C [解析]因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.
由a－c≤|PF1|≤a＋c，解得≤≤.
所以椭圆C的离心率e的取值范围是.
直线与椭圆的位置关系[学生用书P169]
[典例引领]
（2016·高考全国卷甲改编）已知A是椭圆E：
＋＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（1）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
（2）当2|AM|＝|AN|时，证明：
4k3－6k2＋3k－8＝0.
【解】
（1）设M（x1，y1），则由题意知y1＞0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A（－2，0），因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
（2）证明：
将直线AM的方程y＝k（x＋2）（k＞0）代入＋＝1，得（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
由x1·（－2）＝，得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝.
由题设，直线AN的方程为y＝－（x＋2），故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0.
（1）直线与椭圆位置关系判断的步骤
①联立直线方程与椭圆方程；
②消元得出关于x（或y）的一元二次方程；
③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．
（2）直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则
|AB|＝
＝（k为直线斜率，k≠0）．
（2017·河北省三市第二次联考）已知离心率为的椭圆＋＝1（a>b>0）的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|＝.
（1）求此椭圆的方程；
（2）已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C、D两点，若以线段CD为直径的圆过点E（－1，0），求k的值．
[解]
（1）设焦距为2c，
因为e＝＝，a2＝b2＋c2，所以＝，
因为＝，
所以b＝1，a＝，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
（2）将y＝kx＋2代入椭圆方程，得（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝（12k）2－36（1＋3k2）>0，解得k2>1.
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，若以CD为直径的圆过E点，则·＝0，即（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝0，而y1y2＝（kx1＋2）（kx2＋2）＝k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4，则（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝（k2＋1）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5＝－＋5＝0，
解得k＝，满足k2>1.所以k＝.
[学生用书P170]
——数形结合思想在椭圆求值中的应用
（经典考题）已知椭圆C：
＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
【解析】 椭圆＋＝1中，a＝3.
如图，设MN的中点为D，
则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.
因为D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，
所以|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，
所以|AN|＋|BN|＝2（|DF1|＋|DF2|）＝12.
【答案】 12
（1）本题利用了数形结合的思想，把DF1和DF2分别看作△MAN和△MNB的中位线，再结合椭圆定义即可求解．
（2）在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．
1.过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是（ ）
A．14 B．16
C．18D．20
C [解析]如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝18.
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
[解析]如图，
|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.
[答案]15
[学生用书P366（独立成册）]
1．（2017·江西五市八校二模）已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为（ ）
A．（±，0） B．（0，±）
C．（±，0）或（±，0）D．（0，±）或（±，0）
B [解析]因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为（0，±），故选B．
2．（2017·洛阳统考）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（，0），直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（ ）
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1D．＋＝1
C [解析]依题意，设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则有
，由此解得a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆方程是＋＝1.
3．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B．
C.D．
C
[解析]PQ为过F1垂直于x轴的弦，
则Q，△PF2Q的周长为36.
所以4a＝36，a＝9.
由已知＝5，即＝5.
又a＝9，解得c＝6，解得＝，即e＝.
4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为两焦点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为（ ）
A．5 B．7
C．13D．15
B [解析]由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
5．（2017·湖北八校联考）设F1，F2分别为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（ ）
A. B．
C.D．
B [解析]由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝＝.又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＝2a－|PF2|＝，所以＝×＝，故选B．
6．（2017·福建省毕业班质量检测）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B．
C.D．
D
[解析]不妨设椭圆的方程为＋＝1（a>b>0），根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3（a2－c2），所以3c2＝2a2，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D．
7．（2017·贵阳模拟）若椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．
[解析]由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，
所以解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
[答案]＋＝1
8．（2017·安徽黄山一模）已知圆（x－2）2＋y2＝1经过椭圆＋＝1（a>b>0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________．
[解析]圆（x－2）2＋y2＝1经过椭圆＋＝1（a>b>0）的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F（1，0），一个顶点为A（3，0），所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为.
[答案]
9．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
[解析]满足·＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c[答案]
10．（2017·安徽江南十校联考）椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的右顶点为A，经过原点O的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．
[解析]不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|＝＝，在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P，代入椭圆方程得：
＋＝1，故a2＝5b2＝5（a2－c2），则＝，所以离心率e＝.
[答案]
11．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点（2，－）；
（2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
[解]
（1）由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2（t1，t2＞0），因为椭圆过点（2，－），所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
（2）由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
12．已知椭圆＋＝1（a>b>0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
（1）若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率．
（2）若＝2，·＝，求椭圆的方程．
[解]
（1）若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
（2）由题知A（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，设B（x，y）．由＝2，得（c，－b）＝2（x－c，y），解得x＝，y＝－，即B.将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.又由·＝（－c，－b）·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②.由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.
13．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为（ ）
A．2 B．3
C．4D．5
B [解析]b2＝2，c＝，故|F1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3，故选B．
14．（2017·陕西省五校联考）椭圆＋＝1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B．若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
[解析]设椭圆的右焦点为F′，
如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝
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