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同余的性质与应用

同余得性质及应用

１引言

数论得一些基础内容得学习,一方面可以加深对数得性质得了解,更深入得理解某些其她邻近学科,另一方面,可以加强数学训练。

而整数论知识就是学习数论得基础,其中同余理论有时整数论得重要组成部分,所以学好同余理论就是非常重要得。

在日常生活中,我们所要注意得常常不就是某些整数,而就是这些数用某一固定得数去除所得得余数,例如我们问现在就是几点钟,就就是用２4去除某一个总得时数所得得余数;问现在就是星期几,就就是问用7去除某一个总得天数所得得余数,假如某月２号就是星期一,用７去除这月得号数,余数就是2得都就是星期一、

我国古代孙子算经里已经提出了同余式,,…,　这种形式得问题,并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在她得《数学九章》中提出了同余式,　,　就是个两两互质得正整数,,得一般解法.

同余性质在数论中就是基础,许多领域中一些著名得问题及难题都就是利用同余理论及一些深刻得数学概念,方法,技巧求解.例如,数论不定方程中得费尔马问题,拉格朗日定理得证明堆垒数论中得华林问题,解析数论中,特征函数基本性质得推导等等、在近现代数论研究中,有关质数分布问题,如除数问题,圆内格点问题,等差级数问题中得质数分布问题,形式得质数个数问题,质数个数问题,质数增大得快慢问题,孪生质数问题都有一定程度得新成果出现,但仍有许多尚未解决得问题。

数论得发展以及现代数学发展中提出得一些数论问题,都要求我们对于近代数论得一些方法与基础知识,必须熟练掌握.所以,本文主要介绍了同余理论中同余基本性质得一些简单应用,通过本文得阐述,希望可以为对数论有兴趣得读者,增加学习数论知识得兴趣,并能为她们攻破那些经典得数论难题开展数论课题课题提供一些帮助、

2同余得概念

给定一个正整数,把它叫做模,如果用去除任意两个整数与所得得余数相同,我们就说对模同余,记作,如果余数不同,就说对模不同余。

由定义得出同余三条性质:

（1）;

（2）,则;

（3）,,则。

定义也可描述为:

整数,对模同余得充分必要条件就是,即,就是整数。

3同余得八条基本性质

由同余得定义与整数得性质得出［1］:

（1）若,,则

若,则

（２）若,,则　

特别地,若,则

（3）若,　,　

则

（4）若,,,,则

（5）若,,则;

若,就是,及任一正公因数,则

（6）若,,则

其中就是,个数最小公倍数

（7）若,　,,则

（8）,　,若能整除及,两数之一,则必整除,另一个、

4同余性质在算术里得应用

4.１　检查因数得一些方法

例1　一整数能被3（9）整除得充要条件就是它得十进位数码得与能被3（9）整除。

证:

按照通常方法,把任意整数写成十进位数形式,即

。

因,所以由同余基本性质,即当且仅当;

同法可得当且仅当,.

例２设正整数,,则7（或11或13）整除得充要条件就是7（或11或13）整除,。

证:

１00０与-1对模7（或11或1３）同余,

根据同余性质知,与对模7（或11或1３）同余

即７（或１１或１3）整除当且仅当7（或11或１3）整除,、

例3=587４192,则,能被3,9整

除,当且仅当能被３,9整除

解:

由例1证法可知,该结论正确。

例4=43５６9３,则,能被3整除,但不能被9整除当且仅当３就是得因数,9不就是得因数。

解:

由例1得证法可得、

例5　=637693,则,,能被７整除而不能被11或１3整除当且仅当7就是得因数但11,13不就是得因数、

解:

由例２得证法可知,该结论正确。

例6　=753１2289,,能被13整除,而不能被7,11整除当且仅当１３就是得因数,而7与11不就是得因数、

解:

由例2得证法可知.

例7应用检查因数得方法求出下列各数标准分解式

153５6２5　　　②

解:

①

　　　,由例2得,,

　　　又,,,

　　,,,

　　。

②,

　　,由例2得,

又,,,,

　　、

4、2弃九法（验证整数计算结果得方法）

我们由普通乘法得运算方法求出整数,得乘积就是,并令

如果与对模9不同余,那么所求得得乘积就是错误得。

特别得,在实际验算中,若,,中有９出现,则可去掉（因）。

例1=28997,=39495,按普通计算方法算得,乘积就是=1１4５236５15,

　　按照上述弃九法,,.

　　但与5对模9不同余,所以计算有误.

例2　若=２899７,=3９495,=114５23561５,那么？

解:

按照上述弃九法,,,、

虽然与6对模9同余,但就是由通常乘法计算得到,

故不成立、

注:

当使用弃九法时,得出得结果虽然就是也还不能完全肯定原计算就是正确得.

4、3　同余性质得其她应用

例1求7除得余数。

解:

由,,,

即除以７余数为4、

例２　试证:

形如得整数不能表为三个平方数之与。

证:

假定,则,但这不可能、因为对模８而论、每一个整数最小非负余数只能就是0,１,２,3,4,5,6,7中得一个数、

　而,,,,,,,。

　因此,任一整数平方对模8必与0,1,４三个数之一同余,而从{0,１,4｝中任取三个数,其与都不可能与７对模8同余,所以对于任何整数,,都有与7对模8不同余、

　　　　即形如得整数不能表为三个平方数之与.

例3试证:

能被10整除.

证:

由已知条件有,,,,

　　又,,,,

即

　也就就是说,能被1０整除、

例4设且,求证:

证:

对模６来说每一个整数得最小非负数余数为0,1,2,3,４,5

,,,,,即对任何整数,

又

故

例5若,证明能被30整除、

证:

设,则

由,,,,,,

即,

　　同理可知

又

故能被30整除。

5　同余性质在数论中得应用:

求简单同余式得解

5、1一次同余式、一次同余式解得概念

在代数里面,一个主要问题就就是解代数方程.而同余性质在数论中得应用主要体现在同余在方程中得应用,也就就是求同余式得解.

一次同余式得定义:

若用表示多项式,其中就是整数,又设就是一个正整数,则叫做模得同余式、若与0对不同余,则叫做得次数、

定义:

若就是使成立得一个整数,则

叫做同余式　得一个解、

定理一次同余式,与０对模不同余,它有解充要条件就是。

［３]

5、2孙子定理解一次同余式组

引例今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何？

解:

设就是所求物数,则依题意有,,,

孙子算经里介绍用下列方法求解

除数

余数

最小公倍数

衍数

乘率

各总

答数

最小　答数

２

357＝1

０+６3＋30=233

233－210５=2３

2113

２

３5

1512

由表格知,所求物数就是23。

孙子定理:

设,,…,就是个两两互质得正整数,,,,则同余式组,,,得解就是,其中,［4］

用表格形式概括如下

除数

余数

最小公倍数

衍数

乘率

各　总

答　数

例１解同余式组,,,、

解:

此时,,,,、

解,得,,,　

即。

例2韩信点兵:

有兵一队,若列成五行纵队,则末行一人,成六行纵队,则末行五人,成七行纵队,则末行四人,成十一行纵队,则末行十人,求兵数?

解:

由题意,有,,,

。

5.3简单高次同余式组,及,为质数,得解数及解法得初步讨论

定理1　若,,…,就是个两两互质得正整数,,则同余式与同余式组,等价。

若用　表示,,对模得解数,表示对模得解数,则、［5]

例1解同余式,.

解:

由定理１知与同余式　,　等价.

同余式有两个解,即

同余式有三个解,即

即有六个解,即,

由孙子定理有,

即得得解为.

定理２设,即,就是得一解,并且不整除,（就是得导函数）,则刚好给出,为质数,得一解,,即,其中.［６]

例2解同余式、

解:

由定理1知与,,等价。

显然,有两解

有一解

有三解

同余式有六个解

即,,,;;

　由孙子定理得,以,,值分别代入,得全部解为、

例3解同余式,.

解:

　有一解,并且3不整除,

以代入得

但,

即即

因此而就是得一解;

以代入即,

即,　

即为所求得解。

5.4简单二次同余式,,解得判断

二次同余式一般形式为,与０对模不同余,由上面所学知识,经总结,判断一般二次同余式有解与否问题,一定可以转化为判断形如,有解与否问题、

先讨论单质数模同余式,有解与否问题

若它有解,则叫做模得平方剩余,若它无解,则叫做模得平方非剩余、

定理1若,则就是模得平方剩余得充要条件就是且有两解;而就是模得平方非剩余充要条件就是。

[7]

就是勒让得符号,它就是一个对于给定单质数定义在一切整数上得函数,它得值规定如下:

当时,就是模得平方剩余;

当时,就是模得平方非剩余;

当（）＝0时,。

[8]

讨论质数模同余式,,有解与否问题

定理2,,有解得充要条件就是,并且在有解情况下,解数就是2、［9］

讨论合数模同余式,,有解与否问题

定理3设,当,时,,,有解,且解数就是2;当,时,上式有解,解数就是4、[10]

例解、

解:

因故有4个解.

把写成代入原同余式,得到,由此得

故就是适合得一切整数,再代入原同余式得到,由此得

　故就是适合得一切整数,因此就是所求四个解。

6结论

本文从同余概念及其基本性质出发,通过实例概括总结出同余性质在算术及数论中得一些简单应用、

同余性质在算术中得应用主要就是通过检查因数与弃九法验算结果得实例作出阐述;数论中同余性质得应用主要体现在简单一次同余式组及高次同余式得求解,以及二次同余式就是否有解得判断。

参考文献

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华东师范大学出版社,1999.12:

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［1０]林六十。

初等代数研究[M]、北京:

中国地质大学出版社,19８9:

14５－15８、

致　谢

在大学得生活与学习中,一直得到应用数学系领导与老师们得关心与帮助,就是在她们得谆谆教导下,我在专业知识得学习中打下了坚实得基础,在个人修养方面我从她们身上瞧到了“学高为师、身正为范”得教师风范,吸取了踏实、严谨、刻苦、认真得治学精神,以及正直、诚实、守信得人格魅力,并且在日常生活中身体力行,以她们为榜样,　加强教师道德修养,努力丰富自己、完善自己、我在大学期间取得得所有成绩都就是与系领导以及老师们得帮助与教诲分不开得,　在此向她们致以衷心得感谢与良好得祝愿.

在这学期撰写毕业论文得过程中,得到了孙善辉老师得悉心指导,熟悉了撰写论文得一般格式与许多注意事项,这对于我以后得学习与生活都具有很好得示范作用.感谢孙善辉老师得帮助与指导!

在我论文得撰写与校对过程中,　还得到了许多同学得帮助,就是她们帮助我发现论文里得某些小小得错误,这使我节省了时间去完成其她得工作,在此向她们表示感谢.

最后,再次感谢孙善辉老师得辛勤指导！

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