f(x)xxx.
323
ax22.4(Ⅰ)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程;(Ⅱ)当x[2,4]时,求证:
x6f(x)x;(Ⅲ)设F(x)|f(x)(xa)|(a当M(a)最小时,求a的值.
3.(2019江苏19)设函数f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,c数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{3,1,3}中,求f(x)的极小值;4.(3)若a0,0b?
1,c1,且f(x)的极大值为M,求证:
M≤
R),记F(x)在区间[2,4]上的最大值为M(a),
R、f'(x)为f(x)的导函
274.(2019全国Ⅰ文20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.
(1)证明:
f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
5.(2019全国Ⅰ文20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.
(1)证明:
f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
6.(2019全国Ⅱ文21)已知函数f(x)(x1)lnxx1.证明:
(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.1
7.(2019天津文20)设函数f(x)lnxa(x1)ex,其中aR.(Ⅰ)若a≤0,讨论fx(Ⅱ)若
的单调性;
10a,
e
(i)证明f
x
恰有两个零点x为f
1(ii)设x为f
x
的极值点,
x
的零点,且
xx,证明3xx2.10018.(2019浙江22)已知实数a0,设函数f(x)=alnxx1,x0.
(1)当
3a时,求函数f(x)的单调区间;
41x
(2)对任意
x[,)均有(),fx求a的取值范围.e2a
2注:
e=2.71828…为自然对数的底数.2010-2018年
一、选择题
1.(2017新课标Ⅰ)已知函数f(x)lnxln(2x),则
A.f(x)在(0,2)单调递增
C.yf(x)的图像关于直线x1对称
B.f(x)在(0,2)单调递减D.yf(x)的图像关于点(1,0)对称
2.(2017浙江)函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图所示,则函数yf(x)的图
像可能是
y
Ox
2
y
x
y
x
O
O
A.B.
y
O
x
y
x
O
C.
3.(2016年全国I卷)若函数
D.
1xax在
(sin2sin3
)单调递增,则a的
fxx()取值范围是A.[1,1]B.[1,1]C.[1,1]D.[1,1]
33334.(2016年四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点,则a
A.4B.2C.4D.25.(2014新课标2)若函数f(x)kxlnx在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围
是A
.,2
B
.,1
C.
2,
D.
1,
x满足
的极值点6.(2014新课标2)设函数f
x
3sinx
.若存在f
x
0
m
2xfx
200m,则m的取值范围是
2A
.,6
6,
B
.,4
4,
C
.,2
2,
D
.,
131,
x2
7.(2014辽宁)当x[2,1]时,不等式
ax围是
4x30恒成立,则实数a的取值范
3
A.[5,3]B.[6,9]
88.(2014湖南)若
C.[6,2]D.[4,3]0xx
1x
x
21,则
A.
ln21lnB.
1ee
21lnxlnx
ee
xx
2x
x
21C.xe
2x
xe
x12D.x
e2
x
1x
e1
x2
a
19.(2014江西)在同一直角坐标系中,函数yax2x与ya2x32ax2xa
2(aR)的图像不.可.能.的是
y
y
y
y
O
x
x
O
A
x
x
O
O
DC
32fxxaxbxc,下列结论中错误的是
B
(10.2013新课标2)已知函数
A.
x0R,fx00B.函数yf
x的图像是中心对称图形的极小值点,则f
在区间
C.若x是f
x0x
x单调递减
0D.若x是f
x0的极值点,则
f'x
00[0,1]11.(2013四川)设函数f(x)exxa(aR,e为自然对数的底数).若存在
b使f(f(b))b成立,则a的取值范围是(A.[1,e]B.[1,1e])
D.[0,1]C.[e,1e]
x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一
12.(2013福建)设函数f(x)的定义域为R,
定正确的是A.
x
xR,f(x)f(x)0B.是f(x)的极小值点
0C.x是f(x)的极小值点
0D.是f(x)的极小值点
x
01213.(2012辽宁)函数yx2lnx的单调递减区间为
4
A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+)D.(0,+)14.(2012陕西)设函数f(x)xex,则
A.x1为f(x)的极大值点C.x1为f(x)的极大值点
B.x1为f(x)的极小值点D.x1为f(x)的极小值点
315.(2011福建)若a0,b0,且函数f(x)4
x则ab的最大值等于A.2B.3C.6
ax22bx2在x1处有极值,
D.916.(2011浙江)设函数fxaxbxcabc
R2,,x,若
1为函数
fxe的一
x
个极值点,则下列图象不可能为yf
x
的图象是
ABCD17.(2011湖南)设直线xt与函数f(x)x2,g(x)lnx的图像分别交于点M,N,
则当MN达到最小时t的值为
1A.1B.
2C.
5
2D.
22二、填空题
18.(2016年天津)已知函数f(x)(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为____.19.(2015四川)已知函数f(x)2x,g(x)x2ax(其中a
R).对于不相等的实数
xx,设m=
1,2
f(x)f(x)12
g(x)g(x)122
,n=
.现有如下命题:
xx
12xx
1①对于任意不相等的实数xx,都有m0;
1,2
②对于任意的a及任意不相等的实数xx,都有n>0;
1,2
③对于任意的a,存在不相等的实数xx,使得mn;
1,2xx,使得mn;
5
④对于任意的a,存在不相等的实数xx,使得mn.
1,2xx,使得mn.其中真命题有___________(写出所有真命题的序号).
20.(2011广东)函数fxxx在x=______处取得极小值.
()3321三、解答题
21.(2018全国卷Ⅰ)已知函数f(x)aexlnx1.
(1)设x2是f(x)的极值点.求a,并求f(x)的单调区间;1
(2)证明:
当a≥时,f(x)≥0.
e22.(2018浙江)已知函数f(x)xlnx.
(1)若f(x)在xx,x(xx)处导数相等,证明:
f(x)f(x)88ln2;
12
1212
(2)若a≤34ln2,证明:
对于任意k0,直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点.
23.(2018全国卷Ⅱ)已知函数()13
(1)fxxaxx.
32
(1)若a3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:
f(x)只有一个零点.
x
24.(2018北京)设函数f(x)[ax(3a1)x3a2]e.
2
(1)若曲线yf(x)在点(2,f
(2))处的切线斜率为0,求a;
(2)若f(x)在x1处取得极小值,求a的取值范围.
ax2x125.(2018全国卷Ⅲ)已知函数f(x).
xe
(1)求曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程;
(2)证明:
当a≥1时,f(x)e≥0.
26.(2018江苏)记f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x
0
f(x)g(x)且fxgx,则称x为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.
000()()00R,满足
(1)证明:
函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点”;
6
(2)若函数f(x)ax1与g(x)lnx存在“S点”,求实数a的值;
2(3)已知函数
fxxa,()e.对任意a0,判断是否存在b0,使函
()2gx
b
x
x
数f(x)与g(x)在区间
(0,)内存在“S点”,并说明理由.
R,且
ttt是公差1,2,3
27.(2018天津)设函数f(x)=(xt)(xt)(xt),其中ttt
1123,2,3为d的等差数列.
(1)若20,1,td求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若d3,求f(x)的极值;
(3)若曲线yf(x)与直线y(xt)63有三个互异的公共点,求d的取值范围.
2xx
28.(2017新课标Ⅰ)已知函数f(x)e(ea)ax.
2
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
2x29.(2017新课标Ⅱ)设函数f(x)(1x)e.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax1,求a的取值范围.30.(2017新课标Ⅲ)已知函数f(x)lnxax(2a1)x.
2
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a0时,证明()fx
32
.
32≤4a
31.(2017天津)设a,bR,|a|≤1.已知函数f(x)
xg(x)exf(x).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
6x3a(a4)xb,
(Ⅱ)已知函数yg(x)和yex的图象在公共点(x,y)处有相同的切线,
00
(i)求证:
f(x)在xx处的导数等于0;
07
(ii)若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x1,x1]上恒成立,求b的取值范围.
0032.(2017浙江)已知函数f(x)(x2x1)ex
(1)x≥.
2(Ⅰ)求f(x)的导函数;
1(Ⅱ)求f(x)在区间[
233.(2017江苏)已知函数())上的取值范围.
1bx(a0,bR)有极值,且导函数f(x)fx
x3
ax2的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
b23a;
(2)证明:
34.(2016年全国I卷)已知函数f(x)(x2)ea(x1).22(I)讨论f(x)的单调性;
(II)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.35.(2016年全国II卷)已知函数f(x)(x1)lnxa(x1).(Ⅰ)当a4时,求曲线yf(x)在1,f
(1)(Ⅱ)若当
x
处的切线方程;
1,时,f(x)>0,求a的取值范围.36.(2016年全国III卷)设函数f(x)lnxx1.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明当
x(1,)时,1
1x;x
lnx
(III)设c1,证明当x(0,1)时,1(c1)xcx.
37.(2015新课标2)已知函数f(x)lnxa(1x).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围.
fx
x.38.(2015新课标1)设函数
2aln8ex
(Ⅰ)讨论f
x的导函数f
x
零点的个数;
2(Ⅱ)证明:
当a0时
fx
2aaln≥
.
a
39.(2014新课标2)已知函数f(x)x3xax2,曲线yf(x)在点(0,2)处的
32切线与x轴交点的横坐标为-2.(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)证明:
当k1时,曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.
40.(2014山东)设函数
x
(2ln)k(k为常数,e2.71828L是自然对数e
x2
f
xx
x
的底数)
(Ⅰ)当k0时,求函数fx(Ⅱ)若函数f
x
在
的单调区间;
0,
2k的取值范围.内存在两个极值点,求
1afxalnxxbxa1,
(41.2014新课标1)设函数
2
2
曲线yfx在点1,f(Ⅰ)求b;
1处的切线斜率为
0
a
(Ⅱ)若存在
使得
,求a的取值范围.
x
0
fx
01,a1x142.(2014山东)设函数()ln,其中a为常数.
fxax
x1
(Ⅰ)若a0,求曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
43.(2014广东)已知函数
1f(x)xxax1(aR)323(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a0时,试讨论是否存在
x
0111(0,)U(,1),使得f(x)f().
022244.(2014江苏)已知函数f(x)exex,其中e是自然对数的底数.
(Ⅰ)证明:
f(x)是R上的偶函数;(Ⅱ)若关于x的不等式mf(x)≤
ex
m1在
(0,9)上恒成立,求实数m的取值范围;
3(Ⅲ)已知正数a满足:
存在x0[1,),使得f(x0)a(x03x0)成立.试比较ea1
与ae1的大小,并证明你的结论.45.(2013新课标1)已知函数
f(x)ex(axb)x24x,曲线yf(x)在点(0,f(0))处切线方程为y4x4.(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
2x46.(2013新课标2)已知函数f(x)xe.
(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;
(Ⅱ)当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
a
(
aR,e为自然对数的底数).
47.(2013福建)已知函数f(x)x1e
x
(Ⅰ)若曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)当a1的值时,若直线l:
ykx1与曲线yf(x)没有公共点,求k的最大
值.
48.(2013天津)已知函数f(x)x2lnx.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:
对任意的t0,存在唯一的s,使tf(s).(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为sg(t),
te时,有2lng(t)12.证明:
当
549.(2013江苏)设函数f
xlnt
2lnxax,
xgxexax,其中a为实数.
在1
(Ⅰ)若f
x
在1
g上是单调减函数,且a的取上有最小值,求
值范围;
10
(Ⅱ)若g
x在
1
上是单调增函数,试求f
x
的零点个数,并证明你的结论.
50.(2012新课标)设函数f(x)=e-ax-2x
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a1,k为整数,且当x0时,(xk)f(x)x10,求k的最大值51.(2012安徽)设函数
1x
f(x)ae
ae
b(a0)x
(Ⅰ)求f(x)在[0,)内的最小值;
3yx;求a,b的值。
2(Ⅱ)设曲线yf(x)在点(2,f
(2))的切线方程为
fx
lnxk(k为常数,e2.71828是自然对数的底数),
e
x
曲线yf
xx轴平行.在点1,f1处的切线与
(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f
x
的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)(x2x)f(x),其中f(x)是f(x)的导数.
证明:
对任意的x0,
gxe.
12alnxb
53.(2011新课标)已知函数f(x),曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方程
x1x
为x2y30.(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)证明:
当x0,且x1时,()lnx1
fx
x
.
54.(2011浙江)设函数f(x)a2lnxx2ax,a0(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求所有实数a,使e1f(x)e2对x[1,e]恒成立.注:
e为自然对数的底数.
55.(2011福建)已知a,b为常数,且a0,函数f(x)axbaxlnx,f(e)2(e=2.71828…是自然对数的底数).
11
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a1时,是否同时存在实数m和M(mM),使得对每一个t∈[m,M],直
1
线yt与曲线yf(x)(x∈[,e])都有公共点?
若存在,求出最小的实数m
e
和最大的实数M;若不存在,说明理由.
56.(2010新课标)设函数
2f(x)xex1ax
(Ⅰ)若a=1
,求f(x)的单调区间;
2(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
12