f（x）xxx．
323
ax22.4（Ⅰ）求曲线yf（x）的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当x[2,4]时，求证：
x6f（x）x；（Ⅲ）设F（x）|f（x）（xa）|（a当M（a）最小时，求a的值．
3.（2019江苏19）设函数f（x）（xa）（xb）（xc）,a,b,c数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'（x）的零点均在集合{3,1,3}中，求f（x）的极小值；4．（3）若a0,0b?
1,c1，且f（x）的极大值为M，求证:
M≤
R），记F（x）在区间[2,4]上的最大值为M（a），
R、f'（x）为f（x）的导函
274.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：
f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
5.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：
f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
6.（2019全国Ⅱ文21）已知函数f（x）（x1）lnxx1.证明：
（1）f（x）存在唯一的极值点；
（2）f（x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.1
7.（2019天津文20）设函数f（x）lnxa（x1）ex，其中aR.（Ⅰ）若a≤0，讨论fx（Ⅱ）若
的单调性；
10a，
e
（i）证明f
x
恰有两个零点x为f
1（ii）设x为f
x
的极值点，
x
的零点，且
xx，证明3xx2.10018.（2019浙江22）已知实数a0，设函数f（x）=alnxx1,x0.
（1）当
3a时，求函数f（x）的单调区间；
41x
（2）对任意
x[,）均有（）,fx求a的取值范围.e2a
2注：
e=2.71828…为自然对数的底数.2010-2018年
一、选择题
1．（2017新课标Ⅰ）已知函数f（x）lnxln（2x），则
A．f（x）在（0,2）单调递增
C．yf（x）的图像关于直线x1对称
B．f（x）在（0,2）单调递减D．yf（x）的图像关于点（1,0）对称
2．（2017浙江）函数yf（x）的导函数yf（x）的图像如图所示，则函数yf（x）的图
像可能是
y
Ox
2
y
x
y
x
O
O
A．B．
y
O
x
y
x
O
C．
3．（2016年全国I卷）若函数
D．
1xax在
（sin2sin3
）单调递增，则a的
fxx（）取值范围是A．[1,1]B．[1,1]C．[1,1]D．[1,1]
33334．（2016年四川）已知a为函数f（x）x312x的极小值点，则a
A．4B．2C．4D．25．（2014新课标2）若函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围
是A
．,2
B
．,1
C．
2,
D．
1,
x满足
的极值点6．（2014新课标2）设函数f
x
3sinx
．若存在f
x
0
m
2xfx
200m，则m的取值范围是
2A
．,6
6,
B
．,4
4,
C
．,2
2,
D
．,
131,
x2
7．（2014辽宁）当x[2,1]时，不等式
ax围是
4x30恒成立，则实数a的取值范
3
A．[5,3]B．[6,9]
88．（2014湖南）若
C．[6,2]D．[4,3]0xx
1x
x
21，则
A．
ln21lnB．
1ee
21lnxlnx
ee
xx
2x
x
21C．xe
2x
xe
x12D．x
e2
x
1x
e1
x2
a
19．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数yax2x与ya2x32ax2xa
2（aR）的图像不．可．能．的是
y
y
y
y
O
x
x
O
A
x
x
O
O
DC
32fxxaxbxc，下列结论中错误的是
B
（10．2013新课标2）已知函数
A．
x0R,fx00B．函数yf
x的图像是中心对称图形的极小值点，则f
在区间
C．若x是f
x0x
x单调递减
0D．若x是f
x0的极值点，则
f'x
00[0,1]11．（2013四川）设函数f（x）exxa（aR，e为自然对数的底数）．若存在
b使f（f（b））b成立，则a的取值范围是（A．[1,e]B．[1,1e]）
D．[0,1]C．[e,1e]
x0（x00）是f（x）的极大值点，以下结论一
12．（2013福建）设函数f（x）的定义域为R，
定正确的是A．
x
xR,f（x）f（x）0B．是f（x）的极小值点
0C．x是f（x）的极小值点
0D．是f（x）的极小值点
x
01213．（2012辽宁）函数yx2lnx的单调递减区间为
4
A．（－1,1]B．（0,1]C．[1,+）D．（0,+）14．（2012陕西）设函数f（x）xex，则
A．x1为f（x）的极大值点C．x1为f（x）的极大值点
B．x1为f（x）的极小值点D．x1为f（x）的极小值点
315．（2011福建）若a0，b0，且函数f（x）4
x则ab的最大值等于A．2B．3C．6
ax22bx2在x1处有极值，
D．916．（2011浙江）设函数fxaxbxcabc
R2,,x，若
1为函数
fxe的一
x
个极值点，则下列图象不可能为yf
x
的图象是
ABCD17．（2011湖南）设直线xt与函数f（x）x2，g（x）lnx的图像分别交于点M,N，
则当MN达到最小时t的值为
1A．1B．
2C．
5
2D．
22二、填空题
18．（2016年天津）已知函数f（x）（2x+1）ex,f（x）为f（x）的导函数，则f（0）的值为____.19．（2015四川）已知函数f（x）2x，g（x）x2ax（其中a
R）．对于不相等的实数
xx，设m＝
1,2
f（x）f（x）12
g（x）g（x）122
，n＝
．现有如下命题：
xx
12xx
1①对于任意不相等的实数xx，都有m0；
1,2
②对于任意的a及任意不相等的实数xx，都有n>0；
1,2
③对于任意的a，存在不相等的实数xx，使得mn；
1,2xx，使得mn；
5
④对于任意的a，存在不相等的实数xx，使得mn．
1,2xx，使得mn．其中真命题有___________（写出所有真命题的序号）．
20．（2011广东）函数fxxx在x=______处取得极小值．
（）3321三、解答题
21．（2018全国卷Ⅰ）已知函数f（x）aexlnx1．
（1）设x2是f（x）的极值点．求a，并求f（x）的单调区间；1
（2）证明：
当a≥时，f（x）≥0．
e22．（2018浙江）已知函数f（x）xlnx．
（1）若f（x）在xx，x（xx）处导数相等，证明：
f（x）f（x）88ln2；
12
1212
（2）若a≤34ln2，证明：
对于任意k0，直线ykxa与曲线yf（x）有唯一公共点．
23．（2018全国卷Ⅱ）已知函数（）13
（1）fxxaxx．
32
（1）若a3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：
f（x）只有一个零点．
x
24．（2018北京）设函数f（x）[ax（3a1）x3a2]e．
2
（1）若曲线yf（x）在点（2,f
（2））处的切线斜率为0，求a；
（2）若f（x）在x1处取得极小值，求a的取值范围．
ax2x125．（2018全国卷Ⅲ）已知函数f（x）．
xe
（1）求曲线yf（x）在点（0,1）处的切线方程；
（2）证明：
当a≥1时，f（x）e≥0．
26．（2018江苏）记f（x）,g（x）分别为函数f（x）,g（x）的导函数．若存在x
0
f（x）g（x）且fxgx，则称x为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
000（）（）00R，满足
（1）证明：
函数f（x）x与g（x）x22x2不存在“S点”；
6
（2）若函数f（x）ax1与g（x）lnx存在“S点”，求实数a的值；
2（3）已知函数
fxxa，（）e．对任意a0，判断是否存在b0，使函
（）2gx
b
x
x
数f（x）与g（x）在区间
（0,）内存在“S点”，并说明理由．
R，且
ttt是公差1,2,3
27．（2018天津）设函数f（x）=（xt）（xt）（xt），其中ttt
1123,2,3为d的等差数列．
（1）若20,1,td求曲线yf（x）在点（0,f（0））处的切线方程；
（2）若d3，求f（x）的极值；
（3）若曲线yf（x）与直线y（xt）63有三个互异的公共点，求d的取值范围．
2xx
28．（2017新课标Ⅰ）已知函数f（x）e（ea）ax．
2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
2x29．（2017新课标Ⅱ）设函数f（x）（1x）e．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax1，求a的取值范围．30．（2017新课标Ⅲ）已知函数f（x）lnxax（2a1）x．
2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a0时，证明（）fx
32
．
32≤4a
31．（2017天津）设a,bR，|a|≤1．已知函数f（x）
xg（x）exf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
6x3a（a4）xb，
（Ⅱ）已知函数yg（x）和yex的图象在公共点（x,y）处有相同的切线，
00
（i）求证：
f（x）在xx处的导数等于0；
07
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x1,x1]上恒成立，求b的取值范围．
0032．（2017浙江）已知函数f（x）（x2x1）ex
（1）x≥．
2（Ⅰ）求f（x）的导函数；
1（Ⅱ）求f（x）在区间[
233．（2017江苏）已知函数（））上的取值范围．
1bx（a0,bR）有极值，且导函数f（x）fx
x3
ax2的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
b23a；
（2）证明：
34．（2016年全国I卷）已知函数f（x）（x2）ea（x1）.22（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.35．（2016年全国II卷）已知函数f（x）（x1）lnxa（x1）.（Ⅰ）当a4时，求曲线yf（x）在1,f
（1）（Ⅱ）若当
x
处的切线方程；
1,时，f（x）＞0，求a的取值范围.36．（2016年全国III卷）设函数f（x）lnxx1．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明当
x（1,）时，1
1x；x
lnx
（III）设c1，证明当x（0,1）时，1（c1）xcx．
37．（2015新课标2）已知函数f（x）lnxa（1x）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围．
fx
x．38．（2015新课标1）设函数
2aln8ex
（Ⅰ）讨论f
x的导函数f
x
零点的个数；
2（Ⅱ）证明：
当a0时
fx
2aaln≥
．
a
39．（2014新课标2）已知函数f（x）x3xax2，曲线yf（x）在点（0，2）处的
32切线与x轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：
当k1时，曲线yf（x）与直线ykx2只有一个交点．
40．（2014山东）设函数
x
（2ln）k（k为常数，e2.71828L是自然对数e
x2
f
xx
x
的底数）
（Ⅰ）当k0时，求函数fx（Ⅱ）若函数f
x
在
的单调区间；
0,
2k的取值范围．内存在两个极值点，求
1afxalnxxbxa1，
（41．2014新课标1）设函数
2
2
曲线yfx在点1，f（Ⅰ）求b；
1处的切线斜率为
0
a
（Ⅱ）若存在
使得
，求a的取值范围．
x
0
fx
01,a1x142．（2014山东）设函数（）ln，其中a为常数．
fxax
x1
（Ⅰ）若a0，求曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
43．（2014广东）已知函数
1f（x）xxax1（aR）323（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a0时，试讨论是否存在
x
0111（0,）U（,1），使得f（x）f（）．
022244．（2014江苏）已知函数f（x）exex，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：
f（x）是R上的偶函数；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≤
ex
m1在
（0,9）上恒成立，求实数m的取值范围；
3（Ⅲ）已知正数a满足：
存在x0[1,），使得f（x0）a（x03x0）成立．试比较ea1
与ae1的大小，并证明你的结论．45．（2013新课标1）已知函数
f（x）ex（axb）x24x，曲线yf（x）在点（0,f（0））处切线方程为y4x4．（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
2x46．（2013新课标2）已知函数f（x）xe．
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线yf（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
a
（
aR，e为自然对数的底数）．
47．（2013福建）已知函数f（x）x1e
x
（Ⅰ）若曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a1的值时，若直线l:
ykx1与曲线yf（x）没有公共点，求k的最大
值．
48．（2013天津）已知函数f（x）x2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：
对任意的t0，存在唯一的s，使tf（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为sg（t），
te时，有2lng（t）12．证明：
当
549．（2013江苏）设函数f
xlnt
2lnxax，
xgxexax，其中a为实数．
在1
（Ⅰ）若f
x
在1
g上是单调减函数，且a的取上有最小值，求
值范围；
10
（Ⅱ）若g
x在
1
上是单调增函数，试求f
x
的零点个数，并证明你的结论．
50．（2012新课标）设函数f（x）=e－ax－2x
（Ⅰ）求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若a1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）x10，求k的最大值51．（2012安徽）设函数
1x
f（x）ae
ae
b（a0）x
（Ⅰ）求f（x）在[0,）内的最小值；
3yx；求a,b的值。
2（Ⅱ）设曲线yf（x）在点（2,f
（2））的切线方程为
fx
lnxk（k为常数，e2.71828是自然对数的底数），
e
x
曲线yf
xx轴平行．在点1,f1处的切线与
（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f
x
的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）（x2x）f（x），其中f（x）是f（x）的导数．
证明：
对任意的x0，
gxe．
12alnxb
53．（2011新课标）已知函数f（x），曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程
x1x
为x2y30．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：
当x0，且x1时，（）lnx1
fx
x
．
54．（2011浙江）设函数f（x）a2lnxx2ax，a0（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a，使e1f（x）e2对x[1,e]恒成立．注：
e为自然对数的底数．
55．（2011福建）已知a，b为常数，且a0，函数f（x）axbaxlnx，f（e）2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
11
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个t∈[m,M]，直
1
线yt与曲线yf（x）（x∈[，e]）都有公共点？
若存在，求出最小的实数m
e
和最大的实数M；若不存在，说明理由．
56．（2010新课标）设函数
2f（x）xex1ax
（Ⅰ）若a=1
，求f（x）的单调区间；
2（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
12
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