学年高二物理人教版选修34导学案112 简谐运动的描述.docx

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学年高二物理人教版选修34导学案112简谐运动的描述

第2讲　简谐运动的描述

[目标定位]　1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义.2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义.3.了解简谐运动位移方程中各量的物理意义，能依据振动方程描绘振动图象．

一、描述简谐运动的物理量

1．振幅

振动物体离开平衡位置的最大距离．振幅的两倍表示的是做振动的物体运动范围的大小．

2．周期和频率

（1）全振动：

一个完整的振动过程，称为一次全振动．弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的．

（2）周期：

做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用T表示．单位：

在国际单位制中，周期的单位是秒（s）．

（3）频率：

单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用f表示．单位：

在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz.

（4）周期和频率的关系：

f＝

（5）周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快．

3．相位

在物理学上，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．

想一想　振幅就是振动物体离开平衡位置的最大位移吗？

为什么？

答案　不是．振幅是一个标量．它是指物体离开平衡位置的最大距离．它既没有负值，也无方向，而最大位移既有大小，也有方向，所以振幅不同于最大位移．

二、简谐运动的表达式

　简谐运动的一般表达式为x＝Asin（ωt＋φ）．

1．A表示简谐运动的振幅．

2．ω是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的圆频率．它也表示简谐运动的快慢，ω＝

＝2πf.

3．ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ是t＝0时的相位，称做初相位，或初相．

4．相位差

如果两个简谐运动的频率相等，其初相分别是φ1和φ2，当φ2>φ1时，它们的相位差是Δφ＝（ωt＋φ2）－（ωt＋φ1）＝φ2－φ1.

想一想　简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？

答案　不一定，还可以用余弦函数表示．

一、描述简谐运动的物理量

1．对全振动的理解

正确理解全振动的概念，应注意把握全振动的五种特征．

（1）振动特征：

一个完整的振动过程．

（2）物理量特征：

位移（x）、速度（v）第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点．

（3）时间特征：

历时一个周期．

（4）路程特征：

振幅的4倍．

（5）相位特征：

增加2π.

2．振幅与路程的关系

振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．

振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．

振动物体在

个周期内的路程不一定等于一个振幅．

3．周期（T）和频率（f）

（1）周期是振动物体完成一次全振动所需的时间．频率是单位时间内完成全振动的次数．所以周期（T）与频率（f）的关系：

T＝

.

（2）物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．

图11－2－1

【例1】　弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，AB间距离是20cm，A到B运动时间是2s，如图11－2－1所示，则（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．从O→B→O振子做了一次全振动

B．振动周期为2s，振幅是10cm

C．从B开始经过6s，振子通过的路程是60cm

D．从O开始经过3s，振子处在平衡位置

解析　振子从O→B→O只完成半个全振动，A选项错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2s，所以振动周期是4s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10cm，选项B错误；t＝6s＝1

T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60cm，选项C正确；从O开始经过3s，振子处在位移最大处A或B，D选项错误．

答案　C

【例2】　一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图11－2－2所示，由图可知（　　）

图11－2－2

A．质点振动的频率是4Hz

B．质点振动的振幅是2cm

C．t＝3s时，质点的速度最大

D．在t＝3s时，质点的振幅为零

解析　由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以选项A错误，B正确；t＝3s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t＝3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以选项D错误．

答案　BC

二、简谐运动的表达式

　做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：

x＝Asin（ωt＋φ）

1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A、圆频率ω和初相φ.据ω＝

或ω＝2πf可求周期T或频率f，可以求某一时刻质点的位移x.

2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解

（1）取值范围：

－π≤Δφ≤π.

（2）Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．

Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相．

（3）Δφ>0，表示振动2比振动1超前．

Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．

【例3】　一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin（2.5πt），位移y的单位为m，时间t的单位为s.则（　　）

A．弹簧振子的振幅为0.2m

B．弹簧振子的周期为1.25s

C．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零

D．若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2sin

，则振动A滞后B

解析　由振动方程为y＝0.1sin2.5πt，可读出振幅A＝0.1m，圆频率ω＝2.5π，故周期T＝

＝

＝0.8s，故A、B错误；在t＝0.2s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋

－2.5πt＝

，即B超前A

，或者说A滞后B

，选项D正确．

答案　CD

借题发挥　应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中T＝

，f＝

，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系．

三、简谐运动的周期性和对称性

1．周期性

做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态．

2．对称性

图11－2－3

如图11－2－3所示，物体在A和B之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：

（1）时间的对称

①振动质点来回通过相同的两点间的时间相等．如tDB＝tBD.

②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.

（2）速度的对称

①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反．

②物体经过关于O点对称的两点（如C与D）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．

【例4】　一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13s质点第一次通过M点，再

经0.1s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？

解析　将物理过程模型化，画出具体化的图景如图甲所示．设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O到M运动时间为0.13s，再由M经最右端A返回M经历时间为0.1s，如图乙所示．

甲　　　　　　乙　　　　　　丙

另一种可能就是M点在O点左方，如图丙所示，质点由O点经最右方A点后向左经过O点到达M点历时0.13s，再由M点向左经最左端A′点返回M点历时0.1s.

根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性．

如图乙所示，可以看出O→M→A历时0.18s，根据简谐运动的对称性，可得到T1＝4×0.18s＝0.72s.

另一种可能如图丙所示，由O→A→M历时t1＝0.13s，由M→A′历时t2＝0.05s．则

T2＝t1＋t2，解得T2＝0.24s.

所以周期的可能值为0.72s和0.24s.

答案　0.72s和0.24s

描述简谐运动的物理量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．如图11－2－4所示是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是（　　）

图11－2－4

A．振动周期是2×10－2s

B．第2个10－2s内物体的位移是－10cm

C．物体的振动频率为25Hz

D．物体的振幅是10cm

解析　振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图象上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2s．又f＝

，所以f＝25Hz，则A项错误，C项正确；正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10cm，则D项正确；第2个10－2s的初位置是10cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10cm，则B项正确．

答案　BCD

简谐运动的周期性和对称性

2．如图11－2－5所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1s，过b点后再经t′＝1s质点第一次反向通过b点．若在这两秒内质点所通过的路程是8cm，试求该质点的振动周期和振幅．

图11－2－5

解析　简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置．根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1s，质点从a点经左方极端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经右方极端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1s.

综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4s.

由图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2

＋2

＋2

＝2（

＋2

）＝2×8cm＝16cm.

所以质点的振幅为A＝

＝4cm.

答案　4s　4cm

简谐运动的表达式及其振动图象

3.

图11－2－6

如图11－2－6所示为A、B两个简谐运动的位移－时间图象．

请根据图象写出：

（1）A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________cm，周期是________s.

（2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；

（3）在时间t＝0.05s时两质点的位移分别是多少？

解析　

（1）由图象知：

A的振幅是0.5cm，周期是0.4s；B的振幅是0.2cm，周期是0.8s.

（2）由图象知：

t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φ＝π，由T＝0.4s，得ω＝

＝5π.则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin（5πt＋π）cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了

周期，φ＝

，由T＝0.8s得ω＝

＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin

cm.

（3）将t＝0.05s分别代入两个表达式中得：

xA＝0.5sin（5π×0.05＋π）cm＝－0.5×

cm＝－

cm，xB＝0.2sin

cm＝0.2sin

πcm.

答案　

（1）0.5　0.4　0.2　0.8　

（2）xA＝0.5sin（5πt＋π）cm，xB＝0.2sin

cm　（3）xA＝－

cm，

xB＝0.2sin

πcm.

4．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运

动；在t＝0.2s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5s时，振子速度第二次变为－v.

（1）求弹簧振子振动周期T；

（2）若B、C之间的距离为25cm，求振子在4.0s内通过的路程；

（3）若B、C之间的距离为25cm.从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象．

甲

解析　

（1）弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示．由对称性可得：

T＝0.5×2s＝1.0s.

（2）B、C间的距离为2个振幅，则振幅A＝

×25cm＝12.5cm.

振子4.0s内通过的路程为：

s＝4×4×12.5cm＝200cm.

（3）根据x＝Asinωt，A＝12.5cm，ω＝

＝2π.

得x＝12.5sin2πt（cm）．

振动图象如图乙所示．

乙

答案　见解析

题组一　描述简谐运动的物理量

1．振动周期指的是振动物体（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间

B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间

C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间

D．经历了四个振幅的时间

答案　CD

2．周期为2s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为（　　）

A．15次，2cmB．30次，1cm

C．15次，1cmD．60次，2cm

解析　振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置两次（除最大位移处），而每次全振动振子通过的路程为4个振幅．

答案　B

图11－2－7

3．如图11－2－7所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1cm，然后释放振子，经过0.2s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为（　　）

A．0.2sB．0.4sC．0.1sD．0.3s

解析　简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的

，它们相等．

答案　A

4．一质点做简谐运动的图象如图11－2－8所示，下列说法正确的是（　　）

图11－2－8

A．质点振动频率是4Hz

B．在10s内质点经过的路程是20cm

C．第4s末质点的速度是零

D．在t＝1s和t＝3s两时刻，质点位移大小相等、方向相同

解析　根据振动图象可知，该简谐运动周期T＝4s，所以频率f＝

＝0.25Hz，A错；10s内质点通过路程s＝

×4A＝10A＝10×2cm＝20cm，B正确；第4s末质点经过平衡位置，速度最大，C错；在t＝1s和t＝3s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错．

答案　B

5．水平放置的弹簧振子先后以振幅A和2A振动，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程中的平均速度分别为v1和v2，则（　　）

A．v1＝2v2B．2v1＝v2

C.

v1＝v2D．v1＝v2

解析　弹簧振子做简谐运动，周期与振幅无关，设为T，则从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程的时间为

；第一次位移为2A，第二次位移为4A，即位移之比为1∶2，根据平均速度的定义式

＝

，平均速度之比为1∶2.

答案　B

6．在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图11－2－9甲所示是一种常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带．当小球振动时，匀速拉动纸带（纸带速度与振子振动方向垂直），P就会在纸带上画出一条曲线．如图乙所示为某次记录的一条曲线，若匀速拉动纸带的速度为0.5m/s，则由图中数据可得该弹簧振子的振动周期为________s；若将小球的振幅减小为4cm，其它条件不变，则其振动周期将________（选填“变大”、“不变”或“变小”）．

图11－2－9

解析　该弹簧振子的振动周期为T＝

s＝0.4s．若将小球的振幅减小为4cm，其振动周期不变．

答案　0.4　不变

题组二　简谐运动的周期性与对称性

7．如图11－2－10所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点开始计时，则（　　）

图11－2－10

A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期

B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期

C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期

D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期

解析　从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，A、C错；振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错．

答案　B

8．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O.质点经过a点（xa＝－5cm）和b点（xb＝5cm）时速度相同，所用时间tab＝0.2s；质点由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4s．则该质点做简谐运动的频率为（　　）

A．1HzB．1.25HzC．2HzD．2.5Hz

解析　由题意可知：

a、b点在O点的两侧，关于O点对称，通过a、b点时速度大小、方向相同，质点由a点到b点所用时间tab＝0.2s，由b点回到a点所用最短时间tba＝0.4s，表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动，振幅大于5cm；设质点做简谐运动的四分之一周期为

T＝

tab＋

（tba－tab），解得周期T＝2[tab＋（tba－tab）]＝2×[0.2＋（0.4－0.2）]s＝0.8s，频率f＝

＝

Hz＝1.25Hz.

答案　B

9．一个做简

图11－2－11

谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s（如图11－2－11所示）．过B点后再经过t＝0.5s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（　　）

A．0.5sB．1.0sC．2.0sD．4.0s

解析　

该题考查的是振动的对称性．根据题意，由振动的对称性可知：

AB的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝

×0.5s＝0.25s．质点从B向右到达右方最远位置（设为D）的时间tBD＝

×0.5s＝0.25s．所以，质点从O到D的时间：

tOD＝

T＝0.25s＋0.25s＝0.5s．所以T＝2.0s.

答案　C

题组三　简谐运动的表达式

10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin

t，则质点（　　）

A．第1s末与第3s末的位移相同

B．第1s末与第3s末的速度相同

C．第3s末与第5s末的位移方向相同

D．第3s末与第5s末的速度方向相同

解析　根据x＝Asin

t可求得该质点振动周期为T＝8s，则该质点振动图象如右图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．

答案　AD

11．物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin

m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin

m．比较A、B的运动（　　）

A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10m

B．周期是标量，A、B周期相等，都为100s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A的相位始终超前B的相位

解析　振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m,10m，但振幅分别为3m,5m，A错；A、B的周期均为T＝

＝

s＝6.28×10－2s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝

，为定值，D对．

答案　CD

图11－2－12

12．如图11－2－12所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝8cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2s，则小球的振动周期为________s，振动方程为x＝________cm.

解析　从N点到O点刚好为

，则有

＝0.2s，故T＝0.8s；由于ω＝

＝

，而振幅为4cm，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x＝4cos

tcm.

答案　0.8　4cos

t

13．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时（t＝0），经过

周期振子有正向最大加速度．

图11－2－13

（1）求振子的振幅和周期；

（2）在图11－2－13中作出该振子的位移—时间图象；

（3）写出振子的振动方程．

解析　

（1）xBC＝20cm，t＝2s，n＝10，由题意可知：

A＝

＝

＝10cm，T＝

＝

＝0.2s.

（2）由振子经过平衡位置开始计时经过

周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向最大位移处．所以位移—时间图象如图所示．

（3）由A＝10cm，T＝0.2s，ω＝

＝10π，故振子的振动方程为x＝10sin（10πt＋π）cm.

答案　

（1）10cm　0.2s

（2）如解析图所示

（3）x＝10sin（10πt＋π）cm