专题9 《平行四边形矩形菱形正方形》.docx

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专题9《平行四边形矩形菱形正方形》

《平行四边形、矩形、菱形、正方形》二轮复习

①核心考点分析；

1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

性质

判定

平

行

四

边

形

1两组对边分别平行且相等

2两组对角分别相等

3两条对角线互相平分

4S=ah（a,h分别为平行四边形的一边和这边上的高）

5它是中心对称图形（对称中心为对角线的交点）

1两组对边分别平行的四边形

2两组对角分别相等的四边形

3两条对角线互相平分的四边形

4两组对边分别相等的四边形

5一组对边平行且相等的四边形

矩形

1矩形的四个角都是；

2矩形的对角线；

推论：

直角三角形斜边上的中线等于；

1有角是直角的四边形是矩形；

2对角线相等的_____________是矩形；

推论：

如果一个三角形一边上的_那么这个三角形是_______________.

菱形

1菱形的四条边________；

2菱形的对角线互相_______，并且对角线平分一组对角；

1四条边相等的四边形是；

2_______互相垂直的平行四边形是菱形

3对角线的四边形是菱形

正方形

1正方形的四个角都是_____，四条边都；

2_____的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

1有一个角是直角的菱形是正方形；

2对角线相等的________是正方形

3对角线互相垂直的_______是正方形.

4对角线的四边形是正方形

2.怎样将平行四边形面积等分：

3.矩形、菱形、正方形的对称性：

①矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.

②菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.

③正方形是对称图形，又是对称图形,它有______条对称轴．

4.菱形、正方形的面积：

①菱形S==S对角线互相垂直的四边形=

②正方形S==

5.中点四边形

原四边形形状

任意四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

等腰梯形

筝形

中点四边形形状

结论：

中点四边形的形状与原四边形的有关，

若原四边形的对角线，则其中点四边形是菱形；

若原四边形的对角线互相垂直则其中点四边形是；

若原四边形的对角线，则其中点四边形是。

6.菱形对角线平分一组对角：

正方形对角线平分一组对角（）

7.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

②典型例习题；

1．（2015年济南中考第13题，3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（　　）

A．B．C．1D．

【解法指导】：

：

本题以四边形中的正方形为载体.

（1）考查了相似三角形的判定与性质：

在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．

（2）考查了角平分线的性质和正方形的性质．

（3）需要格外注意核心考点分析中介绍的关于平行四边形、矩形、菱形、正方形常考知识点，比如正方形的对角线平分对角，且为45°.

2．（2019年济南中考第18题，4分）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于　　．

【解法指导】：

：

本题以四边形中的矩形为载体.

（1）需要同学注意生活实践的总结与应用，比如四边形ABNM是一正方形，在小学就是这样通过折纸得到正方形的。

（2）考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．

（3）需要注意的是在正方形，矩形中因为有角为90°，所以以此顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，将几何问题转化为函数问题也是一种方法。

本题就适用。

3．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：

①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③若tan∠BAE＝，则tan∠DAF＝；④若BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15．⑤△AEN是等腰直角三角形；⑥BM2+DN2＝MN2；⑦若点F是DC的中点，则CE＝CB；其中结论正确的是　　．（将正确的序号填写在横线上）（请同学们简写正确结论的推导过程）

【解法指导】：

：

常见模型一：

共顶点半角模型

模型分析：

（1）存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点

（2）大角的两边相等保证旋转之后能够完全重合

（3）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系

（4）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°

常见模型二：

对角互补模型

常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法：

（全等型—90°）

（全等型—120°）（全等型—任意角）

4.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．

【解法指导】：

：

常见模型三：

十字架结构模型：

一般情况下，当矩形、正方形、直角三角形等图形内出现“垂直”情况时，可考虑十字架结构模型，通过相似（或全等）求出线段的长。

③应用建模

1．（2016年济南中考第13题，3分）如图，在▱ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为（　　）

A．B．4C．2D．

【解法指导】：

此题是平行四边形的性质，主要考查了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出AE，记住：

题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．

2．（2017年济南中考第13题，3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（　　）

A．B．2C．D．

【解法指导】：

本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．

3．（2015年济南中考第21题，3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连接CF，以下结论：

①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF＝；④△ABF的面积为．其中一定成立的是　　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

【解法指导】：

此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

4．（2016年济南中考第21题，3分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG＝　　．

【解法指导】：

本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明∠AMN＝∠EHG是关键，属于中考填空题中的压轴题．

5．（2018年济南中考第18题，4分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：

①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是　　．（把所有正确结论的序号填在横线上）

【解法指导】：

此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，属于基础题．

④分层检测练习

A组

一．选择题（共10小题）

1．如图，在▱ABCD中，全等三角形的对数共有（　　）

A．2对B．3对C．4对D．5对

2．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．BE＝EFB．EF∥CDC．AE平分∠BEFD．AB＝AE

3．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（　　）

A．B．C．D．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（　　）

A．1B．C．2D．4

5．如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（　　）

A．5B．6C．10D．6

6．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）

A．8B．12C．16D．32

7．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28B．24C．21D．14

8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）

A．∠B＝∠FB．∠B＝∠BCFC．AC＝CFD．AD＝CF

9．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是对角线BD上的动点，过点M作ME⊥BC于点E，连接AM，当△ADM是等腰三角形时，ME的长为（　　）

A．B．C．或D．或

10．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（　　）

①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．

A．1B．2C．3D．4

二．填空题（共5小题）

11．如图，▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝　　度．

12．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC的长为　　．

13．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　　．

14．在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于　　．

15．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B运动，当点E到达点D时，点E，F同时停止运动．连接BE，EF，设点E运动的时间为t，若△BEF是以BE为底的等腰三角形，则t的值为　　．

三．解答题（共4小题）

16．已知：

如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：

BE＝DF．