现代控制理论课后知识题目解析.docx
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现代控制理论课后知识题目解析
为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识
点,并且在以后参加考硏考博考试直到工作中,为大家提供—个理论参考依据,我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》(刘豹第三版),希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求,本次任务分组化,责任到个人。
我们班整体分为五大组,每组负责整理一童习题,每个人的任务由组长具体分配,一个人大概分1~2道题,每个人任务虽然不算多,但也给同学们提出了要求:
L写清题号,抄题,画图(用CAD或word画12.题解详略得当,老师要求的步骤必须写上。
3.遇到一题多解,要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书,为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤,即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。
我们紧贴原课本,强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题,将各童节的知识点都有机地整合在一起,力争做到了对控制理论概念阐述明确,给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。
在课后题中出现的本童节重难点部分,我们加上了必要的文字和图例说明,让读者感觉每一题都思路清晰,简单明了,由于我们给习题配以多种解法,更有助于发散大家的思维,做到举一反
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管,魏琳琳同学负责分组和发布任务书,由五个小组组组长李卓锂、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己童节的初步审核,然后汇总到胡玉皓同学那里,并由他做最后的总审核工作,绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周,在同学的共同努力下完成,是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶,望大家能够合理使用,如发现错误请及时通知,欢迎大家的批评指正!
2014年6月2
第一章控制系统的状态空间表达武
1-1试求图1-27系统的模拟结构图z并建立其状态空间表达式
图系统方块结构图
解:
系统的模拟结构图如下:
图1-30双输入-双输出系统模拟结构图
系统的状态方程如下:
兀=X?
J2
・KpK”1Kp
3A3A4A5A6
令&G)=y,则y=^所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
•
0
1
0
0
0
0]
0
0
心
0
0
0
~0~
•
人
Y
0
•
•
0
0
A
K“
A
1
7
Kp
A
心
+
0
0
兀4
0
0
1
0
0
0
0
•
X,
0
0
0
0
K]
心
5
•
0
0
0
0
(
入6
K
K
一/i
-p
pJ
0]
1-2有电路如图1-28所示。
以电压“⑴为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻R,上的电压作为输出量的输出方程。
R1
c
d=Uc
R2
图1-28电路图
解:
由图/令人=xLJ2=x2,uc=x3,输出量y=R2x2
/?
內+厶呂+心=U
有电路原理可知:
L2X2+R2x2=x3
xx=x2+Cx3
11
一一X.+—U厶厶
既得
•11
写成矢量矩阵形式为:
R}
0
■■
■
"IT
0
r2
x2
=
~T.
1
1
c
~c
~XJ
y=[0
r2o]
x2
x.
1-3有机械系统如图1.29所示,W和M2分别受外力fi和f2的作用.求以Mi和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.
fl⑴
解:
以弹簧的伸长度yi/y2质量块Mi,M2的速率eg作为状态变
量
即Xl=yi,X2=y2,X3=C1,X4=C2
根据牛顿定律,对Ml有:
=fi-ki(yi-y2)-Bi(ci-C2)
对M2有:
M2^=f2+ki(yi-y2)+Bi(ci-C2)-k2y2-B2C2
将X1,X2,X3/X4代入上面两个式子,得MlX3=fl-kl(Xl-X2)-Bl(X3-X4)
M2j4=f2+kl(Xl-X2)+Bl(X3-X4)-k2X2-B2X4
整理得A=X3
X2=X4
X3=—fl--^-Xi+A.X2--^-X3+A.X4
A/】A/】A/】A/】A/】
x412+—^Xi-—X2+—X3-—X4
M2m2m2m2
输出状态空间表达式为yi=ci=X3
y2=C2=X4
1-4两输入y,两输出儿,儿的系统,其模拟结构图如图1-30
所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解:
系统的状态空间表达式如下所示:
■■
A
■
0
1
X2
-a2
A
1
0
A
0
~a5
0
0
0
一5
U
001x2
5-10
-A)=
-1
0
Cl6
-1
0a5a4s+a5
■
s
Clr
-1
s+cik
0
0
■
0
a台
-1
■
0
b{
o-
0
Wilx(s)=(sI-A)^B=
-1
0
s
6
-1
i
0
0
0
a4
$+。
3
0
b2
■
s
-1
0
■
0
-i
_0
0_
1
0
0
o'
a2
s+aY
0
a
0
0
0
1
0
-1
0
s
-1
0
0
0
a4
s+a^
0
b2_
Wiiy(S)=C(sI-AylB=
s-1
ci2s+q
-10
0Cl5
0
a6
-1
s+a5
5詁
xj
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
(1)y+5y+7y+3y=u+2u
(2)y+5y+7y+3y=w+3h+2m
列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的的模拟结构图。
(1)解:
由微分方程得:
系统的传递函数为W(s)二—
S+5J+7S+3
则状态空间表达式为:
■■
■
xl
0
x2
+
0
£
1
兀「010]|■叩「0「
x2=001x2+0ii
-3-7-51
禺L」LJL」
■■
y=[210]x2
£
相应的模拟结构图如下:
□[231]兀
相应的模拟结构图如下:
1-6已知系统传递函数⑴w(s)=
1O(S-1)
S(S+l)(S+3)
⑵“站点怎'试求出系统的约旦标准型的实现
并画出相
应的模拟结构图
解:
⑴由W(s)=
10(5-1)
5(5+1)(5+3)
可得到系统表达式为
\r
x2
=
x3
0
0
0
尸[-10
xl
100「x2
x3
求得A的特征矢量
1
1
0
pl=
-1
,P2=
-3
,P3=
0
1
9
0
则可构成变换矩附
■110_
T=[plp2p3]=-1-30
190
求得丁的逆矩阵M
r
3
1
3
1
3
计算得到变换都各矩阵分别为
1O
-
=|
.3.
CxT=[-20-400]
101
⑵忤)=号:
1)吕+二+二+3
5(5+2)(5+3)(S+3)・5+35+2s
-3
1
X2
0
-3
0
0
_A_
0
0
-
10
y=
—
4-
00_
■■
O
00
1
+
-20
1
00
/4_
1
u
1-7给定下列状态空间表达式
(c)SUMS®(I)
o
1CM
i
+
^ri
1
J
i
o
o
im
o
cc
CM
1
II
—<
・x
^ri
•#
1
Q+S)(I+S)
0
0
(E+SWI
匚)
(I+S)(Z+S)(E+S)
E+sI—I
0E+sZ(e)oils
除⑸七w“(*
(二)(屮
飞+3)'
5+3
0一
0
-2(5+3)
5(5+3)
0
1
-5-5
5-1
(54-1)(5+2)
2
1
($+3)(5+2)($+1)
(s+3)
5(5+3)(25+1)(5+3)
叱iy(s)=C(sl-AflB=\O0I
G+3)
5(5+3)
(25+1)(5+3)
(5+3)(54-2)(5+1)
(2$+1)($+2)($+1)
1-8求下列矩阵的特征矢量:
-21
-1-2
解:
A的特征方程:
A+2-1
12+2
解之得:
A=-2+jz='2-j;当A=-2+j时z
-2
-1
1
-2
Pn
P21
=(・2+j)
Ph
P21
-21
-1-2
P12
P22
解得:
P22令P12=1#得匕=
1
■J
(2)A=
01
-6-5
解:
A的特征方程:
=才+52+6二0
解之得:
\—"2#=-3;
当心2时,北:
]吨:
P22=-3pi2/*^P12=1/得卩产[;]
解得:
p2i=~2pn,令Pn=l,得P]=
解得:
010
(3)4=302
-12-7-6
解:
A的特征方程
-2=才+6才+11/1+6=0
127
^5之^彳导:
A=—1,人=—2仏=—3
■0
1
o・
当A=-i时,
3
0
2
P2L
=
PZL
—12
-7-6
/Ai
Aiir1
解得:
Pzi=Pn=-Pn令A1=1
>11'
■-f
(或令九=-1,得片=
Pzi
=
1
P31
1
(或令Pl2=1/得笃=
1
P22
=
-2
1
P32
L2J
■0
1
0_
■/A:
'
3
0
2
Pq
=-2
P22
-12
-7
-6
_Pn_
_lhi_
当A=-2时
p22=-2p12,p32=|p12
>12'
■2'
P2=
P22
=
-4
1
■0
1
o・
当人=-3时,
3
0
2
化3
=—3
P1Z
—12
-7-6
几3
解得:
p23=-3p13,p33=3p13
令“3=1
1・
p、=
P25
=
-3
P33
3
(4)A=
12-1
-10-1
445
解:
A的特征方程
2-1-2
|2Z-A|=1A
-4-4
1
1=才-6才+152-10=0
A-5
OUE+y寸+&UT長sfg皐g<-謹
-
0
+
0X
-X
ex
□
諒迪怎[nls定芒托凶赧叵{(H頤荽屁KMS.6丄
驱匚舁d-1
「£I/S+E」
当心1时,
解之得P11=P21冷Pll=l,得Pl=;
-21
1-2
=-3
解之得P21=-P22,令P21=l,得P2=
1
-1
1一2-1一2
1-21-2
-1
0
0
-3
Lb=
故约旦标准型为Z二
-1
0
0
-3
(2)i
£
2
一1
T
zCT=[i
1],
y二[1
i]Z
_41-2'
_xl_
■3r
102
x2
+
27
1-13
x3
53
U
X1
x2
x3
xl
yl
120
二
x2
_y2_
_011
x3
解:
A的特征方程囚-4|二才-7才+152-9=(几-3X/l-3)U-l)=O
解得人2=3/久3=1
当人=3时特征向量:
41-2
P"
102
=3
1-13
1
解之得P12=P21=P31,令Pll=l,得Pl=1
1
41-2
1
当肥二3时的广义特征向量,
102
P22
=3
P22
+1
1-13
A_
|_i
1
解之得P12=P22+1,P22二P32,令P12=l,得P2=0
0
41-2
当人“时
102
=
1-13
0
解之得P13=0zP23=2P33,令P33=lz的Ps=2
1
「11
0_
「010_
故T二
10
2
T~l=
-111
10
1
2-2-1
「310]
故约旦标准型为Z二
"2
7
—
T_1B=
4
9
CT=
-3
-15
-
■310_
_2
7■
030
X+
4
9
U
001
-3-
-15
LAT二030
001
3
2
14'
03
Y=1—10.已知两子系统的传递函数阵叱⑸和光⑸分别为:
1
H〔(s)二s+1
0
1
巴⑸二芍3
S+1
试求两子系统串联连接时系统的传递函数,并讨论所得结果。
解:
两子系统串联联接时,系统的传递函数阵W⑸二吧(S)叱⑸,得
W⑸二
■1
1■
1
■
1
■
1
s2+5s+l
5+3
5+4
54-1
5+2
(5+1)(5+3)
(5+2)(54-3)(5+4)
1
0
0
5+1
1
1
_s+l
s+2.
(5+1/
(5+1)(5+2)
两子系统并联联接时,系统的传递函数阵w⑸二叫(S)+巴(S),得
W⑸二
■■
11
5+15+2
+
5+35+4
cS+1
1
1c
0
——0
_5+2,
.s+1.
2s+4
(5+1)(5+3)(5+2)(5+4)
15+1
5+15+2
2s+6
串联联接时,由于前环节的输出为后一环节的输入,串联后等
效非线性环节特性与两环节的先后次序有关,故改变向后次序等效特性会发生改变。
并联联接时,系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。
1-11已知如图1-22(见教材47页)所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为
rii]
10
5+1S
o1
W2(s)=
01
5+2.
求系统的闭环传递函数阵。
解:
1+31'
5+15+1
5+1
5+2S
5+25(5+3)
5+3
05+2
05+2
5+1J
5+3
[I+W^S)W2(s)r=
1
■
1
1■
■1
1■
5+1
S
1
U
54-1
S
0
1
0
1
0
1
s+2.
$+2.
叱($)%($)=
1
I+W^s)W($)=/+
5+2
5+1
0
1
■?
5+3
$+2
-.1
w(5)=[/+VV.($)Wr(5)rW.(5)=——
5+1
5+3
5+2
5+1__
54-1
5(5+3)
1
5+3
5+3
(5+2)(5+1)
0—
5+1
1-12已知差分方程为:
y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+3u(k)试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数U的系数b(即控制列阵)为
■"■
f1f0
Q)b=]⑵b=]
解:
由差分方程得传递函数叽沪仝\=二+土
疋+3?
+2z+1z+2
化为并联型:
X(R+1)=1°X(灯+:
u(k)
v—L1
),(灯=[1止伙)ro11「o]化为能控标准型:
锹点)]2-3严叫/⑹
y伙)=[32]心)
第二章控制系统状态空间表达式的解
2-1试证明同维方阵A和B,当AB=BA时,0訂二严”,而当ABhBA日寸,严・器工严
证明:
由矩阵指数函数eA,=1+At+丄4干+•••+丄人屮十…
2!
k!
可彳导:
严>=I+(4+B)t+丄(4+3)2尸+丄(人+3)313+...
2!
3!
=I+(A+B)t+丄(才+的+加+庆)t2+…
2!
+-(A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B^)T+…
3!
eA,eBt=(Z+At+—A2t2+丄AY十•…)(/+Bt+丄〃‘亡十丄B’t'十•…)
2!
3!
2!
3!
=/+(A+B)t+丄(A'+A2?
+B4+庆)t2+…
2!
+-(A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B^)/,+・••3!
将以上两个式子相减”得:
(BA-AB)t2±右(BA2+ABA+B~A+BAB-2A2B+2AB2)AV十•…
显然,只有当AB=财时,才有严「■严严二°,即严—严;否则严b八工严•严。
2-2试证本童2.2节中几个特殊矩阵的矩阵扌旨数函数式(2.17),式(2.18),式(2.19)和式(2.20)成立。
证明:
(1)式(2.17)
由矩阵指数函数m+加十+必+吕必十…
可得:
eA,=I+At+—A2t2+—A3t3+•••
2!
3!
即得证。
(2)式(2.18)
由矩阵指数函数m+加十+必+吕必十…
可知,若存在非奇异变换阵T使得厂曲=A,^]A=TAT~l,且人凡,人…
是特征根可知
艾1昂卅Jt=oK!
T~l=T
即得证。
(3)式(2.19)
Q1、
A10
若4为约旦矩阵,A=J=?
•i
・・1
0A1
由矩阵指数函数eA,=I+At±-A2f+丄A¥+...
2!
3!
(*)/
则A,=
2人
A2
0
1
2人
A2
...0
…0
…0
••.2&
…
fA3
3盂
3入
1
…0
0
V
32;
3&
…0
0
0
A3
3/1;
…0
0
0
0
晋
…0
、0
0
0
0
…巧
将以上所求得的4、…、A”代M)式,令嘗於“则
nA;-1
fU;-2
咗-3...
0'
0
可
MJ2...
0
0
0
碍
咗T...
0
0
•
■
0
•
•
0
•
■
V…
••
0
■
■
■
3
■
0
•
0
••
0...
■
■
第j块的状态转移矩阵:
-ps
J
w-H
••
•
w-H
1
■
f'li二J
w-H
••
1
■
J
Y
•••
•■
■
•
•o
J
CN
J
••
-o
J
o
•♦
•o
J
o
o
••
-o_/
1
z**"
-ps
J
•
•
■
•
ai
■
礼
7£
J
•
•
■
rn
1s
<•.
礼
J
•
•
•
■•
•
•
•*
•V3
■o
J
-r
Xl
rsj
I
J
•<
9
••
-o
O
••
■o
J
<
o
O
••
-o
、、
0」
?
£(m—ls
rll
gl
0(ZL=CO
—Peia—Is
l<
斜
00
—3
I§
00
6—s8.SIbl
■
-el
Id)
8-b—^
H(pI3
b8l>
一:
Tffl
(O0Z)托(寸)
ols
=Z71[(5/-Af1]=严
由欧拉公式得:
严二[cos£yrsm£yr>
\-smcotcoscot
即得证。
(010]
2-3已知矩阵A二oo1
2-54?
试用拉氏反变换法求严。
(与例2・3、