z）的概率。
3、力学量用算符表示。
4、波函数的运动满足薛定格方程
ih
t
rh22r?
r
（rr,t）（h2V）（rr,t）H?
（rr,t）,
2m
H?
h2V（rr,t）哈密顿算符
2m
16.算符的本征方程，本征值与本征函数数学中，形如A?
faf的方程，称为本征方程。
其中A?
算符,f本征函数,a本征值满足A?
A的和A不止一组,
可能有n组，因此A?
nAnn此式称为A）的本征方程，An称为A?
的一个本征值，n称为A?
的一个本征态。
n和An是算符A?
的本征态与本征值，如果An,都是不简并的，则n能构成一组正交归一
完备态矢，系统的任何状态均可展开如下：
（x）ann,其中，ann*dr
n
17.不确定度关系的严格表达
18.两个算符有共同本征态的条件两个算符对易，即[A?
B?
]0
19.力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。
若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。
例如，仅由的本征值不能确定体系状态，必再加上的本征值才能确定体系状态。
这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。
定义：
如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本
征函数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称为体系的一组力学量完全集。
20.力学量完全集共同本征态的性质
若能级简并
21.守恒量
对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A称为量子体系的一个守恒量。
22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。
用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β是>内积，<α|α大>于等于0，称为模方。
|β><α|是外积。
|右矢代表量子态；
|左矢量子态的共轭态*
若k是力学量完全集F的本征态，则|k|k,如球谐函数Ylm是（l?
2,l?
z）
的共同本征函数，|Ylm|lm
采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。
|kk|I或PkI,Pk|kk|为投影算符
kk
算符向左作用
23.角动量平方和角动量z分量的共同本征函数
这样，l?
2和l?
z的共同本征函数为
Ylm（,）
（1）m
2l1（l
mm））!
!
Plm（cos）eim
4
（l
其中ml,l1,
l
1,l
l
0,1,2,
Ylm称为球谐函数，
它们满
足
l?
2Ylml（l1）
l?
zYlmmYlm
2Ylm
注意量纲
ml,l1,,l
1,l
l
0,1,2,
注意，推导过程计算题有可能要考
24.氢原子的能量本征值与能级简并度
EEn
e41
22n2
e21
2an2
n1,2,3,
氢原子的能级是n2简并的
25.正常Zeeman效应原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。
26.电子自旋电子的基本性质之一。
电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称
自旋不是机械的自转
27关于电子自旋的Stern-Gerlach实验
Stern-Gerlachexperiment首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O.斯特恩和W.革拉赫在1921年完成的。
实验装置如图斯特恩－革拉赫实验装置示意图示。
使银原子在电炉O内蒸发,通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片P上。
在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。
实验上高温炉中的Ag原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。
28碱金属原子光谱双线结构对钠原子，3p3s的跃迁产生一条黄线589.3nm,
用高分辨率的光谱仪进行观测，发现它实际上是由两条谱线构成：
1589.6nm，2589.0nm。
与Zeeman效应不同，此现象并非外界因素作用的结
果，而是原子的故有特
性。
其根源正是电子的自旋。
29.量子跃迁与选择定则
在外电场的激发下，谐
振子从基态|0只
能跃迁到第一激发态
|1。
22
P10（）q2e
2
2220,
Pn0（）0,n1
以上结果表明，01可以发生，
02，03，，0
n不能发生，
表明允许谐振子n
1的跃迁发生，
这称为跃迁的选择定则
。
即谐振子只能跃迁到相邻能级
30.禁戒跃迁
已知Ckk（t）kk1eikktHkkdt（12）
i0
令Pkk（t）|Ckk（t）|2,则Pkk（t）代表系统从初态k
跃迁到末态k的概率。
当kk时，有
1tit2
Pkk（t）2|eikktHkkdt|2（13）
0
若存在这样的末态k，使得Hkk0，Pkk0，表明从k到k的跃迁是不可能的，或者说，从k到k的跃迁是禁戒的。
在外电场的激发下，谐振子从基态|0不
能跃迁到激发态|n,其中n1。
或者说，
02，03，，0n的跃迁为禁戒跃迁。
31.微扰论的思想
解薛定谔方程的一种常用的近似方法。
一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似解。
这种方法称为微扰论。
32.突发微扰与绝热微扰
当外界的微扰十分缓慢地作用到系统上时，不会改变系统的状态，这样的微扰叫做绝热微扰。
当外界的微扰十分突然地作用到系统上时，也不会改变系统的状态，这样的微扰叫做突发微扰。
33.能量与时间不确定度
tEh被称为时间－能量的不确定度关系，可以证明此式的一般形式为：
Et
2此式反映了一个力学量变化快慢的周期t，同系统能量的不确定度E不能同时为零
34.能级宽度与谱线宽度
由于能量不确定性Ekt2
所以，所有的能级都有一个宽度，这叫能级的展宽。
既然能级有展宽，即EkE（k0）Ek,Ek1E（k0）1Ek1，所以，当电子从Ek跃迁到Ek1时，
发出的谱线，就不止0（E（k0）E（k0）1）/h一个频率，而是有一个频率范围.谱线的频率应该是0,其中，（EkEk1）/h这叫谱线的展宽,称为谱线宽度。
35.半经典理论
36吸收，受激辐射，自发辐射
升级会员 