量子力学主要知识点复习资料.docx

1、量子力学主要知识点复习资料大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1 能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。 这些谐振子只能处于某些分立的状态， 在这些状态下， 谐振子的能量不能取任意值， 只能是 某一最小能量 的整数倍 ,2 ,3 ,4 , ,n对频率为 的谐振子 , 最小能量 为: h 2.波粒二象性波粒二象性( wave-particle duality )是指某物质 同时具备波的特质及粒子的特质 。波粒二象 性是量子力学中的一个重要概念。 在经典力学中， 研究对象总是被明确区分为两类： 波和粒 子。前者的典型例子是光，后者则组

2、成了我们常说的 “物质 ”。1905 年，爱因斯坦提出了光 电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。 1924 年，德布 罗意提出 “物质波 ”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子 也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。2h德布罗意公式 E mc2 h p mv3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足 薛定格波动方程2i (r,t) 2 V(r ) (r,t) 0t 2m粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅 表示波动在空间一点 (x,y,z)上的强弱

3、。 所以， 应该表示 粒子出现在点 (x,y,z)附件的 概率大小 的一个量。 从这个意义出发， 可将粒子的波函数 称为概率波。自由粒子的波函数Aexp i (p r Et)波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4.波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设 C 是一个常数，则 (x,y,z)和 c (x,y,z对) 粒子在点 (x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数 C ei ，则 (x, y,z)和 ei (x,y,z) 对粒子在点 (x,y,z)附 件出现概率的描述是相同的。2| (x,y,z)|2 表示粒子出现在点 (x,y,z)附近的概率。2| (x,

4、y, z) |2 x y z 表示点 (x,y,z)处的体积元 x y z 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为 12 必然有以下归一化条件 | (x,y,z)| dxdydz 15.力学量的平均值既然 | (rr)|2 | (x,y,z)|2 表示 粒子出现在点 r (x,y,z) 附件的概率，那么粒子 坐标的平均值，例如 x 的平均值 x，由概率论，有 x | (rr ) |2 xd3r *(rr)x (rr)d3r ,又如，势能 V是 r 的函数： V (r ) ，其平均值由概率论， d r dxdydz可表示为 V(r )V(r) (r )d3

5、r V(r)V(r ) (r)d3r* r r r 3 再如，动量 的平均值为： p *( p) p (p)d3 p,*3 为什么不能写成 p *(r )p(r ) (r )d 3r因为 x 完全确定时 p 完全不确定， x 点处的动量没有意义。 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以，但需要表示为 p *(r )p? (r )d3r其中 p? i 为动量 p 的算符6.算符量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算如动量算符 p? i能量算符 E i t E?2动能算符 T? 2 动能平均值 T *(r )T? (r )d 3r2m角动量算符 lr p? 角动量平均值 l*

6、(r )l? (r )d3r薛定谔方程( r ,t )2mV(r ,t ) (r ,t )算符 H? h 2 V (rr) ，被称为哈密顿算符，7.定态 2m称f 为能本量征本函征方数,本征值数学中，形如 A?f af 的方程，称为 本征方程 。其中 方程 h2 2 r r r ? r A? 2 V(r) E(r ) E E(r) H? E(r ) AE 程， 2mE( r ) 被称为能量本征函数， E 被称为能量本征值。 i当 E 为确定值， ( r , t ) = E( r ) exp( Et ) 拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何

7、不显含 t 的力学量的平均值不随时间改 变，他们的测值概率分布也不随时间改变。8.量子态叠加原理 但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其 中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即( x) cn n(x) ，n| cn |2 表示在态 ( x )中发现粒子处于态 n(x), 具有 能量En的概率9.宇称若势函数 V(x)=V(-x)，若 ( x )是能量本征方程对于能量本征值 E的解，则 ( x) 也是能量本征方程对于能量本征值 E 的解定义空间反演算符 P为: P (x) ( x)如果 P (x) ( x) (x)或 P (x) ( x

8、) (x)，称 (x)具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称 P cos(x) cos( x) cos(x)奇宇称 Psin(x) sin( x) sin(x)注意：一般的函数没有确定的宇称设 (x) 是能量本征方程对应于 能量本征值 E的解，如果 V(x) V ( x),若 (x)无简并，则 ( x)具有确定的宇称。10.束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态11.一维谐振子的能量本征值E En (n 1/2) ,n 0,1,2, .12.隧穿效应量子隧穿效应为一种量子特性， 是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现 象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有

9、不为零的概率穿过位势障壁。又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。 但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒， 只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能 量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势 垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子 (代表点 ) 穿越势垒 (也称势垒穿透barrier penetration) ，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如 H+H2 低温下 反应，其隧道效应就较突出。13.算符对易式一般说来， 算符之积不满足交换律， 即

10、A?B? B?A? ，由此导致量子力学中的一个基 本问题：对易关系A?和B?, 设 A?, B? A?B? B?A?对易式 坐标对易关系 , p? i0,x,y,z，通常 A?, B? 0角动量的对易式l?x,x0, l?x ,y iz, l?x ,z iy,l?y,xi z, l?y , y0, l?y, z ix,l?z,xi y, l?z, yi x, l?y ,z0,l?x, p?x0, l?x, p?y i p?z, l?x, p?zip?y ,l?y, p?xi p?z , l?y ,p?y 0, l?y ,p?zip?x,l?z, p?xi p?y, l?z, p?y i p?x

11、 , l?y,p?z0,l?x, l?x0, l?y ,l?y0, l?z, l?z 0, l?x , l?y i l?z, l?y ,l?zi l?x , l?z,l?x i?yl?z2,有l?2 ,l?x 0, l?2 ,l?y 0, l?2,l?z 014.厄密算符平均值的性质A?, 则A?的共轭转置算符 A?*称为A?的厄密共轭算符 ,记为A? ,即A? A?*。先转置，再共 轭。*d * A? d A? *体系的任何状态下， 其厄密算符的平均值必为实数， 在任何状态下平均值为实的算符必为厄 米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。

12、15. 量子力学关于算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数 (r ,t) 描写。2、波函数的模方 | (r,t) |2 表示 t 时刻粒子出现在空间点 (x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程ihtr h2 2 r ? r(rr,t) ( h 2 V ) (rr ,t) H? (rr,t ),2mH?h 2 V (rr,t) 哈密顿算符2m16.算符的本征方程，本征值与本征函数 数学中，形如 A?f af 的方程，称为 本征方程 。其中 A? 算符, f 本征函数, a 本征值 满足 A? A 的 和A不止一组 ,可能有 n组，因此 A? n An n 此

13、式称为 A)的本征方程， An称为 A?的 一个本征值， n称为 A?的一个本征态。n和An是算符A?的本征态与本征值，如 果 An, 都是不简并的，则 n能构成一组正交归一完备态矢，系统的任何 状态 均可展开如下： (x) an n,其中， an n* drn17.不确定度关系的严格表达18.两个算符有共同本征态的条件 两个算符对易，即 A?, B? 019.力学量完全集 若算符的本征值是简并的， 仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。 若要惟一地确定其本征 态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由 的本征值不能确定体 系状态，必再加上 的本征值才能确定体系状态。这样，为了完

14、全确定一个体系的状态， 我们定义力学量完全集。定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符 ，它们只有一组共同完备本征函数集，记为 ， 可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系 的一个可能状态，则称 为体系的一组力学量完全集。20.力学量完全集共同本征态的性质若能级简并21.守恒量对于 Hamilton 量 H 不含时的量子体系，如果力学量 A 与 H 对易，则无论体系处于什么状态 (定态或非定态) ，A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把 A 称为量子体 系的一个守恒量。22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用 把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是

15、狄拉克符号的优点。用右矢 | 表 示态矢， 左矢 |表示其共厄矢量， 内积， 于等于 0，称为模方。 | | 是外积。| 右矢 代表量子态 ；| 左矢 量子态 的共轭态 *若 k是力学量完全集 F的本征态，则 | k | k ,如球谐函数 Ylm是(l?2, l?z)的共同本征函数， | Ylm | lm采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。| k k | I 或 Pk I ,Pk | k k | 为投影算符kk算符向左作用23.角动量平方和角动量 z 分量的共同本征函数这样， l?2和 l?z的共同本征函数为Ylm( , ) ( 1) m2l 1 ( lmm

16、)! Plm(cos )eim4(l其中 m l , l 1,l1, l,l0,1,2,Ylm称为球谐函数，它们满足l?2Ylm l (l 1)l?zYlm m Ylm2Ylm注意量纲m l , l 1, , l1, ll0,1,2,注意，推导过程计算题有可能要考24. 氢原子的能量本征值与能级简并度E Ene 4 12 2 n2e 2 12a n 2n 1,2,3,氢原子的能级是 n2简并的25. 正常 Zeeman 效应 原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应； 历史上首先观测到并给予理 论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况， 因此

17、称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。26. 电子自旋 电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称自旋不是机械的自转27 关于电子自旋的 Stern-Gerlach 实验Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由 O. 斯 特恩和 W.革拉赫在 1921 年完成的。实验装置如图斯特恩革拉赫实验装置示意图 示。使银原子在电炉 O内蒸发 ,通过狭缝形成细束， 经过一个抽成真空的不均匀的 磁场区域 （磁场垂直于束方向） , 最后到达照相底片 P 上。在显像后的底片上现了两 条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两

18、束。实验上高温炉中的 Ag 原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数 为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。28 碱金属原子光谱双线结构 对钠原子，3p 3s的跃迁产生一条黄线 589. 3nm,用高分辨率的光谱仪进 行观测，发现它实际上 是由 两条谱线构成： 1 589. 6nm， 2 589. 0nm。与 Zeeman效应不同，此现象并非 外界因素作用的结果，而是原子的故有特性。其根源正是电子的 自旋。29. 量子跃迁与选择定则在外电场的激发下，谐振子从基态 | 0 只能跃迁到第一激发态| 1 。22P10( ) q 2e22 2 2 0

19、,Pn0( ) 0,n 1以上结果表明， 0 1可以发生，0 2，0 3， ，0n不能发生，表明允许谐振子 n1的跃迁发生，这称为跃迁的选择定则。即谐振子只能跃迁到相邻能级30.禁戒跃迁已知 Ckk(t ) kk 1 ei kkt Hkkdt (12)i0令Pkk(t) | Ckk(t ) |2,则Pk k(t )代表系统从初态 k跃迁到末态 k 的概率。当 k k时，有1 t i t 2Pkk(t ) 2 | ei kkt Hkkdt |2 (13)0若存在这样的末态 k ，使得 Hkk 0， Pk k 0， 表明从k到k的跃迁是不可能的，或 者说，从 k 到k 的跃迁是禁戒的。在外电场的激

20、发下，谐 振子从基态 | 0 不能跃迁到激发态 | n , 其中 n 1。或者说，0 2，0 3， ，0 n的跃迁为禁戒跃迁。31.微扰论的思想解薛定谔方程的一种常用的近似方法。 一个量子体系， 如果总哈密顿量的各部分具有不同 的数量级， 又对于它精确求解薛定谔方程有困难， 但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解 , 便可先略去次要部分 ,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略 去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去， 从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似 解。这种方法称为微扰论。32.突发微扰与绝热微扰当外界的微扰十分缓慢 地作用到系统上时，不 会改变系统的状态，这

21、样的微扰叫 做绝热微扰。当外界的微扰十分突然 地作用到系统上时，也 不会改变系统的状态， 这样的微扰叫 做突发微扰。33.能量与时间不确定度t E h 被称为时间能量的不 确定度关系，可以证明 此式的一般形式为：Et2 此式反映了一个力学量 变化快慢的周期 t ，同系统能量的不确定 度 E不能同时为零34.能级宽度与谱线宽度由于能量不确定性 Ek t 2所以，所有的能级都有 一个宽度，这叫能级的 展宽。既然能级有展宽，即 Ek E(k0) Ek, Ek 1 E(k0)1 Ek 1，所以，当电子从 Ek跃迁到Ek 1时，发出的谱线，就不止 0 (E(k0) E(k0)1)/ h 一个频率，而是有一个 频率范围 . 谱线的频率应 该是 0 ,其中， ( Ek Ek 1)/ h这叫谱线的展宽 , 称为谱线宽度。35.半经典理论36 吸收，受激辐射，自发辐射