数列中的奇数项和偶数项问题.docx
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数列中的奇数项和偶数项问题
1设数列{an}的首项a1=a≠
，且
记
，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
解：
（I）a2＝a1+
=a+
，a3=
a2=
a+
；
（II）∵a4=a3+
=
a+
所以a5=
a4=
a+
所以b1=a1－
=a－
b2=a3－
=
（a－
）,b3=a5－
=
（a－
）,
猜想：
{bn}是公比为
的等比数列·
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－
=
a2n－
=
（a2n－1－
）=
bn,（n∈N*）
所以{bn}是首项为a－
公比为
的等比数列·
2在数列
中，
=0，且对任意k
，
成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明
成等比数列；
（Ⅱ）求数列
的通项公式；
（I）证明：
由题设可知，
，
，
，
，
。
从而
，所以
，
，
成等比数列。
（II）解：
由题设可得
所以
.
由
，得
，从而
.
所以数列
的通项公式为
或写为
，
。
设
为数列
的前
项和，
，
，其中
是常数．
（I）求
及
；
（II）若对于任意的
，
，
，
成等比数列，求
的值．
解析：
（Ⅰ）当
，
（
）
经验，
（
）式成立，
（Ⅱ）
成等比数列，
，
即
，整理得：
，
对任意的
成立，
（2009北京文）（本小题共13分）
设数列
的通项公式为
.数列
定义如下：
对于正整数m，
是使得不等式
成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若
，求
；
（Ⅱ）若
，求数列
的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得
？
如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
（Ⅰ）由题意，得
，解
，得
.
∴
成立的所有n中的最小整数为7，即
.
（Ⅱ）由题意，得
，
对于正整数，由
，得
.
根据
的定义可知
当
时，
；当
时，
.
∴
.
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式
及
得
.
∵
根据
的定义可知，对于任意的正整数m都有
，即
对任意的正整数m都成立.
当
（或
）时，得
（或
），
这与上述结论矛盾！
当
，即
时，得
，解得
.
∴存在p和q，使得
；
p和q的取值范围分别是
，
.
已知数列
和
满足：
其中
为实数，
为正整数.
（Ⅰ）对任意实数
，证明数列
不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设
为数列
的前
项和.是否存在实数
，使得对任意正整数
，都有
若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：
假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
（Ⅱ）解：
因为bn+1=（-1）n+1［an+1-3（n-1）+21］=（-1）n+1（
an-2n+14）
=
（-1）n·（an-3n+21）=-
bn
又b1x-（λ+18）,所以
当λ＝－18，bn=0（n∈N+）,此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=（λ+18）≠0,由上可知bn≠0，∴
（n∈N+）.
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－
为公比的等比数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·（－
）n-1，于是可得
Sn=-
要使a即a<-
（λ+18）·［1－（－
）n］〈b（n∈N+）
①
当n为正奇数时，1∴f（n）的最大值为f
（1）=
f（n）的最小值为f
（2）=
于是，由①式得
a<-
（λ+18）,<
当a3a时，由－b-18
=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a
设数列
的前
项和为
，对任意的正整数
，都有
成立，记
。
（I）求数列
与数列
的通项公式；
（II）设数列
的前
项和为
，是否存在正整数
，使得
成立？
若存在，找出一个正整数
；若不存在，请说明理由；
（I）当
时，
又
∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
∴
，
…………………………………3分
（II）不存在正整数
，使得
成立。
证明：
由（I）知
∴当n为偶数时，设
∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有
∴不存在正整数
，使得
成立。
…………………………………8分
数列
（Ⅰ）求
并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
证明：
当
解:
（Ⅰ）因为
所以
一般地，当
时，
＝
，即
所以数列
是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当
时，
所以数列
是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列
的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①
②
①-②得，
所以
要证明当
时，
成立，只需证明当
时，
成立.
证法一
（1）当n=6时，
成立.
（2）假设当
时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由
（1）、
（2）所述，当n≥6时，
.即当n≥6时，
证法二
令
，则
所以当
时，
.因此当
时，
于是当
时，
综上所述，当
时，
设
是数列
（
）的前
项和，
，且
，
，
．
（I）证明：
数列
（
）是常数数列；
（II）试找出一个奇数
，使以18为首项，7为公比的等比数列
（
）中的所有项都是数列
中的项，并指出
是数列
中的第几项．
20．解：
（I）当
时，由已知得
．
因为
，所以
．…………………………①
于是
．…………………………………………………②
由②－①得：
．……………………………………………③
于是
．……………………………………………………④
由④－③得：
．…………………………………………………⑤
即数列
（
）是常数数列．
（II）由①有
，所以
．
由③有
，所以
，
而⑤表明：
数列
和
分别是以
，
为首项，6为公差的等差数列．
所以
，
，
．
由题设知，
．当
为奇数时，
为奇数，而
为偶数，所以
不是数列
中的项，
只可能是数列
中的项．
若
是数列
中的第
项，由
得
，取
，得
，此时
，由
，得
，
，从而
是数列
中的第
项．
等差数列
的前
项和为
．
（Ⅰ）求数列
的通项
与前
项和
；
（Ⅱ）设
，求证：
数列
中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前
项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：
（Ⅰ）由已知得
，
，
故
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
假设数列
中存在三项
（
互不相等）成等比数列，则
．
即
．
，
．
与
矛盾．
所以数列
中任意不同的三项都不可能成等比数列．
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