高考命题中的数列问题及其教学策略研究.docx
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高考命题中的数列问题及其教学策略研究
高考命题中的数列问题及其教学策略研究
摘要
在每年的高考命题中，数列是必考内容，各省份的命题中都会涉及，全国卷的命题一直都会体现各省份单独命题的热点，因此，本文以近十年从2010年至2019年全国一卷文理科高考数学中的数列真题为素材，结合考试大纲与课程标准对数列的考查内容与要求，用统计分析的方法对数列真题的特点进行分析，主要有题型变化、考点、所占分值、难易程度变化，以这些分析为基础并阅读参考文献，结合数学史、学习迁移理论进行教学策略研究。
关键词：
高考；数列；教学策略
Theseriesprobleminthecollegeentranceexaminationpropositionandtheteachingstrategyresearch
Abstract
Intheannualcollegeentranceexaminationproposition,thesequenceisthestudycontent,theprovinceswillbeinvolvedinthethesis,thevolumeofpropositionshavealwaysreflectthehotspotoftheprovincesseparateproposition,asaresult,inthispaper,nearly10yearsfrom2010to2019,thenationalarollintheliberalartscollegeentranceexaminationmathematicsseriesquestions,asthematerial,combinedwiththeexaminationsyllabusandcurriculumstandardofsequence,thecontentandrequirementwithstatisticalanalysismethodtoanalyzethecharacteristicsofthesequenceofbo,themaintopicchanges,theexaminationsite,degreeofdifficultyinthescoreandchange,onthebasisoftheseanalysisandreadreferences,combinedwiththehistoryofmathematicsstudyonteachingstrategies,learningtransfertheory.
Keywords:
collegeentranceexamination;Thesequence;Teachingstrategy
一、高考数列问题的研究现状
随着新课改的推进，高考的形式和内容也不断改革，国内有许多名师、教研员等专业人士会根据高考的变化提出在高考中数列的考查热点、题型分析、命题分析等，发表了许许多多值得借鉴的论文，这些文章思路清晰、目的明确，总结了许多很实际的结论，给出了许多有启发意味的观点。
一类是对于高考命题的分析，比如叶景辉老师[1]在他的论文《高考数列题的解题策略研究与试题评析》中详细分析了高考中数列的五大题型，分析问题本质、近几年的试题情况，进行解题策略研究；何智老师[2]在他的论文《高考全国课标卷《数列》试题的命题特点及备考建议》中对全国卷的从命题的角度高考的考查进行了分析，通过统计分析的方法对近五年的数列题目的题型、分数、知识点进行了整理，能够从宏观上把握数列题目的命题规律；吴波兵老师[3]在《高考数学课标全国卷数列内容的考查研究》中以考试大纲的要求为背景总结了全国卷的四个出题的主要方向并收集经典的题目，总结不同的解题思路与方法，为复习备考提供建议。
这类文章经常出现在期刊论文中，深受广大高考学子的喜爱，也对一线教师的工作有极大的帮助。
另一类文献结合教育学的理论，从理论的层面指导数列教学，比如贺育斌老师[4]在《高中数列教学研究》中，结合APOS理论和体验式教学理论，深入实际的教学过程进行教学研究；孟祖国老师[5]在他的论文《高中数列的有效教学研究》中，结合有效教学理论对教学目标、学生、教材、教学过程进行了细致分析，提出数列有效教学的策略，还有部分文章研究教学设计并对对课堂教学案例进行分析。
这类文章的理论性较强而且与实际教学联系紧密，能有效促进教学工作的开展。
二、考试大纲与课程标准对数列的考查内容与要求
（一）考试大纲中对数列的考查内容与要求
数列一直是高考中的热点，它也是高中学生学习高等数学的基础，立足基础是高考命题一贯的原则。
高考重视基础知识、基本技能与基本素养的考查，检验学习者进入大学进行专业学习和终身发展所必备的知识、能力和素养，引导学生夯实成长和发展的基础。
新课改以来数学全国卷的数列题目难度有所下落，近几年也不再以压轴题的形式呈现，而注重对数列基础知识和基本技能应用的考查，等差数列和等比数列仍然是高考考查的热点。
在《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲说明（理科数学）》对数列的考查要求及内容作了详细说明[6]：
（十二）数列
1.数列的概念和简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
2.等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念.
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差
数列、等比数列的有关知识解决相应的问题.
（4）了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系.[1]
从考试大纲的要求来看，对于数列的考查要求也是从夯实基础出发的，重点要掌握等差数列和等比数列相关的知识及应用。
（二）课程标准中对数列的内容与要求
《普通高中数学课程标准（实验）》中通过与国际比较，分析我国数学教育的发展与现状，给出了10条新时代下课程的基本理念[7]：
1.构建共同基础，提供发展平台；2.提供多样课堂，适应个性发展；3.提倡积极主动、勇于探索的学习方式；4.注重提高学生的数学思维能力；5.发展学生的数学应用意识；6.与时俱进的认识‘双基’；7.强调本质，注意适度形式化；8.体现数学的文化价值；9.注重信息技术与数学课程的整合10.建立合理、科学的评价体系。
修订版的课程标准《普通高中数学课程标准（2017版）》中给出的课程理念是[8]：
1.学生发展为本，立德树人，提升素养。
2.优化课程结构，突出主线，精选内容。
3.把握数学本质，启发思考，改进教学。
4.重视过程评价，聚焦素养，提高质量。
从课程理念来看，两版课程标准均以“学生发展为本”为指导思想，相较于实验版课标，2017版课标强调教师要注重发展学生能力，重视学生核心素质的培养转化，提倡独立思考、相互交流、自发性的学习模式，还要强调在教育过程中注重课程评价的作用，促进学生在不同的数学学习阶段达到相应的核心素养水平。
两版课程标准中的课程基本理念给高中数学教学指明了方向，也给课堂的教学设计提供了建议和指导。
数列有它的独特性质，有自己的知识背景，数列的学习需要师生之间的互动，需要一个循序渐进的发现、练习、总结和再发现的过程。
对于数列教学如果设计恰当、分析透彻，新课标的基本理念可以在数列中得到很好的体现。
修订版的课程标准对数列的内容和要求如下[9]：
（1）数列概念
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
（2）等差数列
①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。
④体会等差数列与一元一次函数的关系。
（3）等比数列
①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
（4） *数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。
课程标准对数列的内容与要求主要分为三大板块，与考试大纲对比后可以总结出在学习数列的过程中有几个很重要的点：
通过日常生活中的例子，密切数列与生活的联系；理解等差数列与等比数列的概念以及通项公式；明白数列是一种特殊的函数，能够将学过的函数与数列进行迁移；探索等差和等比两种数列模型的数量关系理解其中的递推规律并能够灵活运用。
三、近十年全国卷一数列命题特点分析
数列问题在2010—2019年新课标全国卷及新课标全国卷一的分布：
1.全国卷一（文）
年份
题型及题号
分值
考查知识
2010
解答题17题
12分
等差数列通项公式；前n项和通项公式
2011
解答题17题
12分
等比数列通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质
2012
选择题12题
5分
递推数列知识
2013
选择题6题
5分
等比数列通项公式与前n项和通项公式
解答题17题
12分
等差数列前n项和
与
的关系求通项公式；用裂项相消法求数列前n项和
2014
解答题17题
12分
数列与函数结合求通项公式；乘公比错位相减法求前n项和
2015
选择题7题
5分
等差数列前n项和通项公式
填空题13题
5分
等比数列前n项和通项公式
2016
解答题17题
12分
等差数列通项公式；等比数列定义与其前n项和通项公式
2017
解答题17题
12分
等比数列前n项和
与
的关系求通项公式；等比数列前n项和公式、等差数列的定义
2018
解答题17题
12分
等比数列的定义；求数列的通项公式
2019
填空14题
5分
等比数列的性质及前n项和
与
的关系
解答题18题
12分
等差数列前n项和
与
的关系求通项公式；数列与不等式结合
2.全国卷一（理）
年份
题型及题号
所占分值
考查知识点
2010
选择题7题
5分
数列裂项相消求和与程序框图结合
解答题17题
12分
累加法求数列通项公式；错位相减法求和
2011
解答题17题
12分
等比数列的通项公式；对数运算结合裂项相消法求和
2012
选择题5题
5分
等比数列的性质及通项公式
填空题16题
5分
数列递推公式及数列求和
2013
选择题7题
5分
等差数列的定义、通项公式与前n项和公式
选择题12题
5分
数列与函数的关系，数列增减性，三角形面积计算
填空题14题
5分
等比数列的定义，
与
之间的关系
2014
解答题17题
12分
与
之间的关系；等差数列的性质以及通项公式
2015
解答题17题
12分
利用
与
之间的关系求数列通项公式；裂项相消法求和
2016
选择题3题
5分
等差数列的性质及其通项公式
填空题15题
5分
用等比数列性质求通项公式再与函数相结合求数列最值
2017
选择题4题
5分
用等差数列性质求公差
2018
选择题4题
5分
等差数列的性质与通项公式
填空题14题
5分
数列前n项和
与
的关系
2019
选择9题
5分
利用等差数列前n项和Sn与an的关系求数列通项公式
填空14题
5分
用等比数列的性质求前n项和
从分布情况来看，数列题目在近十年的全国卷一中从未缺席，题型为选择题、填空题和解答题，总分值在10—17分之间。
高考试卷中主要的考核内容是：
等差数列与等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式，利用前n项和公式
与
之间的关系求通项公式或是进行数值计算，还考查用“裂项相消法”、“乘公比错位相减”等方法求数列的前n项和、数列知识与函数相结合求最值以及与程序框图、不等式相结合的题目。
从统计分析的纵向来看，文科试卷中的数列题目考察难度适中，以数列的基础知识为根本，解答题的主要形式是求数列的通项公式、某一数列前n项和的通项公式，选择填空也是中规中矩利用等差或是等比数列的特点求通项公式或是某一项的值，而且每一年间的题目难度始中变化不大。
纵向来看理科高考中最明显的是从15年到19年数列知识的考察以一道选择题和一道填空题的组合形式出现，难度相比较于之前的压轴题有所下降。
在文理科试卷中出现频率最高的就是求通项公式，其次是求数列的前n项和，与函数、不等式结合的题目也有但出现的频率不高。
整体来看，数列部分在高考中的考查趋于平稳，对于数列知识的考查比较全面，解答题难度中等，比较综合，选择和填空题突出“小巧灵活”的特点，考查学生综合运用等差数列、等比数列的有关知识解决相应问题的能力。
从考试情况来看，数列的题目题型和难度趋于稳定，相信在即将到来的“六选三”的高考模式中数列部分的题目难度也不会有太大的浮动。
四、数列教学策略研究
前边已经分析了全国卷一近十年数列的知识点考查情况和课标教学要求，整体来看考查情况与课程标准中的要求是是一致的，在新高考的形势下越来越多的教师教育工作者和广大的社会群众提倡逐步摆脱“考什么教什么”的现状，转向“教什么考什么的”新时代教学和考试模式，所以在符合考试大纲和新课程标准教学理念的情况下，选择对教师教学、学生学习有促进作用的理论，再结合高考的实际情况把握要点有针对性的进行教学策略分析是很有必要的。
（一）数学史的应用
随着新课程标准的实行，数学教育也越发重视让学生了解知识的发生发展过程，培养学生的再创造能力，现在的数学成果是经历漫长的探索和思考才呈现在书籍中的，而现在为了教学的方便教材中往往会忽略这些探索的过程。
数列作为高中数学结构中一个重要的板块，有它自己的知识背景，而且在现实生活中的应用也非常广泛，所以从让学生了解数列知识的发生发展提升学习兴趣的角度来看，在教学时数学史的引入就很重要。
数列这一部分数学史的分布是比较多的，比如说，在高中数学必修教科书人教A版中关于数列的数学史内容有：
毕达哥拉斯学派“形数”;谢宾斯基三角形;斐波那契数列；估计
的值;数学家高斯介绍;高斯等差数列求和的故事;古代中国的等比数列;棋盘和麦子的故事;九连环;《莱茵德纸草书》中的等差数列。
在教材中，数列这一部分数学史的故事比较多，它们分布在引言、例题、阅读与思考中，这就给我们的教学提供了方便。
在教学设计上可以把它们穿插在教学过程中，非常适合于情境导入这一环节中，比如说引出数列的概念、体会数列与算法之间的联系、通过高斯求和的故事讨论等差数列的求和公式、探索等比数列的求和公式。
教材中的数学史对学生有很强的吸引力，合理的加以利用会调动课堂气氛、激发学生的学习兴趣。
在数列教学中数学史的作用：
1.知识的背后是前辈们多年的探索的辩证的结果，了解数学史后，学生们可以体会到一个定理一个公式是数学家们经历漫长的探索的结果，感受到探索道路上的不易，从而学习前辈们的探索精神和克服困难的精神，培养终身学习的观念。
2.在教学过程中合理的选取数学史料，既可以激发学生的学习兴趣和求知欲也可以帮助学生理解数列知识。
在人教版A版的教材中，例举高斯的的算法就很典型，在激发学生学习兴趣、调动课堂气氛的过程中，师生共同思考参与教学活动，探究高斯算法的优点和局限性，得出倒序相加的求和方法。
以数学史作为教学活动设计的切入点，既可以作为知识背景也可以作为探究的载体，有助于发挥学生的主动性，使得整个过程成为在教师指导下的学生再现前人探索的过程。
另外从对考试试题分析和课程标准解读的分析来看，等差和等比数列的定义、通项公式、前n项和的通项公式这些基础知识是考查重中之重，课程标准也提出要通过实际生活中的例子理解等差数列和等比数列的概念以及通项公式的意义，对于这些知识的学习和探讨都可以以数学史为情境导入，在经历这个情境的过程进行探讨让学生知道是什么、为什么，培养学生独立思考的习惯，发展创新精神和应用意识。
3.引入数学史可体现数学的文化价值
在不少学生眼里数学是大量的逻辑证明和模仿练习，数学显得枯燥乏味，缺乏对数学的兴趣，有所改观的是，在新课程理念的倡议下，教学上越来越重视数学史的作用，在近几年的高考中在题干设计上也有数学史的体现，课堂上讲解适合的又有文化价值的数学史事会让学生学会了一个定理一个公式的同时产生一种“历史感”和“文化感”，体现课程标准让学生体会数学的文化价值的理念。
（二）学习迁移理论在数列教学中的应用
在教育心理学中学习迁移是一个重要的研究领域，最早是由美国心理学家桑代克提出“学习迁移”这一说法，广义的学习迁移是指根据现有的知识和经验获得新的知识的技能的过程，获取的新的知识和技能也不断丰富已有的知识和经验，狭义上讲，学习迁移是指前一种学习和后一种学习的相互影响，合理利用学习迁移会明显提升学习的效率。
“数学学科具有它独特的逻辑性和严谨性，每个数学分支都是以逻辑为链条的演绎系统。
”[10]数列这部分知识不是一个单独的模块，从高考的考查来看，数列的这部分的题目会与函数、数学归纳法、不等式、程序框图等考点相结合。
从课程结构来看，必修一集合、映射、函数的学习为数列打下了基础，数列的知识又可以与后来学习的数学归纳法、极限相结合，具有承上启下的作用；从方法上看，其他板块的知识可以用到解决数列问题中，比如说在函数的观点下求最值、利用不等式中的放缩方法求解数列问题、用数学归纳法来证明数列成立的问题、极限思想，这些思想方法灵活的出现在高考试题中，也符合课程标准对数列教学培养学生综合应用所学知识的要求。
数列在知识结构和思想方法上与其它知识联系非常紧密，而且与实际生活密切相关，可很好的将学习迁移运用在教学中，充分发挥正迁移的作用。
1.数列的概念中学习迁移的应用
数列是一种特殊的函数，有了前面所学的函数的基础，在学习数列概念时在教学设计中就可以将数列与集合、映射、函数相结合，方便将函数的知识加以迁移。
以人教版B教材为例，在给出数列的定义和数列的通项公式的概念后，从集合与函数的角度出发，将数列看作是[11]：
定义域为正整数集（或者它的有限子集
…
）的函数，数列的通项公式就是对应函数的解析式。
在明确数列与函数之间的关系后，类比表示函数的列表法、图像法来表示数列，随后在教材中将数列划分为有穷数列、无穷数列，递增（递减）数列、常数列也是类比的函数分类方法。
2.在等差（等比）数列通项公式、前n项和公式中迁移的应用
课程标准中提到要让学生体会到等差数列与一元一次函数的联系、等比数列与指数函数的联系，那么在教学过程中就要有意的建立它们相互之间的关系，比如：
将等差数列的通项公式
改写成关于n的一次函数形式
（当d不为0时），等差数列前n项和的公式
改写成
+
关于项数n的一元二次函数形式。
等比数列的通项公式
n
改写成关于n的指数函数形式
n
（
且
时），等比数列的前n项和公式
n=
（
）改写成
=
+
（
）关于项数n的指数函数，即
的指数函数形式，然后借助一次函数和指数函数的图像让学生体会它们之间的联系。
这个过程以函数的概念、图像为桥梁，建立数列与函数的联系，迁移运用数形结合的思想，发展学生的思维，加深对于通项公式的理解，也为高考中经常出现的数列求最值的题目提供了一个重要的解题思路。
3.等差数列与等比数列的类比学习
数列在高中课程体系中不仅与其他知识板块体现着迁移的关系，在解读教材和课程标准中的要求之后可以看出在数列这部分内容之间也存在着迁移的关系。
等差数列和等比数列是教学和考试的重点，这两部分内容在教材中章节设计以及课时安排上有着对称性，而且在内容上如；等差（等比）数列的定义、性质、等差（等比）中项、公差、公比、通项公式、前n项和公式、用函数图像表示通项公式等也是平行设计的。
那么在教学设计上可以运用类比的方法，在学习完等差数列有一定基础后引导学生对于等差数列的学习顺序自主探究等比数列的相关知识，发现等差数列与等比数列在知识框架上的相似性，在脑海里形成对于等差数列与等比数列的整体知识结构，探究等比数列相关知识的过程也是强化对等差数列理解的过程，发挥正迁移的作用。
学习者自己经历通项公式和前n项和公式从头到尾的探讨过程理清来龙去脉之后，在面对考查等差和等比数列定义、性质等基础知识的题目时就游刃有余了。
4.数列与其它知识之间学习迁移的应用
（1）数列与函数的联系
在教材中，数列被定义为定义域为正整数集的函数，数列的通项公式就是相应的解析式。
在教授新课上为了将数列与函数直观的联系起来可以将等差与等比通项公式和前n项和公式进行改写，利用二次函数、指数函数的特点在只考虑正整数的情况下求解数列的最值问题，而且有了等差与等比数列的通项公式与前n项和改写形式后，在遇到陌生的问题时可以利用函数的形式与特点往等差或者等比数列上靠拢来解决。
（2）数列与不等式的结合
数列与不等式相结合的题目是考试中常考的题型，通常这类题目的一般解决方法就是——放缩法，一般的思路是以数列的通项公式为切入点，观察它的特征，有目的的进行化简，兼顾所要证明的不等式的要求，抓住数列的规律来进行放缩。
这类题目技巧性要求高，思维跨度大，求解的过程会综合考查函数单调性、公式变化、递推关系相关知识以及化归转化、推理论证、综合运用所学的知识的能力。
（3）数列与数学归纳法
在新课程标准的要求上，数学归纳法也是学生们在高中阶段所必须要掌握的一种数学证明方法。
数学归纳法的基本过程是：
当
时命题成立；若
时命题成立，
时命题也成立，那么对所有的
命题成立。
这类题目会涉及到求数列的通项公式以及证明命题的成立，这种方法提供了除了累加和累积之外的求通项公式的解题思路，而且这个过程有假设有递推，掌握基本思想后难度不是很大。
五、小结
数列的学习有一个过程，从接触新知识时的新鲜感、不适应到逐渐熟练，在文中已经分析了数学史的作用与学习迁移理论在数列学习中的作用，从分析来看，数学史与学习迁移理论整个的学习过程有着深度的渗透，数学史的运用打开了学生与教师的视野，既为教师的教学提供了丰富的素材又让学生了解数列知识的来源与发展，体会前辈们在探索新知时历经的困难，学习他们坚韧不拔、勇于探索的精神。
在数列的学习过程中，学习迁移体现在方方面面，比如说前文分析到数列通项公式的改写、与函数的迁移、等差等比数列的类比学习等，在教学过程中合理的设计让学习迁移有更好的体现，目的是为了让学生学会迁移，养成将所学知识迁移运用或者说是自觉串联起来的习惯，在学习其他板块的知识时能够与数列相关的知识联系起来，使得学习达到事半功倍的效果，而且从对近十年的全国卷一的试题分析情况来看，数列题目的考查知识点相对固定难度适中，可以划分不同的题型，那么在解决数列问题时学习迁移就显得尤为重要，在这一方面学习迁移就是一种能力，会一道题就会一类题，具备这种能力就能达到举一反三的效果。
在近几年的高考中，部分数列的题目以及其它题目会以数学史素材为题干，不仅情境化而且渗透着数学文化，考查的知识点既立足基础又体现综合化的特点。
虽然两种理论有各自的特点，但是不仅要将其合二为一而且要将它们有机的结合在一起，在教学过程中数学史的应用主要是数学史素材的使用，为了引起学生的学习兴趣；学习迁移能力的培
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