二次规划.docx
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二次规划
2013-2014
（1）专业课程实践论文
题目：
二次规划
一、算法理论
二次规划是非线性优化中的一种特殊情形,它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。
由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一系列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，成为求解非线性优化的一个重要途径。
二次规划的算法较多，本论文仅介绍求解一般约束凸二次规划的有效集方法。
考虑一般二次规划
有效集方法的最大难点是事先一般不知道有效集
，因此只有想办法构造一个集合序列去逼近它。
即从初始点
出发，计算有效集
，解对应的等式约束子问题。
重复这一做法，得到有效集序列
，
，使之
，以获得原问题的最优解。
我们分六步来介绍有效集方法的算法原理和实施步骤。
第一步选定初始值。
给定初始可行点
，令
。
第二步求解子问题。
确定相应的有效集
，求解子问
得到极小点
和拉格朗日乘子向量
。
若
转入步三；否则转步二。
第三步检验终止准则。
计算拉格朗日乘子
其中
，令
。
若
，则
是全局极小点，停算。
否则若
，则令
，转步一。
第四步确定步长
。
令
，其中
，其中
。
令
。
第五步若
，则令
，否则，若
，则令
，其中
满足
。
第六步令
，转步一。
二、算法框图
三、算法程序
function[x,lamk,exitflag,output]=qpact（H,c,Ae,be,Ai,bi,x0）
%功能:
用有效集方法解一般约束二次规划问题:
%minf（x）=0.5*x’*H*x+c’*x,
%s.t.a’˙i*x-b˙i=0,（i=1,...,l）,
%a’˙i*x-b˙i?
=0,（i=l+1,...,m）
%输入:
x0是初始点,H,c分别是目标函数二次型矩阵和向量；
%Ae=（a˙1,...,a˙l）’,be=（b˙1,...,b˙l）’;
%Ai=（a˙–l+1?
...,a˙m）,bi=（b˙–l+1?
...,b˙m）’.
%输出:
x是最优解，lambda是对应的乘子向量；output是结构变量,
%输出极小值f（x）,迭代次数k等信息,exitflag是算法终止类型
%%%%%%%%%%%%%%%%%主程序开始%%%%%%%%%%%%%%%%%
%初始化
epsilon=1.0e-9;err=1.0e-6;
k=0;x=x0;n=length（x）;kmax=1.0e3;
ne=length（be）;ni=length（bi）;lamk=zeros（ne+ni,1）;
index=ones（ni,1）;
for（i=1:
ni）
if（Ai（i,:
）*x>bi（i）+epsilon）,index（i）=0;end
end%算法主程序
while（k<=kmax）%求解子问题
Aee=[];
if（ne>0）,Aee=Ae;end
for（j=1:
ni）
if（index（j）>0）,Aee=[Aee;Ai（j,:
）];end
end
gk=H*x+c;
[m1,n1]=size（Aee）;
[dk,lamk]=qsubp（H,gk,Aee,zeros（m1,1））;
if（norm（dk）<=err）
y=0.0;
if（length（lamk）>ne）
[y,jk]=min（lamk（ne+1:
length（lamk）））;
end
if（y>=0）
exitflag=0;
else
exitflag=1;
for（i=1:
ni）
if（index（i）&（ne+sum（index（1:
i）））==jk）
index（i）=0;break;
end
end
end
k=k+1;
else
exitflag=1;
%求步长
alpha=1.0;tm=1.0;
for（i=1:
ni）
if（（index（i）==0）&（Ai（i,:
）*dk<0））
tm1=（bi（i）-Ai（i,:
）*x）/（Ai（i,:
）*dk）;
if（tm1tm=tm1;ti=i;
end
end
end
alpha=min（alpha,tm）;
x=x+alpha*dk;%修正有效集
if（tm<1）,index（ti）=1;end
end
if（exitflag==0）,break;end
k=k+1;
end
output.fval=0.5*x'*H*x+c'*x;
output.iter=k;%%%%%%%%求解子问题%%%%%%%%%%%%%%%
function[x,lambda]=qsubp（H,c,Ae,be）
ginvH=pinv（H）;
[m,n]=size（Ae）;
if（m>0）
rb=Ae*ginvH*c+be;
lambda=pinv（Ae*ginvH*Ae'）*rb;
x=ginvH*（Ae'*lambda-c）;
else
x=-ginvH*c;
lambda=0;
end
四、算法实现
例1.求解二次规划问题
。
解：
在Matlab命令窗口输入下列命令和计算结果为
例2.求解二次规划问题
。
解：
在Matlab命令窗口输入下列命令和计算结果为
例3.求解二次规划问题
。
解：
在Matlab命令窗口输入下列命令和计算结果为
例4.求解二次规划问题
。
解：
在Matlab命令窗口输入下列命令和计算结果为
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