二次函数十大基本问题.docx
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二次函数十大基本问题
第九讲：
二次函数十大基本问题
知识模块与方法
知识模块一：
二次函数的定义问题
1．二次函数的概念：
一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
（2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
知识、题型、方法
例1：
若是二次函数，则。
变式练习：
已知，试讨论分别为何值时为正比例函数、反比例函数、
二次函数？
课堂演练一：
1.二次函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
2.若y＝（m＋1）x－3x＋1是二次函数，则m的值为__________．
3.已知函数，则自变量的取值范围是。
4.某广告公司欲设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000米，设
矩形的一边长为米，所花费用为元。
则与之间的函数关系式为。
5.已知函数，当为何值时：
（1）是的正比例函数，且随着增大而增大。
（2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。
（3）函数图象是开口向上的抛物线。
知识模块二：
二次函数的图象及其性质
1.二次函数基本形式：
的性质：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3.的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4.的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数图象的过点问题与交点问题
中考方法点拨：
二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题
的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足
函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。
知识、题型、方法
例2：
已知抛物线和直线都经过点（，）。
（1）求，的值。
（2）是否存在另一个交点？
若存在，请求出。
变式练习：
1．（2008，长春）已知，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为4，求的值。
第1题图第2题图
2．（2008，辽宁大连）如图10，直线和抛物线都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式的解集（直接写出答案）。
课堂演练二：
1．二次函数的图象经过两点A（，），B（，），则。
2．若抛物线与轴的交点坐标是（，0）则
。
3.已知函数的图象与直线交于点（1，），
则求。
4.如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝____________．第4题图
二次函数图象的单调性问题：
中考方法点拨：
判断二次函数的单调性要紧紧抓住抛物线的开口方向和对称轴，
对称轴是二次函数单调性的分界点，即：
1.当时，抛物线开口向上：
在范围内，随的增大而减小；在范围内，随的增大而增大；当时，有最小值。
2.当时，抛物线开口向下：
在范围内，随的增大而增大；在范围内，随的增大而减小；
当时，有最大值。
知识、题型、方法
例3：
（2011，浙江舟山）如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），
（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是 。
-1
变式练习第2题图
例4：
（2008，山东东营）若A（），B（），C（）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是 （）
A．B．C． D．
变式练习：
1．（2011，广安）若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）
A．=lB．>lC．≥lD．≤l
2．（2011，浙江温州）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如第9题图所示。
关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值
课堂演练三：
1．当时，二次函数的最小值是，最大值是。
2．（2011，广东广州）下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（）．
A．y=x2B．y=x－１C．y=xD．y=
3．（2011，山东聊城）下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）
4.若A（－，y1），B（－1，y2），C（，y3）为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三
点，则y1、y2、y3的大小关系是。
5.已知，当时，它的图象是开口向下的抛物线，这时，当
时，随的增大而增大。
二次函数图象的对称性问题：
知识、题型、方法
例5：
（平面直角坐标系中点的对称问题）平面直角坐标系中的点P（3,-5），关于x轴对称的点的坐标为；关于y轴对称的点的坐标为；关于原点对称的点的坐标为。
变式练习：
在平面直角坐标系中，点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为；关于y轴对称
的点的坐标为；关于原点对称的点的坐标为。
例6：
（2011，山东济宁）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
4
1
0
1
4
……
点A（，）、B（，）在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是（）
A．B．C．D．
变式练习：
1。
已知抛物线的图象如图7所示，该抛物线与轴交于A、B两点，B
点坐标为（，0），则A点坐标为 。
OAB
图7
2.（2011，嘉兴）如图8，已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为 。
C
课堂演练四第4题图
课堂演练四：
1．已知点M与点N关于轴对称，则x+y=。
2.（－3，4）关于x轴对称的点的坐标为________，关于y轴对称的点的坐标为________，
关于原点对称的坐标为__________。
3．（2011，山东枣庄）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 。
（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是； ④在对称轴左侧，随增大而增大．
4．（2010，日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.
5．（2011，山东泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
X
-7
-6
-5
-4
-3
-2
y
-27
-13
-3
3
5
3
则当x=1时，y的值为
图9
A。
5B。
-3C。
-13D。
-27
6.（2009，襄樊）抛物线的图象如图9所示，
则一元二次方程的两个根为。
二次函数的图象与系数、、之间的关系问题
中考方法点拨：
（1）由抛物线开口方向确定的正负；
（2）由对称轴（或）
确定的正负；（3）抛物线与轴交点纵坐标确定的正负；（4）由对称轴（或）确定的正负；（5）令观察图象可得的正负；同理可令，可得的正负；（6）取可得的正负；取可得的正负。
注意：
以上6条性质可以相互推导，也可以用推导出来的结论去推导另外的正确结论。
知识、题型、方法
例7：
（2009，湖北黄石）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（）
y
A．①②B．①③④
C．①②③⑤D．①②③④⑤
课堂演练五：
1。
（2011，重庆）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）
A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0
2。
（2010，湖北孝感）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：
①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0。
其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4
1
第2题图第3题图第4题图
3。
（2011，甘肃兰州）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
（1）；
（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。
你认为其中错误的有（）
A．2个B．3个C．4个D．1个
4。
（2011，山东日照）如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出
下列命题：
①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为和1；④a-2b+c＞0。
其中正确的命题是。
（只要求填写正确命题的序号）
5。
（2009，广西南宁）已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：
④，其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3
图5
6。
（2008甘肃兰州）已知二次函数（）的图象如图5所示，有下列
四个结论：
①；②；③；④。
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7。
（2007，天津）已知二次函数的
图象如右图所示，有下列5个结论：
①；
②；③；④；
⑤，（的实数）其中正确的
结论有（）
A。
2个B。
3个C。
4个D。
5个
8。
（2007，南充）如右图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，
图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b。
其中正确结论是（ ）。
（A）②④（B）①④（C）②③（D）①③
二次函数的平移问题
中考方法点拨：
抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即的值不变。
解决这类问题的关键是利用好平移特征，在图形的平移中，一个点的位置
变化和一个图形的位置变化是一致的，只须抓住抛物线的顶点需要进行怎
样的平移即可。
解答思路：
先求出抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标进行平移改变，再利用顶点式求出
平移后的抛物线解析式。
（平移前先把二次函数的解析式化成顶点式）
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