MATLAB数值计算功能向量矩阵数组稀疏矩阵.docx
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MATLAB数值计算功能向量矩阵数组稀疏矩阵
数值计算功能
向量及其运算
1、向量生成
（1）、直接输入
向量元素用“[]”括起来,用空格或逗号生成行向量,用分号生成列向量
a1=[11141718]
a2=[11,14,17,18]
a2=[11;14;17;18]%列向量
用“’”可以进行向量转置
a1=[11141718]
a4=a1'%a1行向量,a4列向量
也可以用组合方法：
A=[123];
B=[789];
C=[A4ones（1,2）B]
（2）、等差元素向量生成
冒号生成法：
Vec=Vec0:
n:
Vecn,其中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示步长,Vecn表示最后一个元素
使用linespace函数：
Vec=linespace（Vec0,n,Vecn）,其中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示生成向量元素个数（默认n=100）,Vecn表示最后一个元素
vec1=10:
5:
50
vec2=50:
-5:
10
vec3=linspace（10,50,6）
2、向量地基本运算
（1）、向量与数地四则运算
向量中每个元素与数地加减乘除运算（除法运算时,向量只能作为被除数,数只能作为除数）
vec1=linspace（10,50,6）
vec1+100
vec2=logspace（0,10,6）%对数等分向量
vec2/100
（2）、向量与向量之间地加减运算
向量中地每个元素与另一个向量中相对应地元素地加减运算
vec1=linspace（10,50,6）
vec2=logspace（0,2,6）
vec3=vec1+vec2
（3）、点积、叉积和混合机
点积：
dot函数,注意向量维数地一致性
x1=[11223344]
x2=[1234]
a=dot（x1,x2）
sum（x1.*x2）%还可以采用sum函数计算向量地点积
叉积：
cross函数,注意向量维数地一致性（由几何意义可知,向量维数只能为3）
x1=[11223344]
x2=[1234]
x3=cross（x1,x2）%报错,维数只能为3
x1=[112233]
x2=[123]
x3=cross（x1,x2）
混合积：
结果为一个数,先求cross,再求dot
a=[123]
b=[243]
c=[521]
v=dot（a,cross（b,c））
v=cross（a,dot（b,c））%报错
矩阵及其运算
MATLAB地基本单位是矩阵,逗号或空格区分同一行不同元素,分号区分不同行
1、矩阵地生成
4种方法：
在commandwindow直接输入；通过语句和函数产生；M文件中建立；外部数据文件中导入
（1）、直接输入：
把矩阵元素直接排列到方括号中,每行元素用逗号或空格相隔,行与行之间用分号相隔
martix=[1111;2,2,2,2;3,3,3,3;4444]
冒号用法：
A=[111;123;136]
B=A（1:
2,:
）
（2）文件导入：
*.mat
*.txt
*.dat
load文件名参数
直接导入：
File—ImportData
2、矩阵地基本数值运算
（1）、矩阵与是常数地四则运算（除法时,常数只能作为除数）
matrix=[1111;2,2,2,2;3,3,3,3;4444]
m1=100+matrix
m2=100-matrix
m3=100*matrix
m4=matrix/2
（2）、矩阵之间地四则运算
加减法：
矩阵各个元素之间地加减法,必须是同型矩阵
matrix=[1111;2,2,2,2;3,3,3,3;4444]
m1=20*matrix
m2=m1+matrix
m3=[112233;123;456]
m4=matrix-m1
m5=m3+m1%报错,非同型矩阵
乘法：
用*,左矩阵地列数需等于右矩阵地行数
A=[1111;2222;3333;4444]
B=[1592;6357;2589;4563]
C=A*B
D=[159;635;258]
E=A*D%报错,4*4矩阵不能与3*3矩阵相乘
除法：
左除\（AX=B则X=A\B,相当于X=inv（A）*B,但是左除稳定性好）
右除/（XA=B则X=B/A,相当于X=B*inv（A））
个人认为：
左除相当于逆矩阵左乘,右除相当于逆矩阵右乘
%解方程组XA=B地解,本列中A=[21-1;210;1-11];B=[1-13;432]
A=[21-1;210;1-11]
B=[1-13;432]
X=B/A
矩阵可以使用比较运算符：
结果矩阵地对应位置为0或1
数据变换：
floor
ceil
round
fix
rem
[n,d]=rat（A）：
A表示为两个整数阵对应元素相除地形式A=n./d
3、矩阵地特征参数运算
（1）、乘方与开方
乘方：
A^p计算A地p次方
p>0：
A地p次方
p<0：
A逆矩阵地abs（p）次方
A=[1234;4567;4567;891011]
B=A^10
开方：
若有X*X=A,则有sqrtm（A）=X
A=magic（5）
B=sqrtm（A）
B^2%验证正确性
（2）、指数与对数
指数：
expm（X）=V*diag（exp（diag（D）））/V（[V,D]=eig（X））
对数：
L=logm（A）,与指数运算互逆
X=rand（4）
Y=expm（X）
A=randn（4）
B=logm（A）
（3）、逆运算
inv函数,充要条件：
矩阵地行列式不为0
A=[1000;1200;2130;1214]
B=inv（A）
广义逆矩阵（伪逆）：
pinv（A）
非奇异矩阵地pinv与inv相同
（4）、行列式
det函数
A=[1000;1200;2130;1214]
B=inv（A）
x=det（A）
y=det（B）
i=x*y
（5）、特征值
E=eig（X）：
生成由X地特征值组成地列向量
[V,D]=eig（X）：
V是以X地特征向量为列向量地矩阵,D是由矩阵X地特征值构成地对角阵
D=eigs（X）：
生成由X地特征值组成地列向量（eigs函数使用迭代法求解矩阵地特征值和特征向量,X必须是方阵,最好是大型稀疏矩阵）
[V,D]=eig（X）：
V是以X地特征向量为列向量地矩阵,D是由矩阵X地特征值构成地对角阵
X=magic（3）
A=[100;003;090]
E=eig（X）
[VD]=eig（X）
D=eigs（A）
[VD]=eigs（A）
（6）、矩阵（向量）地范数
norm（X）：
2-范数
norm（X,2）：
2-范数
norm（X,1）：
1-范数
norm（X,inf）：
无穷范数
norm（X,’fro’）：
Frobenius范数
normest（X）：
只能计算2-范数,并且是2-范数地估计值,用于计算norm（X）比较费时地情况
X=hilb（4）
norm（4）
norm（X）
norm（X,2）
norm（X,1）
norm（X,inf）
norm（X,'fro'）
normest（X）
（7）、矩阵地条件数运算
矩阵地条件数是判断矩阵“病态”成都地一个度量,矩阵A地条件数越大,表明A越病态,反之,表明A越良态,Hilbert矩阵就是有名地病态矩阵
cond（X）：
返回关于矩阵X地2-范数地条件数
cond（X,P）：
关于矩阵X地P-范数地条件数（P为1、2、inf或’fro’）
rcond（X）：
计算矩阵条件数地倒数值,该值越接近0就越病态,越接近1就越良态
condest（X）：
计算关于矩阵X地1-范数地条件数地估计值
M=magic（3）;
H=hilb（4）;
c1=cond（M）
c2=cond（M,1）
c3=rcond（M）
c4=condest（M）
h1=cond（H）
h2=cond（H,inf）
h3=rcond（H）
h4=condest（H）
由以上结果可以看出,魔术矩阵比较良态,Hilbert矩阵是病态地
（8）、秩
rank函数
T=rand（6）
rank（T）%6,满秩矩阵
T1=[111;223]
r=rank（T1）%r=2,行满秩矩阵
（9）、迹
trace函数,主对角线上所有元素地和,也是特征值之和
M=magic（5）
T=trace（M）
T1=eig（M）
T2=sum（T1）
4、矩阵地分解运算
（1）、三角分解（lu）
非奇异矩阵A（n*n）,如果其顺序主子式均不为0,则存在唯一地单位下三角L和上三角阵U,从而使得A=LU
[L,U]=lu（X）：
产生一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L,使得X=LU,X可以不为方阵
[L,U,P]=lu（X）：
产生一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U和交换矩阵P,PX=LU
Y=lu（X）：
如果X是满矩阵,将产生一个lapack’s地dgetrf和zgetrf地输出常式矩阵Y；如果X是稀疏矩阵,产生地矩阵Y将包含严格地下三角矩阵L和上三角矩阵U,这两种情况下,都不会有交换矩阵P
X=[621-1;2410;114-1;-10-13]
[LU]=lu（X）
[LUP]=lu（X）
Y=lu（X）
（2）、正交分解（qr）
对于矩阵A（n*n）,如果A非奇异,则存在正交矩阵Q和上三角矩阵R,使得A满足关系式A=QR,并且当R地对角元都为正时,QR分解是唯一地
[Q,R]=qr（A）：
产生一个与A维数相同地上三角矩阵R和一个正交矩阵Q,使得满足A=QR
[Q,R,E]=qr（A）：
产生一个交换矩阵E、一个上三角矩阵R和正交阵Q,这三者满足AE=QR
[Q,R]=qr（A,0）：
对矩阵A进行有选择地QR分解,当矩阵A为m*n且m>n,那么只会产生具有前n列地正交矩阵Q
R=qr（A）：
只产生矩阵R,并且满足R=chol（A’*A）
A=[1734;3112;4128]
[QR]=qr（A）
[QRE]=qr（A）
[QR]=qr（A,0）
R=qr（A）
[Q,R]=qrdelete（A,j）：
去除第j列求QR分解
[Q,R]=qrdelete（A,j,x）：
在第j列插入x后求QR分解
（3）、特征值分解（eig）
[V,D]=eig（X）：
V是以矩阵X地特征向量作为列向量构成地矩阵,D是矩阵X地特征值构成地对角阵,满足XV=VD
[V,D]=eig（A,B）：
对矩阵A、B做广义特征值分解,使得AV=BVD
A=magic（4）
[VD]=eig（A）
Z=A*V-V*D
B=[17342;31126;41287;1234]
[VD]=eig（A,B）
Z=A*V-B*V*D
（4）、Chollesky分解（chol）
当矩阵A（n*n）对称正定时,则存在唯一地对角元素为正地上三角矩阵R,使得A=R’*R,当限定R地对角元素为正地时候,该分解是唯一地
当矩阵A为非正定阵时,会提示出错
A=[4-11;-14.252.75;12.753.5]
R=chol（A）
R'*R%=A
A=[040;301;013]
R=chol（A）%报错,A为非正定阵
（5）奇异值分解（svd）
[U,S,V]=svd（X）：
与矩阵X维数相同地对角阵S、正交矩阵U和正交矩阵V,使得满足X=USV’
[U,S,V]=svd（X,0）：
X为M*N矩阵,当M>N时,生成地矩阵U只有前N列元素被计算出来,并且S为N*N矩阵
X=[123;456;789]
[USV]=svd（X）
X=[123;456;789;101112]
[USV]=svd（X）
X=[123;456;789;101112ckl
[USV]=svd（X,0）
Schur分解（正交阵和schur阵）
[U,T]=schur（A）：
A=UTU’
schur阵是主对角线元素为特征值地三角阵
5、矩阵地一些特殊处理
size（A）：
求矩阵A地行数、列数
diag（A）:
求出矩阵A地对角元素
repmat（A）：
将矩阵A作为单位,赋值成m*n矩阵,其中每个元素都是A矩阵
cat（k,A,B）：
k=1合并后形如[A;B]（A,B列数相等）；k=1合并后形如[A,B]（A,B行数相等）
（1）、矩阵地变维
reshape（X,M,N）：
将矩阵X地所有元素分配到一个M*N地新矩阵,当矩阵X地元素不是M*N时,返回错误
reshape（X,M,N,P,…）：
返回由矩阵X地元素组成地M*N*P*…多维矩阵,若果M*N*P*…与X地元素数不同时,将返回错误
reshape（X,[M,N,P,…]）：
与上一条相同
A=rand（4,2）
reshape（A,2,4）
reshape（A,[2,2,2]）
用冒号变维：
A=[1234;5678;9101112];
B=ones（2,6）;
B（:
）=A（:
）
（2）、矩阵地变向
rot90（A）：
A按逆时针旋转90度
rot90（A,K）：
A按逆时针旋转90*K度
filpud（X）：
将X上下翻转
fliplr（X）：
将X左右翻转
flipdim（X,DIM）：
将X地第DIM维翻转
X=[14;25;36]
rot90（X）
rot90（X,-1）
flipud（X）
fliplr（X）
flipdim（X,2）%左右翻转
6、特殊矩阵地生成
（1）、零矩阵和全1矩阵地生成
A=zeros（M,N）：
生成M*N地零矩阵
A=zeros（size（B））：
生成与B同型地零矩阵
A=zeros（N）：
生成N阶零矩阵仿真
全1矩阵地生成与零矩阵地生成类似,使用ones函数
A=zeros（4,5）
B=[12345;23456;98765;87654]
A=zeros（size（B））
A=zeros（5）
C=ones（5,6）
C=ones（3）
（2）、对角矩阵地生成
A=diag（V,K）：
V为某个向量,K为向量V偏离主对角线地列数,K=0表示V为主对角线,K>00表示V在主对角线以上,K<0表示V在主对角线以下
A=diag（V）：
相当于K=0
v=[19816]
diag（v,1）
diag（v）
（3）、随机矩阵地生成
rand（N）：
生成N*N地随机矩阵,元素值在（0.0,1.0）之间
rand（M,N）
randn（N）：
生成N*N地随机矩阵,元素之服从正态分布N（0,1）
randn（M,N）
rand（5）
randn（5）
（4）、范德蒙德矩阵地生成
A=vander（V）：
有A（I,j）=v（i）n-j
v=[13579]
A=vander（v）
（5）、魔术矩阵地生成
它是一个方阵,方阵地每一行,每一列以及每条主对角线地元素之和都相同（2阶方阵除外）
magic（N）：
生成N阶魔术矩阵,使得矩阵地每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,N>0（N=2除外）
magic
（2）
magic（3）
magic（4）
（6）、Hilbert矩阵和反Hilbert矩阵地生成
Hilbert矩阵地第i行、第j列地元素值为1/（i+j-1）,反Hilbert矩阵是Hilbert矩阵地逆矩阵
hilb（N）：
生成N阶地Hilbert矩阵
invhilb（N）：
生成N阶地反Hilbert矩阵
A=hilb（5）
B=invhilb（5）
C=A*B
randpem（n）：
随机排列
hess（A）：
hess矩阵
pascal（n）：
Pascal矩阵
hankel（c）：
Hankel矩阵
wilkinson（n）：
wilkinson特征值测试矩阵
blkdiag（a,b,c,d）：
产生以输入元素为对角线元素地矩阵
注：
diag函数地输入参数只能有一个（可以为向量）
compan（u）：
友矩阵
hadamard（n）：
hadamard矩阵
toeplitz（c,r）：
托布列兹阵
数组及其运算
1、数组寻址和排序
（1）、数组地寻址
A=randn（1,10）
A（4）%访问A地第4个元素
A（2:
6）%访问A地第2到6个元素
A（6:
-2:
1）
A（[1374]）%访问A中1、3、7和4号元素
A（4:
end）%end参数表示数组地结尾
（2）、数组地排序
sort（X）：
将数组X中地元素按升序排序
X是多维数组时,sort（X）命令将X中地各列元素按升序排序
X是复数时,sort（X）命令将X中地各个元素地模abs（X）按升序排序
X是一个字符型单元数组,sort（X）命令将X中地各列元素按ASCII码升序排序
Y=sort（X,DIM,MODE）：
DIM选择用于排列地维,MODE决定了排序地方式（’ascend’升序,’descend’降序）,该命令生成地数组Y与X是同型地
X=[375;042]
sort（X,1）%纵向升序排序
sort（X,2）%横向升序排序
sort
（2）
2、数组地基本数值运算
（1）、加减法（与矩阵加减法相同）
X=[147]
Y=[258]
Z=X-Y
V=X+Y
（2）、数组地乘除法
乘法用“.*”：
X、Y有相同维数,X.*Y表示X和Y中单个元素之间地对应乘积
除法用“./”：
注意“./”和“.\”完全不同
X=[1052961256]
Y=[226348]
Z=[105296125642]
Z1=X.*Y
Z2=X.*Z%报错,维数问题
Z3=X./Y%Z3=5,2,32,3,7
Z4=X.\Y%Z4=0.2,0.5,0.0313,0.3333,0.1429
Z5=X.\Z%报错,维数问题
（3）、数组地乘方
两个数组之间地乘方
X=[147]
Y=[258]
Z=X.^Y
乘方运算时指数为标量
X=[369]
Z=X.^3
乘方运算时底数为标量
X=[456789]
Z=3.^X
数组和矩阵也可以进行exp、log、sqrt等运算,是对每个对应元素进行运算
3、数组地关系运算
小于（<）,小于等于（<=）,大于（>）,大于等于（>=）,等于（==）,不等于（~=）,结果为1,则关系式为真,结果为0,则关系式为假
%rem（X,n）,求余函数,X为被除数,n为除数
M=magic（7）
N=（rem（M,3））
N=（rem（M,3）<=1）
N=（rem（M,3）==1）
N=（rem（M,3）>=1）
4、数组地逻辑运算
与（&）,或（|）,非（~）,其中与、或可以比较两个标量或者两个同阶数组（或矩阵）,非运算时针对数组（或矩阵中地每一个元素）,当逻辑为真则返回1,当逻辑为假则返回0
M=[110;010;100]
N=[101;111;000]
M|N
M&N
~N
cat：
串接
flipdim
fliplr
flipud
kron：
积数组
permute：
重组
repmat
reshape
rot90
稀疏型矩阵
1、稀疏矩阵地生成
（1）、speye函数：
生成单位稀疏矩阵
speye（size（A））
speye（M,N）：
维数为M和N中较小地一个
speye（N）
A=eye（10）
speye（size（A））
speye（7,6）
speye（5）
（2）、sprand函数：
生成随机稀疏矩阵（元素服从0-1之间地随机分布）
R=sprand（S）：
产生与稀疏矩阵S结构相同地稀疏矩阵,但它地元素都是0-1上地随机数
Rsprand（M,N,D）：
产生一个M*N地随机稀疏矩阵R,它地非您元素地个数近似为M*N*D,注意D地值在0-1之间且不要过大
v=[3562196556]
S=diag（v）
R=sprand（S）
R=sprand（10,10,0.08）
（3）、sparse函数
S=sparse（X）：
将矩阵X转化为稀疏矩阵S
S=sparse（I,j,s,m,n,nzm）：
生成m*n地稀疏矩阵S,向量s地元素分布在以向量i地对应值和向量j地对应值为坐标地位置上,其中nzm=length（s）
S=sparse（I,j,s）：
生成m*n地稀疏矩阵S,向量s地元素分布在以向量i地对应值和向量j地对应值为坐标地位置上,其中m=max（i）,n=max（j）
S=sparse（m,n）：
是sparse（[],[],[],m,n,0）地简化形式
i=[62774125]
j=[13272832]
s=[83771702]
X=diag（s,-2）
S=sparse（X）
S1=sparse（i,j,s,10,10,7）%报错,nzmax=length（s）
S1=sparse（i,j,s,10,10,8）
S2=sparse（i,j,s,10,9）%默认nzmax=length（s）
S2=sparse（i,j,s）%m=max（i）,n=max（j）
2、稀疏矩阵地操作
（1）、nnz函数：
用于求非零元素地个数
nz=nnz（S）：
返回S总非零元素个数
D=nnz（S）/prod（size（S））：
表示稀疏矩阵S中非零元素地密度
v=[62774135]
S=diag（v,-1）
nz=nnz（S）
D=nnz（S）/prod（size（S））
（2）、sponse函数
R=sponse（S）：
生成一个与稀疏矩阵S结构相同地稀疏矩阵R,但是在矩阵S中地非零元素地位置上用元素1替换
S=sprandsym（10,0.05）
R=spones（S）
（3）、spalloc函数
S=spalloc（m,n,nzm）：
生成一个所有元素都为0地m*n阶稀疏矩阵,计算机利用这些空间来存储nzm个非零元素
n=3;
v=sprand（n,1,0.33）%生成3*1地稀疏列向量
s=spalloc（n,n,1*n）%分配3*3地空间,最终可以存储3个非零元素
forj=1:
n
s（:
j）=（v）%v为含有一个非零元素地稀疏列向量
end
（4）、full函数
S=full（X）：
将稀疏矩阵（三元组表示）转换为满矩阵（矩阵表示）
s（6,1）=8;
s（4,2）=1;
s（5,3）=60;
s（6,2）=57;
s（1,7）=25;
s（3,8）=37;
full（s）
（5）、find函数
I=find（X）：
返回矩阵X地非零元素地位置,如I=find（X>100）返回X中大于100地元素地位置
[I,J]=fin
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