≥
，yx
≤
5．设变量x，y满足约束条件：
x2y2，则zx3y的最小值（）
，
≥
x2．
A．2B．4C．6D．8
6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女
同学的概率为（）
A．
9
29
B．
10
29
C．
19
29
D．
20
29
7．
64
（1x）（1x）的展开式中x的系数是（）
A．4B．3C．3D．4
8．若动直线xa与函数f（x）sinx和g（x）cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的最
大值为（）
A．1B．2C．3D．2
22
xy
9．设a1，则双曲线221
的离心率e的取值范围是（）a（a1）
A．（2，2）B．（2，5）C．（2，5）D．（2，5）
第1页（共11页）
10．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角
的余弦值为（）
1232
A．B．C．D．
333
3
11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为xy20与x7y40，原点在等腰三角形的底
边上，则底边所在直线的斜率为（）
A．3B．2C．
1
3
D．
1
2
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆
的圆心距等于（）
A．1B．2C．3D．2
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量a（1，2），b（2，3），若向量ab与向量c（4，7）共线，则．
14．设曲线
ax
ye在点（0，1）处的切线与直线x2y10垂直，则a．
15．已知F是抛物线
2
C：
yx的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设FAFB，
4
则FA与FB的比值等于．
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空
间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①；
充要条件②．
（写出你认为正确的两个充要条件）
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，cos
5
B，
13
cos
4
C．
5
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设△ABC的面积
33
△，求BC的长．
S
ABC
2
18．（本小题满分12分）
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，
则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险
相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为
4
10
10.999．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，
求每位投保人应交纳的最低保费（单位：
元）．
第2页（共11页）
19．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱ABCDABCD中，AA12AB4，点E在CC1上且C1E3EC．
1111
（Ⅰ）证明：
AC平面BED；
1
D1
C1
（Ⅱ）求二面角
ADEB的大小．
1
A1B
1
E
DC
AB
20．（本小题满分12分）
设数列
a的前n项和为S．已知
nn
aa，
1
n
a1S3，
nn
*
nN．
n
（Ⅰ）设bS3，求数列
nn
b的通项公式；
n
（Ⅱ）若
a≥a，
n1n
*
nN，求a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线ykx（k0）与AB相交于点D，
与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若ED6DF，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
sinx
设函数f（x）
．2cosx
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
第3页（共11页）
2008年参考答案和评分参考
一、选择题
1．B2．A3．C4．C5．D6．D
7．B8．B9．B10．C11．A12．C
部分题解析：
2.设a，bR且b0，若复数
3
（abi）是实数，则（）
A．
22
baB．
3
22
abC．
3
22
baD．
9
22
ab，
9
解：
33223
（abi）a3abi3a（bi）（bi）（←考查和的立方公式，或二项式定理）
3223
（a3ab）（3abb）i（←考查虚数单位i的运算性质）
R（←题设条件）
∵a，bR且b0
∴
23
3abb0（←考查复数与实数的概念）
∴
22
ba.
3
故选A.
6.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又
有女同学的概率为（）
A．
9
29
B．
10
29
C．
19
29
D．
20
29
思路1：
设事件A：
“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：
P（A）
2112
CCCC
20102010
3
C
30
（←考查组合应用及概率计算公式）
2019109
1020
2121
302928
（←考查组合数公式）
321
10191010109
（←考查运算技能）102914
20
29
故选D.
思路2：
设事件A：
“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，
事件A的对立事件为A：
“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”
其概率为：
P（A）1P（A）（←考查对立事件概率计算公式）
1
33
CC
2010
3
C
30
（←考查组合应用及概率计算公式）
第4页（共11页）
201981098
1
321321
302928
（←考查组合数公式）
321
2019181098
（←考查运算技能）302928
20
29
故选D.
7.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则
两圆的圆心距等于（）
A．1B．2C．3D．2
分析：
如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较
麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为
2的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小
圆的距离3，问题解决起来就很容易了.
二、填空题
13．214．25．322
16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：
上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）由
cos
5
B，得
13
sin
12
B，
13
由cos
4
C，得
5
sin
3
C．
5
所以
33
sinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC．···········································5分
65
（Ⅱ）由
33
S
△得
ABC
2
133
ABACsinA，
22
由（Ⅰ）知sin
33
A，
65
故ABAC65，·······································································································8分
又
ABsinB20
ACAB
sinC13
，
故
20
13
2
AB65，
13
AB．
2
所以BC
ABsinA11
sinC2
．·····················································································10分
18．解：
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为，
第5页（共11页）
4
则~B（10，p）．
（Ⅰ）记A表示事件：
保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当0，
·····································································································································2分
P（A）1P（A）
1P（0）
4
10
1（1p），
又
4
10
P（A）10.999，
故p0.001．··············································································································5分
（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出10000500，0
盈利1000a0（1000050，0
盈利的期望为E1000a0100E005，0·················································9分
由
43
~B（10，10）知，
3
E1000010，
444
E10a10E510
44434
10a101010510．
E≥
0
444
10a1010510≥0
a≥
1050
a≥（元）．
15
故每位投保人应交纳的最低保费为15元．·································································12分
19．解法一：
D1
依题设知AB2，CE1．C1
（Ⅰ）连结AC交BD于点F，则BDAC．
A1B
1
由三垂线定理知，
BDAC．
1
···················································································3分
HE
在平面ACA内，连结EF交A1C于点G，
1
GD
AAACC
122
由于，AB
FFCCE
第6页（共11页）
故
Rt△AAC∽Rt△FCE，
1
AACCFE，
1
CFE与
FCA互余．
1
于是
ACEF．
1
AC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
1
所以
AC平面BED．·······························································································6分
1
（Ⅱ）作GHDE，垂足为H，连结AH．由三垂线定理知AHDE，
11
故
AHG是二面角
1
ADEB的平面角．
1
·······························································8分
22
EFCFCE3，
CG
CECF
EF
2
3
，
223
EGCECG．
3
EG11EFFD2
，GH．EF33DE15
又
22
A1CAA1AC26，
56
AGACCG．
11
3
AG
1
tanAHG55
1
HG
．
所以二面角
ADEB的大小为arctan55．
1
························································12分
z
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
D1
C1
建立如图所示直角坐标系Dxyz．
A1B1
依题设，
B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A（2，0，4）．
1
E
DE（0，2，1），DB（2，2，0），
x
D
AB
C
y
A1C（2，2，4），DA1（2，0，4）．················································································3分
（Ⅰ）因为
A1CDB0，A1CDE0，
故
ACBD，A1CDE．
1
又DBDED，
第7页（共11页）
所以
AC平面DBE．·······························································································6分
1
（Ⅱ）设向量n（x，y，z）是平面
DAE的法向量，则
1
nDE，
nDA．
1
故2yz0，2x4z0．
令y1，则z2，x4，n（4，1，2）．······························································9分
n等于二面角
，AC
1
ADEB的平面角，
1
cos
nAC
，
1
n
n
AC
1
AC
1
14
42
．
所以二面角
ADEB的大小为arccos
1
14
42
．·························································12分
20．解：
（Ⅰ）依题意，
n
S1Sa1S3，即
nnnn
n
S12S3，
nn
由此得
n1n
SS．···················································································4分
132（3）
nn
因此，所求通项公式为
nn1
bS3（a3）2，
nn
*
nN．①········································································6分
（Ⅱ）由①知
nn1
S3（a3）2，
n
*
nN，
于是，当n≥2时，
aSS
nnn
1
nn1n1n23（a3）23（a3）2
n1n2
23（a3）2，
n1n2
a1a43（a3）2
nn
n2
n
23
212a3，
2
当n≥2时，
n23
a≥a12a3≥0
n1n
2
第8页（共11页）
a≥．
9
又
a2a13a1．
综上，所求的a的取值范围是9，．·································································12分
21．（Ⅰ）解：
依题设得椭圆的方程为
2
x
4
21
y，
直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx（k0）．··········································2分
如图，设
D（x，kx），E（x，kx），F（x，kx），其中
001122
xx，
12
且
x，x满足方程
12
22
（14k）x4，
y
B
F
故
xx
21
2
14k
2
．①
E
O
D
A
x
由ED6DF知
x0x16（x2x0），得
1510
x（6xx）x
0212
77714
k
2
；
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