图形的初步认识全章自制简易教案.docx

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图形的初步认识全章自制简易教案

第1课时§4.1生活中的立体图形

新课引入：

我们生活在三维的世界中，随时随地看到的和接触到的物体都是立体的.有些物体，像石头、植物等呈现出极不规则的奇形怪状；同时也有许多物体具有较为规则的形状，如自然界中存在的：

西瓜、桔子、苹果、菠萝等；另外，还有人类创造的：

中国传统建筑、钟楼、埃及金字塔、易拉罐、蛋筒冰淇淋等等.提问：

仔细观察书中图形，我们可以发现这些物体与下面的立体图形相类似.你能找出和下面的立体图形相类似的物体吗?

1、生活中的立体图形

如图4.1.1、图4.1.2所表示的立体图形是柱体；图4.1.3、图4.1.5所表示的立体图形是锥体；而图4.1.4表示的图形则是球体（sphere）.另外，图4.1.1和图4.1.2、图4.1.3和图4.1.5之间还有一定的差别.图4.1.1表示的图形又叫做圆柱（circularcylinder），图4.1.2表示的图形叫做棱柱（prism）；图4.1.3表示的图形称为圆锥（circularcone），图4.1.5表示的图形称为棱锥（pyramid）.

所以，柱体分成圆柱和棱柱，锥体分成圆锥和棱锥。

棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱.....（画图表示）

棱锥也有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥......（画图表示）演示并寻找生活中相类似的实物。

提问：

1、柱体与锥体的区分？

（两底面平行）

2、圆柱与棱柱的区分？

（侧面由曲面或平面（四边形）组成）

3、圆锥与棱锥的区分？

（侧面由曲面或平面（三角形）组成）

2、多面体

围成图4.1.2和图4.1.5等立体图形的面是平的面，像这样的立体图形，又称为多面体.

提问：

多面体的顶点数、面数与棱数之间有什么关系？

提示：

阅读《阅读材料》----欧拉公式：

顶点数＋面数－棱数＝2

练习：

1。

2。

3习题4.1小结：

1、生活中的立体图形

2、柱体、锥体、球之间的区分。

3、柱体与锥体的区分？

4、圆柱与棱柱的区分？

5、圆锥与棱锥的区分？

作业：

课后习题1。

2。

3

第2课时§4.2画立体图形

新课引入：

工人在建造房子之前，首先要看房子的图纸.但在平面上画空间的物体不是一件简单的事，因为必须把它画得从各个方面看都很清楚.为了解决这个问题，创造了三视图法.建筑工程师和工人为了描绘和制造各种物体常常使用这种方法.提问：

什么是三视图法呢?

就是从三个不同的方向看一个物体，一般是从正面、上面和侧面，然后描绘三张所看到的图，即视图（view）.这样就把一个物体转化为平面的图形.

例如，书上图中所示的飞机，是我们从三个方向观察所得到的视图。

它与我们日常生活中所见到的飞机实物有所不同。

又如，修房造屋时，建筑工人不可能首先看到了实物再造；而是先看到图纸，再根据图纸上的平面图形去构造立体图形。

如要做一个水管的三叉接头（如图4.2.1），工人事先看到的不是图4.2.1，而是从正面、上面和左面（或右面）看接头的三个平面图形（如图4.2.2），然后根据这三个图形制造出水管接头.

其中从正面看到的图形，称为正视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看方向不同，有左视图、右视图。

三视图法是画立体图形的一种方法，以后，还可能会学习更多的其他方法.注意：

不管从那个方向观察时，观察方向与实物在同一水平面上，并且从实物中心线出发观察。

所以在正视图中看不到侧面的接口。

例1：

画立体图形和三视图，并归纳各类立体图形的三视图特征。

立体图形名称

立体图形

正视图

俯视图

左视图

特征

球

圆柱

三棱柱

正方体

长方体

圆锥

三棱锥

四棱锥

课堂练习：

1。

2

补充练习：

1、三种视图都是正方形的是什么立体图形？

长方形？

圆？

三角形？

2、侧视图是正方形的是什么立体图形？

长方形？

圆？

三角形？

3、画出如图所示的堆砌物的三视图。

小结：

1、三视图定义与画法

2、各类立体图形的三视图特征

3、方位不同，得到的三视图可能不同。

作业：

课后习题1。

2。

3

2.由视图到立体图形

复习：

1、三视图定义与画法

2、各类立体图形的三视图特征

3、方位不同，得到的三视图可能不同。

新课引入：

现在我们要想做的事情是根据视图来描述物体的形状.让我们先看一些较为简单的、熟悉的物体.例1：

图4.2.9所示的是一些立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称.

（1）

（2）

图4.2.9

分析：

（1）该立体图形是长方体，

（2）该立体图形是圆锥。

注意画图表示。

例2：

图4.2.12是一个物体的三视图，试说出物体的形状.

图4.2.13

分析：

如右图，由堆砌物的三视图，可以以俯视图为基准确定各长方体的方位，再根据正视图或侧视图确定相应位置的长方体的个数。

（图中由正视图确定）

课后练习：

1。

2；课后习题4

§4.3立体图形的表面展开图

演示引入：

我们知道圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形.但在实际生活中常常需要了解整个立体图形展开的形状，如包装一个长方体形状的物体，需要根据其平面展开图来裁剪纸张.我们下面要讨论的是一些简单多面体的平面展开图（net）.演示：

长方体展开成平面图。

并说明多面体可以沿着多面体的棱将它剪开，把多面体变成一个平面图形。

做一做：

准备12个一样大的三边都相等的三角形，用透明胶粘贴成如图4.3.1、图4.3.2、图4.3.3所示的三种形状。

你能想象出哪一个可以折成多面体吗？

（图4.3.1）（图4.3.2）（图4.3.3）上面的图4.3.1实际上是由三棱锥展开而成的平面图形，我们把它叫做三棱锥的平面展开图试一试：

图4.3.4-4.3.7的四个图形是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗?

（图4.3.4）（图4.3.5）（图4.3.6）（图4.3.7）

注意：

同一个立体图形，按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.想想看，图4.3.8-4.3.13的图形都是正方体的展开图吗?

（图4.3.8）（图4.3.9）（图4.3.10）（图4.3.11）（图4.3.12）（图4.3.13）分析：

先用中心位置的正方形确定前面，再依次确定各面。

展开图为一字形、L形或田字形都不能折叠成长方体。

（不是长方体的展开图）

课后练习：

1。

2。

3

分析：

第3小题已确定某一或两面，则按已知面折叠，再确定要求面或其对面。

小结：

1、由三视图如何得到立体图形或堆砌物。

2、立体图形的表面展开图。

3、长方体的表面展开图的确定方法。

哪些类型绝对不是其展开图？

课后习题：

1。

2。

3

§4.4平面图形

复习：

1、由三视图如何得到立体图形或堆砌物。

2、立体图形的表面展开图。

3、长方体的表面展开图的确定方法。

哪些类型绝对不是其展开图？

新课引入：

通过前几节的学习，我们认识到立体图形是由平面图形所围成的，因此研究立体图形往往从平面图形开始.在已有知识的基础上，本节将进一步认识平面图形.

图4.4.1提问：

观察图4.4.1中所示的各物体，你能画出它的表面形状吗?

这里的三角形、长方形和圆是我们早就熟悉的图形.圆（circle）是由曲线围成的封闭图形.而上面的其它四个图形是由线段围成的封闭图形，我们把它叫做多边形（polygon）.按照组成多边形的边的条数，有三角形、四边形、五边形、六边形......等等.

多边形可以分成凸多边形和凹多边形。

如图：

提问：

仔细观察，请你从角的大小或边的延长线去区别凸多边形和凹多边形。

注意：

凸多边形的每一个内角的度数都小于平角，凹多边形至少有一个内角的度数大于平角；凸多边形的每一条边的延长线都在多边形外，凹多边形至少有一条边的延长线在多边形内部。

我们学习的一般都是凸多边形。

想一想:

下面的几个图形是多边形吗?

图4.4.4所示的图形中有几个四边形?

多边形的分割

在多边形中，三角形是最基本的图形.如下图所示，每一个多边形都可以分割成几个三角形.

提问：

①从一个n边形的顶点出发的对角线可以将多边形分割成几个三角形？

②除了从一个顶点出发外，你还有什么可分割的方法吗？

如下图所示。

试一试：

①生活中经常看到由一些多边形或圆组成的优美图案.图4.4.6-4.4.9是一些布料和旗帜的照片，在照片上找一找你已熟悉的平面图形.

图4.4.6图4.4.7图4.4.8图4.4.9图4.4.6由长方形和正方形组成；图4.4.7由三角形和五边形组成；图4.4.8由正方形和六边形组成；图4.4.9由长方形、六边形和八边形组成.②不少国家、团体或公司的标志都是由简单图形组合而成，如图4.4.10所示，是找出其中的简单图形。

图4.4.10

课后练习：

1。

2。

3

小结：

1.多边形与圆的定义。

2．多边形的分类，怎样区分凸多边形和凹多边形？

3．多边形的分割及方法？

4．生活中的平面图形都是由简单图形组合而成，它们主要是些什么图形？

作业：

课后习题：

1。

2。

3与阅读《阅读材料》

§4.5最基本的图形——点和线

1.点与线段

通过前面的学习，大家一定会感叹，生活中有那么多奇妙的图形！

其实不管是什么样的图形，它都是由一些基本的图形构成的.下面先看两个最基本的图形.点（point）通常表示一个物体的位置.例如，在交通图上用点来表示城市的位置；报纸上的图画和照片、电视屏幕上的画面也是有点组成的。

在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿，人行横道线都给我们以线段（linesegment）的形象.我们可以用图4.5.1的方式来表示点和线段.

图4.5.1试一试如图4.5.2，从A地到B地有三条路径，你会选择哪一条?

图4.5.2

在实际的情况中，我们都希望走的路越短越好，当然选择笔直的路线.这条路线就是线段AB.这也就是我们平时所说的，两点之间，直线段最短.

此时线段AB的长度，就是AB两点间的距离.做一做：

请量出图4.5.3中，北京、天津、上海、重庆和乌鲁木齐五个城市两两之间的大致距离（图中的1厘米相当于1000千米）看看哪两个城市相距最远？

把线段向一方无限延伸所形成的图形（如图4.5.4）叫做射线（ray）.

图4.5.4手电筒的光线和激光灯的光束（图4.5.5），也就是一种射线的形象.

图4.5.5把线段向两方无限延伸所形成的图形（如图4.5.6）就是直线line,（Straightline）.

图4.5.6试一试：

在纸上画出一点A和一点B，过A点你能能画出几条直线?

经过A、B两点画直线，你又可以画几条?

通过试一试你是否得到了这样的结论：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

练习

1.要在墙上钉牢一根木条，至少要钉几颗钉子?

为什么?

2.请举出生活中运用“两点之间，线段最短”的几个例子.

2.线段的长短比较

记得你和同学是怎么比个子高矮的吗?

可能大家通常会有两种办法：

要么让两人都说出自己的高度，对比一下；要么让两人背对背地站在同一块平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮，而且这第二种方法更为实用.

两条线段也可以通过类似的两种方法来比较它们的长短.对于图4.5.8中的线段AB、CD，我们用刻度尺量一下，那么就可以知道它们谁长谁短了.

图4.5.8

如果AB比CD短，我们可以很简单的记为

ABAB）.比较两条线段的长短，第二种方法与比个子高矮一样，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去加以比较.如图4.5.9，将线段AB放到线段CD上，点A和C放在一起，线段AB与线段CD叠合.这样从图中我们就可以直接看出线段AB比CD短，也就是AB

图4.5.9

在图4.5.10中，点C是线段AB的中点.AB=4cm,那么AC=CB=2（cm），AC+CB=AB=4（cm）.

图4.5.10

又如图4.5.11，AB=6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，那么AD有多长呢?

图4.5.11

把一条险段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

做一做

在一张纸上任意画一条线段，折叠纸片，使这条线段的两个端点重合在一起，那么折痕与线段的交点就是线段的中点.

练习

1.如图，做两个三角形纸片，用折纸的方法比较线段AB与线段AC的长短.

（第1题）

2.观察下列三组图形，分别比较线段的长短.再用直尺量一下，看看你的观察结果是否正确.

读一读：

十七世纪法国数学家费尔玛提出了一个“光行最短原理”.即“光线由A点到B点的路线，是所有路线中距离最短的路线”.光线可以在各种错综复杂的环境中找到“最短的路线”.所以光线被某一物体所阻挡时，这一部分光线就射不过去了，相应地在障碍物后面便形成了一个“影子”.在太阳光的照射下，房屋、树木或你自身都会在地上投出影子.

人们在观察周围事物时，会存在一些人无法观察到的区域——盲区，即人的视线无法到达的地方，其中的原因应与光线是一样的。

习题4.51.直线l上有一个点，在直线l上以这个点为端点的不同射线共有多少条?

2.如图，有A、B、C，O四个点，分别画出以O点为端点，经过A、B、C各点的射线，并分别用字母表示.想一想，图中可以画出几条射线?

线段?

直线?

指出其中最长的一条线段.

（第2题）3.画出长度为5cm的线段AB,并用刻度尺找出它的中点.

4.在一条直线上顺次取A、B、C三点，使AB=5cm,BC=2cm，并且取线段AC的中点O，求线段OB的长.5.读下列语句，并画出图形：

（1）点A在直线l上，点B在直线l外：

（2）在纸上任意画一点P，过点P画直线PQ；（3）在纸上任意画A、B两点，过A、B两点画直线；（4）在纸上任意画A、B、C三点，过A、C两点画直线l.又问此时点B是否一定在这一条直线上?

§4.6角

1.角

观察下面的图形，你发现什么共同的特点吗?

这些图形都给了我们角的形象.在小学里，我们以学习过角（angle）的概念。

角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

郊野可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（如图4.6.2）.射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.

图4.6.2角有以下几种表示方法（如图4.6.3）

图4.6.3

在图4.6.4中可以观察到两种特殊情况：

第一种情况是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角（straightangle）；第二种情况是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角（perigon）.

图4.6.4

我们已经知道如果把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°.但是一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位.把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1".这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系：

1°=60′，1′=60"例1

（1）把18°15′化为用度表示的角.

（2）把93.2°化成用度、分、秒表示的角。

解

（1）先把15′化成度，即

15′=（15/60）°=0.25°，

所以18°15′=18.25°

还记得图4.6.5八个方向吗?

但在日常生活中，八个方向是不够用的，这只是一种大致的方向.如果要准确地表示方向，那就要借用角度的表示方式

图4.6.5

例2如图4.6.6，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：

图4.6.6

（1）南偏东25°；

（2）北偏西60°；解如图4.6.7所示。

图4.6.7

（1）以正南方向的射线为始边，向东方向旋转25°所成的角，即为所求.

（2）以正北方向的射线为始边，向西方向旋转60°所成的角，即为所求.

练习

1.由图4.6.6填空：

（1）正东和正西方向所成的角是_______度；

（2）正南和西南方向所成的角是_______度；（3）西北和东北方向所成的角是_______度；（4）正西和东南方向所成的角是_______度；2.只用一根直尺作出等于30°、45°、60°、120°的角.随后用量角器测一测，

比一比谁最为接近.3.请估计下面角的大小，然后再用量角器测量.

2.角的比较和运算

角是有大小的，如何比较两个角的大小呢?

观察如图4.6.7的三个角，哪一个最大?

图4.6.7

从上图我们可以发现，∠DEF明显比∠AOB和∠CBA小，但∠AOB和∠CBA的大小关系不太明显.如果想得到准确的结果的话，可以采用下面的方法：

图4.6.8

如图4.6.9所示，把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，这两个角的另一边都在这一条边的同侧。

这时，角的大小关系就比较明显了，可以简单的记为

∠AOB>∠DEF，或∠DEF<∠AOB.

比较角的大小，也可以用两脚曲分别量出角的度数，然后加以比较。

如我们用量角器可以量出图4.6.8种三个角的度数分别为

∠AOB=60°30′，∠DEF=36°，∠CGH=65°，

所以∠CGH＞∠AOB＞∠DEF

一副三角板上的角是一些常用的角，除了可以用它们直接作出30°、45°、60°和90°的角之外，还可以作出其它一些特殊的角.

想一想：

如图4.6.10所示，用两种方法放置一副三角板，可以画出75°和15°的角.

图4.6.10

我们可以对角进行简单的加减运算，如：

（1）34°34′+21°51′=55°85′=56°25′

（2）180°-52°31′=179°60′-52°31′=127°29′做一做：

用量角器和直尺在纸上画一个角∠AOB=84°，如图4.6.10，然后沿O点对折，使边OB和OA重合，那么这条折痕把这个角分成了大小相等的两部分.

图4.6.13

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

练习

1.先观察下列各对角,其中哪一个角较大?

然后用量角器量一量各对角.看看你的观察结果是否正确.

（1）

（2）2.请用三角板中各角来估计下列角的度数，并按大小次序用“>”符号连结这四个角.

3.角的特殊关系

在我们所用的三角板中，有一个角是90°，其它两个角，一块是30°与60°，另一块都是45°，它们的和都是90°.在图4.6.11中，用量角器量一量如下两组图中各角的大小，发现也有这样的特殊关系.

（1）

（2）图4.6.14

两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余（complementaryangle）.另外，如果∠1+∠2=90°，也可以说∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.如果两个角互余，把两个角粘在一起的话，就构成一个直角.如图4.6.12

图4.6.15同样，如果两个角的和等于一平角（180°），就说这两个角互为补角，简称互补（supplementaryangle）.

图4.6.16

如图4.6.16，∠3+∠4=180°，所以∠3，∠4互为补角.∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角例3已知∠α=50°17'，求∠α的余角和补角.

解：

∠α的余角=90°-50°17'=39°43'，

∠α的补角=180°-50°17'=129°43'，

两直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4（如图4.6.14），我们把其中的∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角.

图4.6.14

例4在图4.6.18中，∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度?

解

图4.6.15因为　∠2=180°-∠1=180°-30°=150°，∠3=180°-∠2=180°-150°=30°，∠4=180°-∠3=180°-30°=150°，由这一例，我们可以发现　　∠1=∠3，∠2=∠4.其实，任意两个对顶角，由于它们都有一个相同的补角，如上图中∠1和∠3都和∠2互补，所以它们是相等的.这也可以简单的说成：

对顶角相等.

练习1.已知∠AOB，用直尺和量角器画出∠AOB的余角，∠AOB的补角及∠AOB的角平分线.

（第1题）

2.说出下列各图中的对顶角

（第2题）

3.有两堵围墙OA、OB，有人想测量地面上所形成的角∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?

（第3题）

习题4.6

1.填空：

（1）77°42＇+34°45＇=；

（2）108°18＇-56°23＇=；（3）180°-（34°54＇+21°33＇）=.2.时钟的分针，1分钟转了度的角，1小时转了度的角.3.如图，如果∠1=65°15＇，∠2=78°30＇，∠3是多少度?

（第3题）

4.任意画一个∠AOB，在∠AOB的内部引射线OC、OD，这时图中共有几个角?

分别把它们表示出来.5.两个相等的钝角有一个公共顶点和一条公共边，并且角的其它两边所成的角为90°，画出该图形，并求出钝角的大小.6.如图，OA表示北偏东40°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线

（1）北偏东60°

（2）北偏西70°

（3）东北方向（即北偏东45°）7.72°20'的角的余角等于；25°31'的角的补角等于.8.在图中，EF，EG分别示∠AEB、∠BEC的平分线，求∠GEF的度数和∠BEF的余角.

（第8题）

§4.7相交线

1．垂线

我们已经知道两条直线相交，只有一个交点（intersectionPoint）。

例如，在图4.7.1中，直线AB与直线CD相交，交点为O。

可以说成“直线AB、CD相交于点O”。

图4.7.1图4.7.2

我们将图4.7.1中的直线CD绕着点O旋转成图4.7.2，当所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB、CD互相垂直（perpendicular），记作“AB⊥CD”，他们的交点O叫做垂足。

在日常生活中，我们经常可以看到互相垂直的直线（如图4.7.3）。

试一试：

经过直线AB外一点P，按图4.7.4所示的方法，画出垂直于直线AB的直线吗？

这样的垂线能画多少条呢？

图4.7.4

在同一平面内，你能经过直线AB上一点P（如图4.7.5），画出垂直于直线AB的直线吗？

这样的垂线能画多少条呢？

图4.7.5

由上述操作可以看到：

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

在图4.7.6所示的方格纸中，AB与直线BC垂直。

点A与直线BC上各点的距离长短不一，我们可以发现其中最短的应该是线段AB。

线段AB的长度就是点A到直线BC的距离。

请量一量线段AB的长度。

图4.7.6

做一做：

如图4.7.7，按下述口令画出图形：

将位于图中点A处的小海龟向前前进3格，然后向右转90°，前进5格，然后向左转90°，前进3格，然后向左转90°，前进6格，再向右转90°，后退6格，再向右转90°，前进1格。

用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形。

图4.7.7

练习

1．如图，∠ABD=90°。

（1）点B在直线上，点D在直线外；

（2）直线与直线相交于点A，点D是直线与直线的交点，也是直线与直线的交点，又是直线与直线的交点；

（3）直线⊥直线，垂足为点；

（4）过点D有且只有条直线与直线AC垂直。

2．在如图所示的各个三角形中，分别画出AB边上的高，并量出三角形顶点C到直