现代控制理论课后知识题目解析.docx

现代控制理论课后知识题目解析.docx

《现代控制理论课后知识题目解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论课后知识题目解析.docx（125页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

现代控制理论课后知识题目解析

为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识

点,并且在以后参加考硏考博考试直到工作中,为大家提供—个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版）,希望大家好好利用这本辅助工具。

根据老师要求,本次任务分组化,责任到个人。

我们班整体分为五大组，每组负责整理一童习题,每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：

L写清题号,抄题,画图（用CAD或word画12.题解详略得当,老师要求的步骤必须写上。

3.遇到一题多解,要尽量写出多种方法。

本习题集贯穿全书,为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。

我们紧贴原课本,强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各童节的知识点都有机地整合在一起,力争做到了对控制理论概念阐述明确,给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。

在课后题中出现的本童节重难点部分,我们加上了必要的文字和图例说明,让读者感觉每一题都思路清晰,简单明了,由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反

这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管,魏琳琳同学负责分组和发布任务书,由五个小组组组长李卓锂、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己童节的初步审核,然后汇总到胡玉皓同学那里,并由他做最后的总审核工作,绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。

本书耗时两周,在同学的共同努力下完成,是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶,望大家能够合理使用,如发现错误请及时通知,欢迎大家的批评指正!

2014年6月2

第一章控制系统的状态空间表达武

1-1试求图1-27系统的模拟结构图z并建立其状态空间表达式

图系统方块结构图

解：

系统的模拟结构图如下:

图1-30双输入-双输出系统模拟结构图

系统的状态方程如下：

兀=X?

J2

・KpK”1Kp

3A3A4A5A6

令&G）=y,则y=^所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

•

0

1

0

0

0

0]

0

0

心

0

0

0

~0~

•

人

Y

0

•

•

0

0

A

K“

A

1

7

Kp

A

心

+

0

0

兀4

0

0

1

0

0

0

0

•

X,

0

0

0

0

K]

心

5

•

0

0

0

0

（

入6

K

K

一/i

-p

pJ

0]

1-2有电路如图1-28所示。

以电压“⑴为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R,上的电压作为输出量的输出方程。

R1

c

d=Uc

R2

图1-28电路图

解:

由图/令人=xLJ2=x2,uc=x3,输出量y=R2x2

/?

內+厶呂+心=U

有电路原理可知:

L2X2+R2x2=x3

xx=x2+Cx3

11

一一X.+—U厶厶

既得

•11

写成矢量矩阵形式为:

R}

0

■■

■

"IT

0

r2

x2

=

~T.

1

1

c

~c

~XJ

y=[0

r2o]

x2

x.

1-3有机械系统如图1.29所示,W和M2分别受外力fi和f2的作用.求以Mi和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.

fl⑴

解:

以弹簧的伸长度yi/y2质量块Mi,M2的速率eg作为状态变

量

即Xl=yi,X2=y2,X3=C1,X4=C2

根据牛顿定律，对Ml有：

=fi-ki（yi-y2）-Bi（ci-C2）

对M2有:

M2^=f2+ki（yi-y2）+Bi（ci-C2）-k2y2-B2C2

将X1,X2,X3/X4代入上面两个式子,得MlX3=fl-kl（Xl-X2）-Bl（X3-X4）

M2j4=f2+kl（Xl-X2）+Bl（X3-X4）-k2X2-B2X4

整理得A=X3

X2=X4

X3=—fl--^-Xi+A.X2--^-X3+A.X4

A/】A/】A/】A/】A/】

x412+—^Xi-—X2+—X3-—X4

M2m2m2m2

输出状态空间表达式为yi=ci=X3

y2=C2=X4

1-4两输入y,两输出儿，儿的系统，其模拟结构图如图1-30

所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：

系统的状态空间表达式如下所示:

■■

A

■

0

1

X2

-a2

A

1

0

A

0

~a5

0

0

0

一5

U

001x2

5-10

-A）=

-1

0

Cl6

-1

0a5a4s+a5

■

s

Clr

-1

s+cik

0

0

■

0

a台

-1

■

0

b{

o-

0

Wilx（s）=（sI-A）^B=

-1

0

s

6

-1

i

0

0

0

a4

$+。

3

0

b2

■

s

-1

0

■

0

-i

_0

0_

1

0

0

o'

a2

s+aY

0

a

0

0

0

1

0

-1

0

s

-1

0

0

0

a4

s+a^

0

b2_

Wiiy（S）=C（sI-AylB=

s-1

ci2s+q

-10

0Cl5

0

a6

-1

s+a5

5詁

xj

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

（1）y+5y+7y+3y=u+2u

（2）y+5y+7y+3y=w+3h+2m

列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的的模拟结构图。

（1）解:

由微分方程得:

系统的传递函数为W（s）二—

S+5J+7S+3

则状态空间表达式为：

■■

■

xl

0

x2

+

0

£

1

兀「010]|■叩「0「

x2=001x2+0ii

-3-7-51

禺L」LJL」

■■

y=[210]x2

£

相应的模拟结构图如下:

□[231]兀

相应的模拟结构图如下:

1-6已知系统传递函数⑴w（s）=

1O（S-1）

S（S+l）（S+3）

⑵“站点怎'试求出系统的约旦标准型的实现

并画出相

应的模拟结构图

解：

⑴由W（s）=

10（5-1）

5（5+1）（5+3）

可得到系统表达式为

\r

x2

=

x3

0

0

0

尸[-10

xl

100「x2

x3

求得A的特征矢量

1

1

0

pl=

-1

，P2=

-3

，P3=

0

1

9

0

则可构成变换矩附

■110_

T=[plp2p3]=-1-30

190

求得丁的逆矩阵M

r

3

1

3

1

3

计算得到变换都各矩阵分别为

1O

-

=|

.3.

CxT=[-20-400]

101

⑵忤）=号：

1）吕+二+二+3

5（5+2）（5+3）（S+3）・5+35+2s

-3

1

X2

0

-3

0

0

_A_

0

0

-

10

y=

—

4-

00_

■■

O

00

1

+

-20

1

00

/4_

1

u

1-7给定下列状态空间表达式

（c）SUMS®（I）

o

1CM

i

+

^ri

1

J

i

o

o

im

o

cc

CM

1

II

—<

・x

^ri

•#

1

Q+S）（I+S）

0

0

（E+SWI

匚）

（I+S）（Z+S）（E+S）

E+sI—I

0E+sZ（e）oils

除⑸七w“（*

（二）（屮

飞+3）'

5+3

0一

0

-2（5+3）

5（5+3）

0

1

-5-5

5-1

（54-1）（5+2）

2

1

（$+3）（5+2）（$+1）

（s+3）

5（5+3）（25+1）（5+3）

叱iy（s）=C（sl-AflB=\O0I

G+3）

5（5+3）

（25+1）（5+3）

（5+3）（54-2）（5+1）

（2$+1）（$+2）（$+1）

1-8求下列矩阵的特征矢量:

-21

-1-2

解：

A的特征方程:

A+2-1

12+2

解之得:

A=-2+jz='2-j;当A=-2+j时z

-2

-1

1

-2

Pn

P21

=（・2+j）

Ph

P21

-21

-1-2

P12

P22

解得:

P22令P12=1#得匕=

1

■J

（2）A=

01

-6-5

解：

A的特征方程:

=才+52+6二0

解之得:

\—"2#=-3;

当心2时,北:

］吨:

P22=-3pi2/*^P12=1/得卩产［；］

解得:

p2i=~2pn,令Pn=l,得P］=

解得：

010

（3）4=302

-12-7-6

解：

A的特征方程

-2=才+6才+11/1+6=0

127

^5之^彳导：

A=—1,人=—2仏=—3

■0

1

o・

当A=-i时，

3

0

2

P2L

=

PZL

—12

-7-6

/Ai

Aiir1

解得：

Pzi=Pn=-Pn令A1=1

>11'

■-f

（或令九=-1,得片=

Pzi

=

1

P31

1

（或令Pl2=1/得笃=

1

P22

=

-2

1

P32

L2J

■0

1

0_

■/A：

'

3

0

2

Pq

=-2

P22

-12

-7

-6

_Pn_

_lhi_

当A=-2时

p22=-2p12,p32=|p12

>12'

■2'

P2=

P22

=

-4

1

■0

1

o・

当人=-3时，

3

0

2

化3

=—3

P1Z

—12

-7-6

几3

解得：

p23=-3p13,p33=3p13

令“3=1

1・

p、=

P25

=

-3

P33

3

（4）A=

12-1

-10-1

445

解：

A的特征方程

2-1-2

|2Z-A|=1A

-4-4

1

1=才-6才+152-10=0

A-5

OUE+y寸+&UT長sfg皐g<-謹

-

0

+

0X

-X

ex

□

諒迪怎[nls定芒托凶赧叵{（H頤荽屁KMS.6丄

驱匚舁d-1

「£I/S+E」

当心1时，

解之得P11=P21冷Pll=l,得Pl=；

-21

1-2

=-3

解之得P21=-P22,令P21=l,得P2=

1

-1

1一2-1一2

1-21-2

-1

0

0

-3

Lb=

故约旦标准型为Z二

-1

0

0

-3

（2）i

£

2

一1

T

zCT=[i

1]，

y二[1

i]Z

_41-2'

_xl_

■3r

102

x2

+

27

1-13

x3

53

U

X1

x2

x3

xl

yl

120

二

x2

_y2_

_011

x3

解：

A的特征方程囚-4|二才-7才+152-9=（几-3X/l-3）U-l）=O

解得人2=3/久3=1

当人=3时特征向量:

41-2

P"

102

=3

1-13

1

解之得P12=P21=P31,令Pll=l,得Pl=1

1

41-2

1

当肥二3时的广义特征向量，

102

P22

=3

P22

+1

1-13

A_

|_i

1

解之得P12=P22+1,P22二P32,令P12=l,得P2=0

0

41-2

当人“时

102

=

1-13

0

解之得P13=0zP23=2P33,令P33=lz的Ps=2

1

「11

0_

「010_

故T二

10

2

T~l=

-111

10

1

2-2-1

「310]

故约旦标准型为Z二

"2

7

—

T_1B=

4

9

CT=

-3

-15

-

■310_

_2

7■

030

X+

4

9

U

001

-3-

-15

LAT二030

001

3

2

14'

03

Y=1—10.已知两子系统的传递函数阵叱⑸和光⑸分别为：

1

H〔（s）二s+1

0

1

巴⑸二芍3

S+1

试求两子系统串联连接时系统的传递函数,并讨论所得结果。

解：

两子系统串联联接时,系统的传递函数阵W⑸二吧（S）叱⑸，得

W⑸二

■1

1■

1

■

1

■

1

s2+5s+l

5+3

5+4

54-1

5+2

（5+1）（5+3）

（5+2）（54-3）（5+4）

1

0

0

5+1

1

1

_s+l

s+2.

（5+1/

（5+1）（5+2）

两子系统并联联接时,系统的传递函数阵w⑸二叫（S）+巴（S）,得

W⑸二

■■

11

5+15+2

+

5+35+4

cS+1

1

1c

0

——0

_5+2,

.s+1.

2s+4

（5+1）（5+3）（5+2）（5+4）

15+1

5+15+2

2s+6

串联联接时,由于前环节的输出为后一环节的输入,串联后等

效非线性环节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。

并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。

1-11已知如图1-22（见教材47页）所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

rii]

10

5+1S

o1

W2（s）=

01

5+2.

求系统的闭环传递函数阵。

解：

1+31'

5+15+1

5+1

5+2S

5+25（5+3）

5+3

05+2

05+2

5+1J

5+3

[I+W^S）W2（s）r=

1

■

1

1■

■1

1■

5+1

S

1

U

54-1

S

0

1

0

1

0

1

s+2.

$+2.

叱（$）%（$）=

1

I+W^s）W（$）=/+

5+2

5+1

0

1

■?

5+3

$+2

-.1

w（5）=[/+VV.（$）Wr（5）rW.（5）=——

5+1

5+3

5+2

5+1__

54-1

5（5+3）

1

5+3

5+3

（5+2）（5+1）

0—

5+1

1-12已知差分方程为:

y（k+2）+3y（k+1）+2y（k）=2u（k+1）+3u（k）试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数U的系数b（即控制列阵）为

■"■

f1f0

Q）b=]⑵b=]

解：

由差分方程得传递函数叽沪仝\=二+土

疋+3?

+2z+1z+2

化为并联型：

X（R+1）=1°X（灯+：

u（k）

v—L1

）,（灯=[1止伙）ro11「o]化为能控标准型：

锹点）]2-3严叫/⑹

y伙）=[32]心）

第二章控制系统状态空间表达式的解

2-1试证明同维方阵A和B,当AB=BA时,0訂二严”，而当ABhBA日寸，严・器工严

证明:

由矩阵指数函数eA,=1+At+丄4干+•••+丄人屮十…

2!

k!

可彳导:

严＞=I+（4+B）t+丄（4+3）2尸+丄（人+3）313+...

2!

3!

=I+（A+B）t+丄（才+的+加+庆）t2+…

2!

+-（A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B^）T+…

3!

eA,eBt=（Z+At+—A2t2+丄AY十•…）（/+Bt+丄〃‘亡十丄B’t'十•…）

2!

3!

2!

3!

=/+（A+B）t+丄（A'+A2?

+B4+庆）t2+…

2!

+-（A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B^）/，+・••3!

将以上两个式子相减”得：

（BA-AB）t2±右（BA2+ABA+B~A+BAB-2A2B+2AB2）AV十•…

显然,只有当AB=财时，才有严「■严严二°,即严—严；否则严b八工严•严。

2-2试证本童2.2节中几个特殊矩阵的矩阵扌旨数函数式（2.17）,式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立。

证明：

（1）式（2.17）

由矩阵指数函数m+加十+必+吕必十…

可得:

eA,=I+At+—A2t2+—A3t3+•••

2!

3!

即得证。

（2）式（2.18）

由矩阵指数函数m+加十+必+吕必十…

可知，若存在非奇异变换阵T使得厂曲=A,^]A=TAT~l，且人凡，人…

是特征根可知

艾1昂卅Jt=oK!

T~l=T

即得证。

（3）式（2.19）

Q1、

A10

若4为约旦矩阵，A=J=?

•i

・・1

0A1

由矩阵指数函数eA,=I+At±-A2f+丄A¥+...

2!

3!

（*）/

则A，=

2人

A2

0

1

2人

A2

...0

…0

…0

••.2&

…

fA3

3盂

3入

1

…0

0

V

32;

3&

…0

0

0

A3

3/1；

…0

0

0

0

晋

…0

、0

0

0

0

…巧

将以上所求得的4、…、A”代M）式，令嘗於“则

nA；-1

fU；-2

咗-3...

0'

0

可

MJ2...

0

0

0

碍

咗T...

0

0

•

■

0

•

•

0

•

■

V…

••

0

■

■

■

3

■

0

•

0

••

0...

■

■

第j块的状态转移矩阵:

-ps

J

w-H

••

•

w-H

1

■

f'li二J

w-H

••

1

■

J

Y

•••

•■

■

•

•o

J

CN

J

••

-o

J

o

•♦

•o

J

o

o

••

-o_/

1

z**"

-ps

J

•

•

■

•

ai

■

礼

7£

J

•

•

■

rn

1s

<•.

礼

J

•

•

•

■•

•

•

•*

•V3

■o

J

-r

Xl

rsj

I

J

•<

9

••

-o

O

••

■o

J

<

o

O

••

-o

、、

0」

?

£（m—ls

rll

gl

0（ZL=CO

—Peia—Is

l<

斜

00

—3

I§

00

6—s8.SIbl

■

-el

Id）

8-b—^

H（pI3

b8l>

一：

Tffl

（O0Z）托（寸）

ols

=Z71[（5/-Af1]=严

由欧拉公式得：

严二[cos£yrsm£yr>

\-smcotcoscot

即得证。

（010]

2-3已知矩阵A二oo1

2-54?

试用拉氏反变换法求严。

（与例2・3、