高考全国二卷理科数学题及其答案.docx

1、高考全国二卷理科数学题及其答案2008 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2 数学）理科数学 ( 必修+选修)第卷一、选择题1设集合M m Z | 3 m 2 ， N n Z | 1 n 3， 则 M N （ ）A 0，1 B 1，0，1 C 0，1，2 D 1，0，1，22设 a， b R 且 b 0 ，若复数3( a bi ) 是实数，则（ ）A2 2b a B32 2a b C32 2b a D92 2a 9b3函数1f ( x) xx的图像关于（ ）A y 轴对称B 直线y x 对称C 坐标原点对称D 直线y x 对称4若1 3x ( e ，1)， a ln x， b 2 ln

2、x， c ln x ，则（ ）A a b c B c a b C b a c D b c a， y x5设变量x， y 满足约束条件： x 2 y 2 ，则 z x 3 y 的最小值（ ），x 2A 2 B 4 C 6 D 86从 20 名男同学， 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A929B1029C1929D202976 4(1 x ) (1 x ) 的展开式中 x 的系数是（ ）A 4 B 3 C3 D48若动直线x a 与函数 f ( x ) sin x 和 g ( x) cos x 的图像分别交于 M ， N 两点，则

3、MN 的最大值为（ ）A1 B 2 C 3 D22 2x y9设 a 1 ，则双曲线 2 2 1的离心率 e 的取值范围是（ ） a (a 1)A ( 2，2) B ( 2， 5) C (2 ，5) D (2 ， 5 )第 1 页（共11 页）10已知正四棱锥 S AB C D 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE， SD 所成的角的余弦值为（ ）1 2 3 2A B C D3 3 3311等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0 与 x 7 y 4 0 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A3 B2 C13D1212已知球的半径为 2，相互

4、垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（ ）A1 B 2 C 3 D2第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13设向量 a (1，2) ， b (2 ，3) ，若向量 a b 与向量 c ( 4， 7) 共线，则 14设曲线axy e 在点 (0 ，1) 处的切线与直线 x 2 y 1 0 垂直，则 a 15已知 F 是抛物线2C： y x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A， B 两点设 FA FB ，4则 FA 与 FB 的比值等于 16平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对

5、边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）在 A B C 中， cos 5B ， 13cos 4C 5（）求 sin A 的值；（）设 A B C 的面积33 ，求 B C 的长SA BC218（本小题满分 12 分）购买某种保险， 每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险， 且各投

6、保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999 （）求一投保人在一年度内出险的概率 p ；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 第 2 页（共 11 页）19（本小题满分 12 分）如图，正四棱柱ABC D A B C D 中， AA1 2 AB 4 ，点 E 在 CC 1 上且 C1 E 3EC 1 1 1 1（）证明：A C 平面 B E D ；1D1C1（）求二面角A D E B 的大小1A1 B1ED CA B20（本小题满分 12

7、 分）设数列a 的前 n 项和为S 已知n na a ，1na 1 S 3 ，n n*n N n（）设 b S 3 ，求数列n nb 的通项公式；n（）若a a ，n 1 n*n N ，求 a 的取值范围21（本小题满分 12 分）设椭圆中心在坐标原点， A (2 ，0)， B (0，1) 是它的两个顶点，直线 y kx ( k 0) 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点（）若 ED 6DF ，求 k 的值；（）求四边形AEBF 面积的最大值22（本小题满分 12 分）sin x设函数 f ( x) 2 cos x（）求 f ( x) 的单调区间；（）如果对任何x 0 ，都有 f

8、 ( x ) ax ，求 a 的取值范围第 3 页（共11 页）2008 年参考答案和评分参考一、选择题1B 2A 3C 4C 5D 6D7B 8B 9B 10C 11A 12C部分题解析： 2. 设a， b R 且 b 0 ，若复数3( a bi ) 是实数，则（ ）A2 2b a B32 2a b C32 2b a D92 2a b ，9解：3 3 2 2 3( a bi ) a 3a bi 3a (bi ) (bi ) （考查和的立方公式，或二项式定理）3 2 2 3(a 3a b ) ( 3a b b ) i（考查虚数单位 i 的运算性质）R （题设条件） a， b R 且 b 02

9、33a b b 0 （考查复数与实数的概念）2 2b a .3故选 A.6. 从 20 名男同学， 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试， 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A929B1029C1929D2029思路 1：设事件 A：“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学” ，其概率为：P ( A )2 1 1 2C C C C20 10 20 103C30（考查组合应用及概率计算公式）2 0 1 9 1 0 9 1 0 2 02 1 2 13 0 2 9 2 8（考查组合数公式）3 2 11 0 1 9 1 0 1 0 1 0 9（考查运算技能） 1 0 2 9

10、 1 42029故选 D.思路 2：设事件 A：“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学” ，事件 A 的对立事件为 A ：“选到的 3 名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：P ( A) 1 P ( A) （考查对立事件概率计算公式）13 3C C20 103C30（考查组合应用及概率计算公式）第 4 页（共 11 页）20 19 8 10 9 813 2 1 3 2 130 29 28（考查组合数公式）3 2 12 0 1 9 1 8 1 0 9 8（考查运算技能） 3 0 2 9 2 82029故选 D.7. 已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦

11、长为 2，则两圆的圆心距等于（ ）A1 B 2 C 3 D2分析：如果把公共弦长为 2 的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2 的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离 3 ，问题解决起来就很容易了 .二、填空题132 142 53 2 216两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形注：上面给出了四个充要条件如果考生写出其他正确答案，同样给分三、解答题17解：（）由cos5B ，得13sin12B

12、，13由 cos4C ，得5sin 3C 5所以33sin A sin( B C ) sin B cos C cos B sin C 5 分65（）由33S 得ABC21 33A B A C sin A ，2 2由（）知 sin 33A ， 65故 AB AC 65 ， 8 分又A B sin B 20A C A Bsin C 13，故20132A B 65 ， 13A B 2所以 B CA B sin A 11sin C 2 10 分18解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，记投保的 10 000 人中出险的人数为 ，第 5 页（共 11 页）4则 B (10 ， p) （）

13、记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000 元赔偿金，则A 发生当且仅当 0 ， 2 分P ( A ) 1 P ( A )1 P ( 0)4101 (1 p ) ，又410P (A) 1 0.999 ，故 p 0.001 5 分（）该险种总收入为 10 000 a 元，支出是赔偿金总额与成本的和支出 1 0 0 0 0 5 0 0，0盈利 1 0 0 0a0 ( 1 0 0 0 0 5 0，0盈利的期望为 E 1 0 0 0 a0 1 0 0E0 0 5 ，0 9 分由4 3 B (10 ，10 ) 知，3E 10 000 10 ，4 4 4E 10 a 10 E 5 104 4 4

14、 3 410 a 10 10 10 5 10 E 04 4 410 a 10 10 5 10 0a 10 5 0a （元）15故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分19解法一：D 1依题设知 A B 2 ， C E 1 C1（）连结A C 交 BD 于点 F ，则B D A C A1 B1由三垂线定理知，BD A C 1 3 分H E在平面 A C A 内，连结E F 交 A1C 于点 G ，1G DA A A C C1 2 2由于 ， A BF F C C E第 6 页（共11 页）故Rt A AC Rt FCE ，1AA C CFE ，1C F E 与FC A 互余1于是A C

15、 EF 1A C 与平面 B E D 内两条相交直线 B D， E F 都垂直，1所以A C 平面 B ED 6 分1（）作 G H D E ，垂足为 H ，连结A H 由三垂线定理知A H D E ，1 1故A HG 是二面角1A D E B 的平面角1 8 分2 2EF CF CE 3 ，C GC E C FE F23，2 2 3EG C E CG 3EG 1 1 EF F D 2， G H EF 3 3 D E 15又2 2A1 C AA1 AC 2 6 ，5 6A G A C C G 1 13A G1tan A H G 5 51H G所以二面角A D E B 的大小为 arctan 5

16、 5 1 12 分z解法二：以 D 为坐标原点，射线 D A 为 x 轴的正半轴，D1C1建立如图所示直角坐标系D xyz A1 B1依题设，B (2 ，2，0) ， C (0，2，0)， E (0，2，1)， A (2 ，0，4) 1ED E (0 ，2，1)，D B (2 ，2，0) ，xDA BCyA1 C ( 2，2， 4)，DA1 (2，0，4) 3 分（）因为A1C DB 0 ， A1C DE 0 ，故A C BD ， A1C D E 1又 DB DE D ，第 7 页（共11 页）所以A C 平面 D BE 6 分1（）设向量 n ( x， y， z) 是平面D A E 的法向量

17、，则1n DE ，n D A 1故 2 y z 0 ， 2 x 4 z 0 令 y 1，则z 2 ， x 4 ， n (4 ，1， 2) 9 分n 等于二面角，A C1A D E B 的平面角，1cosn A C，1nnA C1A C11442所以二面角A D E B 的大小为arccos11442 12 分20解：（）依题意，nS 1 S a 1 S 3 ，即n n n nnS 1 2S 3 ，n n由此得n 1 nS S 4 分1 3 2( 3 )n n因此，所求通项公式为n n 1b S 3 ( a 3)2 ，n n*n N 6 分（）由知n n 1S 3 ( a 3)2 ，n*n N

18、，于是，当 n 2 时，a S Sn n n1n n 1 n 1 n 2 3 ( a 3) 2 3 ( a 3) 2n 1 n 22 3 ( a 3)2 ，n 1 n 2a 1 a 4 3 (a 3)2n nn 2n2 32 12 a 3 ，2当 n 2 时，n 2 3a a 12 a 3 0n 1 n2第 8 页（共11 页）a 9又a2 a1 3 a1 综上，所求的 a 的取值范围是 9， 12 分21（）解：依题设得椭圆的方程为2x42 1y ，直线A B， EF 的方程分别为x 2 y 2 ， y kx ( k 0) 2 分如图，设D ( x ， kx )， E ( x ， kx )， F ( x ， kx ) ，其中0 0 1 1 2 2x x ，1 2且x ， x 满足方程1 22 2(1 4k ) x 4 ，yBF故x x2 121 4k2EODAx由 ED 6DF 知x0 x1 6( x2 x0 ) ，得1 5 10x (6 x x ) x0 2 1 27 7 7 1 4k2；