北师大版高中数学必修二学案第一章 51 平行关系的判定.docx
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北师大版高中数学必修二学案第一章51平行关系的判定
5.1 平行关系的判定
学习目标
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.
知识点一 直线与平面平行的判定定理
思考 如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与____________________________,则该直线与此平面平行
⇒a∥α
知识点二 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行吗?
思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行吗?
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的______________都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
⇒α∥β
类型一 直线与平面平行的判定问题
例1 如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且
=
.
求证:
MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M,N分别是SA,BD的中点,试证明MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:
利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
跟踪训练1 在四面体A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
例2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是棱AB,BC,A1C1的中点,求证:
EF∥平面A1CD.
反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时,常用线面平行的判定定理,遇到题目中含有线段中点时,常利用取中点去寻找平行线.
跟踪训练2 如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:
BC1∥平面AB1D1;
(2)若E,F分别是D1C,BD的中点,求证:
EF∥平面ADD1A1.
类型二 平面与平面平行的判定
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法:
证明两个平面没有公共点,通常采用反证法.
(2)利用判定定理:
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
(3)转化为线线平行:
平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性:
若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
跟踪训练3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:
当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
1.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
2.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( )
A.不可能作出
B.只能作出一个
C.能作出无数个
D.上述三种情况都存在
3.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
4.经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作( )
A.1个或2个B.0个或1个
C.1个D.0个
5.如图,四棱锥P-ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,CD⊥AD,F、E分别是PA,AD的中点,求证:
平面PCD∥平面FEB.
1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行,即要证直线和平面平行,先证直线和直线平行,即由立体向平面转化,由高维向低维转化.
2.证明面面平行的一般思路:
线线平行⇒线面平行⇒面面平行.
3.准确把握线面平行及面面平行两个判定定理,是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 平行.
梳理 此平面内一条直线平行
知识点二
思考1 不一定.
思考2 平行.
梳理 两条相交直线 a∩b=P
题型探究
例1 证明 连接AN并延长交BC于点P,连接SP.
因为AD∥BC,所以
=
,
又因为
=
,
所以
=
,所以MN∥SP,
又MN
平面SBC,SP平面SBC,
所以MN∥平面SBC.
引申探究
证明 连接AC,由平行四边形的性质可知,AC必过BD的中点N,在△SAC中,M,N分别为SA,AC的中点,MN∥SC,又因为SC平面SBC,MN⃘平面SBC,所以MN∥平面SBC.
跟踪训练1 平面ABD与平面ABC
解析 如图,取CD的中点E,连接AE,BE.
则EM∶MA=1∶2,
EN∶BN=1∶2,
所以MN∥AB.
又AB平面ABD,MN
平面ABD,
所以MN∥平面ABD,
同理,AB平面ABC,MN
平面ABC,
所以MN∥平面ABC.
例2 证明 ∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,F为A1C1的中点,
∴A1F綊
AC,
∵D、E分别是棱AB,BC的中点,
∴DE綊
AC,
∴A1F綊DE,
则四边形A1DEF为平行四边形,
∴EF∥A1D.
又EF
平面A1CD且A1D平面A1CD,
∴EF∥平面A1CD.