第七章 立体几何.docx
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第七章立体几何
第1课时 空间几何体的结构及三视图、直观图
1．空间几何体的结构特征
（1）多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台
（2）旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线
球
半圆或圆
直径所在的直线
2.空间几何体的三视图
（1）三视图的名称
几何体的三视图包括：
正视图、侧视图、俯视图．
（2）三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
4．判断下列结论的正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（×）
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（×）
（3）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．（√）
（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．（×）
（5）斜二测画法中，原图形中的平行垂直关系在直观图中不变．（×）
（6）三角形的直观图应是三角形．（√）
（7）正方形的直观图应是正方形．（×）
（8）几何体的底面是什么图形，其俯视图就是什么图形．（×）
（9）一个几何体的三视图完全相同，这个几何体只能是球．（×）
（10）正四面体的三视图是三个全等的正三角形．（×）
考点一 空间几何体的结构特征
命题点
针对几何体的底面、侧面、侧棱（母线）截面
[例1]
（1）下列说法正确的是（ ）
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
解析：
A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．
答案：
B
（2）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．3
解析：
①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：
A
[方法引航]
（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
（2）通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
1．给出下列四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．3
解析：
选A.反例：
①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.
2．给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．
其中不正确的命题为________．
解析：
对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．
答案：
①②③
考点二 空间几何体的三视图
命题点
1.已知几何体辩认三视图
2.已知三视图确认几何体
[例2]
（1）（2016·高考天津卷）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
解析：
由正视图、俯视图还原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.
答案：
B
（2）某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是（ ）
A．2 B．2
C．2D．4
解析：
由三视图可知该四面体的直观图如图所示．其中AC＝2，PA＝2，△ABC中，边AC上的高为2，所以BC＝＝2，而PB＝＝＝2，因此在四面体的六条棱中，长度最长的是BC，其值为2，选C.
答案：
C
（3）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为________．
解：
由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，其中AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝1，故AP⊥平面ABC，S△ABC＝AB×AC＝，所以三棱锥PABC的体积V1＝×S△ABC×AP＝××1＝，又Rt△ABC是半球底面的内接三角形，所以球的直径2R＝BC＝，解得R＝，所以半球的体积V2＝××3＝，故所求几何体的体积V＝V1＋V2＝＋.
答案：
＋
[方法引航]
（1）分析视图的意义．确定其是一个平面的投影，还是面与面的交线，或者是旋转体的轮廓线的投影．
（2）利用线框分析表面相对位置的关系．视图中的一个封闭线框一般情况下表示一个面的投影．若出现线框套线框，则可能有一个面是凸出的、凹下的、倾斜的或者是有打通的孔，两个线框相连，表示两个面高低不平或者相交．
（3）将几个视图联系起来观察，确定物体形状．根据一个视图不能确定物体的形状，往往需要两个或两个以上的视图．
1．（2017·河南开封模拟）一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，
则该正四棱锥的正视图的面积为（ ）
A.B.
C．2D．4
解析：
选A.由题知，所求正视图是底边长为2，腰长为的等腰三角形，其面积为×2×＝.
2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（ ）
解析：
选D.由俯视图可知是B和D中的一个，由正视图和侧视图可知B错，D正确．
考点三 几何体的直观图
命题点
1.平面图形的直观图
2.空间几何体的直观图
[例3]
（1）正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．
解析：
画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′（如图）．D′为O′A′的中点．
易知D′B′＝DB（D为OA的中点）＝×a＝a
∴S△O′A′B′＝O′A′D′B′＝×a×a＝×a2＝a2.
答案：
a2
（2）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12D．60＋12
解析：
由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.
又CD⊥BD，CD⊥AE，
则CD⊥平面ABD，
故CD⊥AD，
所以AC＝且S△ACD＝10.
在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2.
在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，
故S△BCD＝10，且BC＝.
在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.
在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝，
则AB边上的高h＝6，故S△ABC＝×2×6＝6.
因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6.
答案：
B
[方法引航]
（1）由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
（2）对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝
S，能进行相关问题的计算.
1．将本例
（1）改为一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．
解析：
由斜二测画法画出直观图，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底边为1，高为的三角形，所以原三角形的面积为.
答案：
2．将本例
（2）改为某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.B.
C．200D．240
解析：
选C.由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.
[易错警示]
忽视几何体的放置与特征致误
[典例] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
[正解] 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.
[易误]
（1）根据正视图和俯视图确定原几何体的形状时出现错误，误把半圆锥看成半圆柱，不能准确判断出几何体的形状而误选A.
（2）对实线与虚线的画法规则不明确而误选C.
[警示] 1.首先确定几何体，面对读者是怎么放置的．
2．要分清三视图中的虚线是被哪部分挡住的．
3．要明确三视图中三角形的高度是不是几何体的高度．
[高考真题体验]
1．（2016·高考全国乙卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）
A．17π B．18π
C．20πD．28π
解析：
选A.由三视图知该几何体为球去掉了所剩的几何体（如图），设球的半径为R，则×πR3＝，故R＝2，从而它的表面积S＝×4πR2＋×πR2＝17π.故选A.
2．（2015·高考课标全国卷Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝（ ）
A．1B．2
C．4D．8
解析：
选B.由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的，其表面积为πr2＋2πr2＋4r2＋2πr2＝20π＋16，所以r＝2，故选B.
3．（2014·高考课标全国卷Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱
C．四棱锥D．四棱柱
解析：
选B.将三视图还原为几何体即可．
如图，几何体为三棱柱．
4．（2013·高考课标全国Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16＋8πB．8＋8π
C．16＋16πD．8＋16π
解析：
选A.根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋×π×22×4＝16＋8π，故选A.
课时规范训练
A组 基础演练
1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有（ ）
A．20 B．15
C．12D．10
解析：
选D.如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：
AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10（条）．
2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球B．三棱锥
C．正方体D．圆柱
解析：
选D.球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C.
对于如图所示三棱锥OABC，
当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.
不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.
3．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是（ ）
解析：
选B.由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．
4．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）
解析：
选C.注意到在三视图中，俯视图的宽度应与左视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为，与题中所给的左视图的宽度不相等，C不可能．
5．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
解析：
选B.还原正方体，如图所示，由题意可知，该几何体的主视图是选项B.
6．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为（ ）
A．4cm2B．4cm2
C．8cm2D．8cm2
解析：
选C.依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8cm2.
7．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥ABCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D.由正视图与俯视图可得三棱锥ABCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为，所以侧视图的面积为S＝××＝，选D.
8．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A.B．1
C.D.
解析：
选D.由题意可知该正方体的放置如图所示，侧视图的方向垂直于面BDD1B1，正视图的方向垂直于面A1C1CA，且正视图是长为，宽为1的矩形，故正视图的面积为，因此选D.
9．如图，E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1中AD1、B1C上的动点（不含端点），则四边形B1FDE的俯视图可能是（ ）
解析：
选B.由画几何体的三视图的要求可知，点E在底面的正投影应落在线段A1D1上（不含端点），点F在底面的正投影应落在线段B1C1上（不含端点），而B1与D在底面的正投影分别为B1和D1，故四边形B1FDE在底面ABCD上的正投影为四边形，结合选项知选B.
10．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：
选C.还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.
B组 能力突破
1．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（ ）
A．2B.
C．2D．4
解析：
选A.观察三视图可知，该几何体是正三棱柱，底面边长、高均为2，所以，其左视图是一个矩形，边长分别为2,2sin60°＝，其面积为2.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12B．18
C．24D．30
解析：
选C.由三视图还原几何体知，该几何体如图所示，
其体积V＝VB1ABC＋VB1A1ACC1＝××3×4×2＋×3×5×4＝24.
3．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为________．
解析：
由正三棱柱三视图还原直观图可得正（主）视图是一个矩形，其中一边的长是侧（左）视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧（左）视图中三角形的边长为2，所以高为，所以正视图的面积为2.
答案：
2
4．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．
解析：
由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为
OE，则OE××＝O′C′，
∵O′C′＝2，∴OE＝4，∴S▱OABC＝6×4＝24.
答案：
24
5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比值为________．
解析：
如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥PABC的正（主）视图与侧（左）视图都是三角形，且面积都是a2，所以所求面积的比值为1.
答案：
1
6．如图，三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为________．
解析：
∵AB⊥平面BCD，投影线平行于BD，
∴三棱锥ABCD的侧视图是一个以△BCD的BD边上的高为底，棱锥的高为高的三角形，∵BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝2，
∴△BCD中BD边上的高为，故该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积S＝××2＝.
答案：
第2课时 空间几何体的表面积与体积
1．空间几何体的表面积与体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱和圆柱）
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体（棱锥和圆锥）
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体（棱台和圆台）
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝（S上＋S下＋）h
球
S＝4πR2
V＝πR3
2.旋转体的表（侧）面积
名称
侧面积
表面积
圆柱（底面半径r，母线长l）
2πrl
2πr（l＋r）
圆锥（底面半径r，母线长l）
πrl
πr（l＋r）
圆台（上、下底面半径r1，r2，母线长l）
π（r1＋r2）l
π（r1＋r2）l＋π（r＋r）
3.判断下列结论的正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）锥体的体积等于底面面积与高之积．（×）
（2）球的体积之比等于半径比的平方．（×）
（3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．（√）
（4）已知球O的半径R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.（√）
（5）半径为R的球内接正方体的对角线长为2R.（√）
（6）因V锥＝Sh，V柱＝Sh，因此锥体的体积是柱体的体积的.（×）
（7）圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.（×）
（8）球的表面积是该球大圆面积的4倍．（√）
（9）圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角不可能大于π.（×）
（10）棱长为3,4,5的长方体表面上，两个对顶点间的最短距离为.（√）
考点一 几何体的表面积
命题点
1.由三视图求表面积
2.由空间线面关系求表面积
[例1]
（1）（2016·高考全国甲卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π
C．28πD．32π
解析：
该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝＝4，圆柱的高h＝4，所以该几何体的表面积S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C.
答案：
C
（2）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：
由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则×6××22×h＝2，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为＝2，故该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.
答案：
12
[方法引航]
（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.,（3）旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用.
1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（ ）
A.a2 B.a2
C.a2D.a2
解析：
选A.∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，
∴S表＝a2＋3××2＝a2.
2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2πB．π
C．2D．1
解析：
选A.所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S＝2π×1×1＝2π，故选A.
考点二 几何体的体积
命题点
1.由三视图求体积
2.由线面关系求体积
[例2]
（1）（2016·高考山东卷）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
A.＋π B.＋π
C.＋πD．1＋π
解析：
选C.由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V1＝×12×1＝.设半球的半径为R，则2R＝，即R＝，所以半球的体积V2＝×R3＝××3＝π.故该几何体的体积V＝V1＋V2＝＋π.故选C.
（2）（2016·高考北京卷）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析：
由俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S＝＝，由侧（左）视图可知四棱柱的高h＝1，所以该四棱柱的体积V＝Sh＝.
答案：
（3）（2016·高考天津卷）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：
m），则该四棱锥的体积为________m3.
解析：
根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m、高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m，故其体积为×2×1×3＝2（m3）．
答案：
2
（4）（2016·高考全国乙卷）如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA＝6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
①
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