高二数学数学归纳法检测试题有答案.docx
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高二数学数学归纳法检测试题有答案
高二数学数学归纳法检测试题（有答案）
数学归纳法及其应用举例
一、选择题（共49题，题分合计245分）
1.用数学归纳法证明:
"1+++…+1）"时,由n=k（k>1）不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是
A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1
2.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分
成的部分为f（n）,则下列猜想:
①f（n）=n,②f（n）=f（n-1）+2n,③f（n）=n2-n+2
中,正确的是
A.①与②B.①与③C.②与③D.只有③
3.某个命题与自然数m有关,若m=k（k∈N）时该命题成立,那么可以推得m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命题不成立,那么可推得
A.当m=6时该命题不成立B.当m=6时该命题成立
C.当m=4时该命题不成立D.当m=4时该命题成立
4.设f（n）=（n∈N）,那么f（n+1）-f（n）等于
A.B.C.+D.-
5.用数学归纳法证明1+a+a2+…+=（nN,a≠1）中,在验证n=1时,左式应为
A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3
6.用数学归纳法证明"5n-2n能被3整除"的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应把5k+1-2k+1变形为
A.（5k-2k）+4×5k-2kB.5（5k-2k）+3×2kC.（5k-2k）（5-2）D.2（5k-2k）-3×5k
7.平面内原有k条直线,它们把平面划分成f（k）个区域,则增加第k+1条直线后,这k+1条直线把平面分成的区域至多增加
A.k个B.k+1个C.f（k）个D.f（k）+（k+1）个
8.已知凸k边形的对角线条数为f（k）（k≥3）条,则凸k+1边形的对角线条数为
A.f（k）+kB.f（k）+k+1C.f（k）+k-1D.f（k）+k-2
9.用数学归纳法证明（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于
A.2k+2B.4k+3C.3k+2D.k+1
10.下面四个判断中,正确的是
A.式子1+k+k2+…+kn（n∈N）,当n=1时恒为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1（n∈N）,当n=1时恒为1+k
C.式子…+（n∈N）,当n=1时恒为
D.设f（x）=（n∈N）,则f（k+1）=f（k）+
11.用数字归纳法证1+x+x2+…+xn+1=（x≠1）,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是
A.1B.1+xC.1+x+x2D.1+x+x2+x3
12.用数字归纳法证明1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是
A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4
13.用数学归纳法证明"当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除"的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为
A.34k+2•81+52k+1•25B.34k+1•243+52k•125C.25（34k+2+52k+1）+56•34k+2D.34k+4•9+52k+2•5
14.用数学归纳法证明+++……+=（nN）时,从"n=k到n=k+1",等式左边需增添的项是
A.B.C.D.
15.利用数学归纳法证明不等式",（n≥2,n∈N）"的过程中,由"n=k"变到"n=k+1"时,左边增加了
A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项
16.用数学归纳法证明"5n-2n能被3整除"的第二步中，n=k＋1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为
A.（5k-2k）＋4×5k-2kB.5（5k-2k）＋3×2kC.（5-2）（5k-2k）D.2（5k-2k）-3×5k
17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f（k）,则增加一条直线后,它们的交点个数最多为
A.f（k）+1B.f（k）+kC.f（k）+k+1D.k•f（k）
18.已知一个命题P（k）,k=2n（n∈N）,若n=1,2,…,1000时,P（k）成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是
A.P（k）对k=2004成立B.P（k）对每一个自然数k成立
C.P（k）对每一个正偶数k成立D.P（k）对某些偶数可能不成立
19.用数学归纳法证明:
从k到k+1需在不等式两边加上
A.B.C.D.
20.设,则f（2k）变形到f（2k+1）需增添项数为
A.2k+1项B.2k项C.2项D.1项
21.欲用数学归纳法证明：
对于足够大的自然数n，总有2n＞n3,n0为验证的第一个值，则
A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n0≥10D.n0=2
22.某同学回答"用数字归纳法证明A.当n=1时,验证过程不具体B.归纳假设的写法不正确
C.从k到k+1的推理不严密D.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
23.平面上有k（k>3）条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数为
A.k个B.k+2个C.2k个D.2k+2个
24.已知凸k边形的对角线条数为f（k）（k>3），则凸k＋1边形的对角线条数为
A.f（k）＋kB.f（k）＋k＋1C.f（k）＋k-1D.f（k）＋k-2
25.平面内原有k条直线，它们将平面分成f（k）个区域，则增加第k＋1条直线后，这k＋1条直线将平面分成的区域最多会增加
A.k个B.k＋1个C.f（k）个D.f（k）＋1个
26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n个圆把平面分成
A.2n部分B.n2部分C.2n－2部分D.n2－n＋2部分
27.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成f（n）个部分，则满足上述条件的n＋1个圆把平面分成的部分f（n＋1）与f（n）的关系是
A.f（n＋1）=f（n）＋nB.f（n＋1）=f（n）＋2nC.f（n＋1）=f（n）＋n＋1D.f（n＋1）=f（n）＋n＋2
28.用数学归纳法证明不等式成立时，应取的第一个值为
A.1B.3C.4D.5
29.若，则等于
A.B.
C.D.
30.设凸n边形的内角和为f（n），则f（n+1）-f（n）等于
A.B.C.D.
31.用数学归纳法证明不等式"成立",则n的第一个值应取
A.7B.8C.9D.10
32.等于
A.B.C.D.
33.已知a､b是不相等的正数,若,则b的取值范围是
A.02
34.利用数学归纳法证明"对任意偶数n,an-bn能被a+b整除"时,其第二步论证,应该是
A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立
B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立
C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立
D.假设n=2k时命题成立,再证n=2（k+1）时命题也成立
35.用数学归纳法证明"42n-1+3n+1（nN）能被13整除"的第二步中,当n=k+1时为了使用假设,对42k+1+3k+2变形正确的是
A.16（42k-1+3k+1）-13×3k+1B.4×42k+9×3k
C.（42k-1+3k+1）+15×42k-1+2×3k+1D.3（42k-1+3k+1）-13×42k-1
36.用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n-1）（n∈N）时,从""两边同乘以一个代数式,它是
A.2k+2B.（2k+1）（2k+2）C.D.
37.用数学归纳法证明某命题时,左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α（α≠kπ,k∈Z,n∈N）,在验证n=1时,左边所得的代数式为
A.B.+cosαC.+cosα+cos3αD.+cosα+cos3α+cos5α
38.用数学归纳法证明"（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）"时,第二步n=k+1时的左边应是n=k时的左边乘以
A.（k+1+k+1）B.（k+1+k）（k+1+k+1）C.D.
39.设Sk=+++……+,则Sk+1为
A.B.
C.D.
40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1-+…+,从"n=k到n=k+1",应将左边加上
A.B.C.D.
41.用数学归纳法证明"当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除"时,第二步应是
A.假设n=k（kN）时命题成立,推得n=k+1时命题成立
B.假设n=2k+1（kN）时命题成立,推得n=2k+3时命题成立
C.假设k=2k-1（kN）时命题成立,推得n=2k+1时命题成立
D.假设n£k（k³1,kN）时命题成立,推得n=k+2时命题成立
42.设p（k）:
1+（kN）,则p（k+1）为
A.
B.
C.
D.上述均不正确
43.k棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为
A.2f（k）B.k－1＋f（k）C.f（k）＋kD.f（k）＋2
44.已知，则等于
A.B.
C.D.
45.用数学归纳法证明
，在验证n=1等式成立时，左边计算所得的项是
A.B.C.D.
46.用数学归纳法证明某不等式，其中证时不等式成立的关键一步是：
，括号中应填的式子是
A.B.C.D.
47.对于不等式，某人的证明过程如下：
当时，不等式成立。
假设时不等式成立，即，则时，
。
当时，不等式成立。
上述证法
A.过程全都正确B.验得不正确
C.归纳假设不正确D.从到的推理不正确
48.某个命题与自然数n有关,如果当n=k（k∈N）时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得
A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立
49.利用数学归纳法证明不等式""时,由"假设n=k时命题成立"到"当n=k+1时",正确的步骤是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共9题，题分合计36分）
1.用数学归纳法证明:
当n∈N,1+2+22+23+…+25n-1是31倍数时,当n=1时,原式为
___________________.从n=k到n=k+1时需增添的项是_______________________.
2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n（n＞1），在验证n＝2成立时，左式是____________________.
3.不等式＋＋…＋＞中，当"n＝kn＝k＋1时"，不等式左边增加的项是___________________，少掉的项是________________.
4.平面上原有k个圆，它们的交点个数记为f（k），则增加第k＋1个圆后，交点个数最多增加_________个.
5.用数学归纳法证明，从到一步时，等式两边应增添的式子是____________________.
6.用数学归纳法证明（a,b是非负实数,n∈N+）时,假设n=k
时不等式（*）成立,再推证n=k+1时不等式也成立的关键是将（*）式
__________________.
7.用数学归纳法证明能被14整除时，当时，对于应变形为________________________.
8.用数学归纳法证明时，第一步验证为_______________________________________________________________________________.
9.用数学归纳法证明时，当时，应证明的等式为__________________.
三、解答题（共36题，题分合计362分）
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3Sn=（n+2）an对一切自然数n都成立?
试证明你的结论.
2.平面上有几个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成f（n）=n2-n+2个部分.
3.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并对一切自然数n有,
（1）写出数列前3项;
（2）求数列{an}的通项公式（予以证明）.
4.已知数列计算S1、S2、S3由此推测Sn的公式，然后用数学归纳法证明.
5.求最大的正整数m,使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意的正整数n,都能被m整除,并证明你的结论.
6.当n∈N时,Sn=1-+-+…+-,Tn=++…+.对于相同的n,试比较Sn与Tn的大小关系,并证明你的结论.
7.已知函数f（n）=-2+2（n≥4）
（1）试求反函数f-1（n）,并指出其定义域;
（2）如果数列{an}（an≥0）中a1=2,前n项和为Sn（n∈N）且Sn=f-1（Sn-1）,求{an}的
通项公式;
（3）求的值.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3Sn=（n+2）an对一切自然数n都成立?
试证明你的结论.
9.已知:
x>-1且x≠0,n∈N,n≥2求证:
（1+x）n>1+nx.
10.求证:
二项式x2n-y2n（n∈N）能被x+y整除.
11.是否存在常数a，b使等式
1•n+2（n-1）+3（n-2）+…+（n-2）•3+（n-1）•2+n•1=n（n+a）（n+b）对一切自然数N都成立，并证明你的结论.
12.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=（n=1,2,3……）.试证:
数列{xn}或者对任意的自然数n都满足xn13.是否存在常数a､b､c,使得等式1•22+2•32+……+n（n+1）2=（an2+bn+c）对一切自然数n成立?
并证明你的结论.
14.证明不等式:
1+（n∈N）.
15.平面上有n条直线,其中无两条平行也无三条共点
求证:
这n条直线
（1）彼此分成n2段;
（2）把平面分成个部分.
16.用数归纳法证明（3n+1）•7n-1是9的倍数（nN）.
17.用数学归纳法证明（x+3）n-1能被（x+2）整除.
18.用数学归纳法证明：
1＋2＋3＋…＋2n＝n（2n＋1）（nN）.
19.下列所给条件，写出数列｛an｝的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.
已知a1=1，Sn=n2•an（n≥2）.
20.下列所给条件，写出数列｛an｝的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.
已知a1=1，且an、an+1、2a1成等差数列.
21.对于任意自然数n，n3+11n能被6整除.
22.已知数列｛bn｝是等差数列,,,
（1）求数列｛bn｝的通项.
（2）设数列｛an｝的通项（其中）记Sn是数列｛an｝的前n项和,试比较Sn与的大小,并证明你的理论.
23.用数学归纳法证明
已知：
24.
25.设,是否存在关于n的整式g（n）使对大于1的一切正整数n都成立?
并证明你的结论.
26.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,
（1）设这n条直线互相分割成f（n）条线段或射线,猜想f（n）的表达式并给以证明.
（2）求证:
这n条直线把平面分成个区域.
27.数列｛an｝中,,设….
（1）试求出的值;
（2）猜想出,并用数学归纳法证明.
28.是否存在常数a、b、c使等式
对一切自然数n都成立，并证明结论．
29.在各项都为正数的数列｛an｝中，其前n项和为Sn，且（n∈N），试由a1，a2，a3的值推测an的计算公式，并证明之.
30.已知f（x）=2x+b，f1（x）=ff（x）]，fn（x）=fn-1f（x）]（n∈N，n≥2），试求a＜b，x表示的f1（x），f2（x），f3（x）的式子，并推测fn（x）以b，x，n表示的式子，证明你的结论．
31.设函数,
若数列满足,
求证：
当
32.用数学归纳法证明
（nN）
33.用数学归纳法证明|sinnθ|≤n|sinθ|.
34.
试比较An与Bn的大小，并说明理由.
35.已知等差数列｛an｝的第2项为8,前10项的和为185.
（1）求数列｛an｝的通项公式.
（2）若从数列｛an｝中依次取出第2项,第4项,第8项,...,第2n项,......按原来顺序排成一个新的数列,求此数列的前n项和Sn.
（3）设Tn=n（an+9）,试比较Sn与Tn的大小,并说明理由.
36.数列{an}的通项公式an=,f（n）=（1-a1）（1-a2）（1-a3）……（1-an）.
（1）求f
（1）,f
（2）,f（3）,f（4）,并猜想f（n）的表达式;
（2）用数字归纳法证明你的结论.
数学归纳法及其应用举例答案
一、选择题（共49题，合计245分）
1.C2.C3.C4.D5.C6.B7.B8.C9.B10.C11.C12.C
13.C14.C15.D16.B17.B18.D19.C20.B21.C22.D23.C24.C
25.B26.D27.B28.D29.D30.C31.B32.B33.B34.D35.A36.D
37.B38.D39.C40.D41.C42.C43.B44.C45.B46.C47.D
48.C49.D
二、填空题（共9题，合计36分）
1.1+2+22+23+24
2.
3.
4.2k
5.
6.两边同时乘以
7.
8.当时，左边，右边不等式成立
9.
三、解答题（共36题，合计362分）
1.见注释
2.见注释
3.见注释
4.见注释
5.m=36
6.相等
7.
（1）
（2）（3）1
8.见注释
9.见注释
10见注释
11.见注释
12.见注释
13.见注释
14.见注释
15.见注释
16.见注释
17.见注释
18.见注释
19.
20.
21.见注释
22.见注释
23.见注释
24.见注释
25.见注释
26.见注释
27.见注释
28.令n=1，n=2，n=3，列方程组求得a=3，b=11，c=10．再用数学归纳法证明.
29.a1=1，a2=，a3=，推测并用数学归纳法证明.
30.f1（x）=22x+（2+1）b，f2（x）=23x+（22+2+1）b，f3（x）=24x+（23+22+2+1）b，推测fn（x）=2n+1x+（2n+2n-1+…+2+1）b
31.见注释
32.见注释
33.见注释
34.见注释
35.见注释
36.
（1）f
（1）=,f
（2）=,f（3）=,f（4）=,故猜想f（n）=
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