空间几何体的三视图与直观图.docx
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空间几何体的三视图与直观图
§1.2空间几何体的三视图和直观图
§1.2.1中心投影与平行投影
§1.2.2空间几何体的三视图
一、教材分析
在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：
画出空间几何体的三视图.
比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视.
画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”.
教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.
三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.
值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能
（2）丰富学生的空间想象力
2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感、态度与价值观
（1）提高学生空间想象力
（2）体会三视图的作用
三、重点难点
教学重点：
画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征.
教学难点：
识别三视图所表示的几何体.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体？
工程师如何制作工程设计图纸？
我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图.
教师指出课题：
投影和三视图.
思路2.
“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
教师点出课题：
投影和三视图.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的?
图1
②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?
③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？
图2
④图2
（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？
⑤观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别？
图3
活动：
①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片.
②从投影的形成过程来定义.
③从投影方向上来区别这三种投影.
④根据投影线与投影面是否垂直来区别.
⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点.
讨论结果：
①这种现象我们把它称为是投影.
②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕.
③图2
（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图2
（2）和（3）的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影.
④图2
（2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图2（3）中，投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影.
⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形.以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图.
知识归纳：
投影的分类如图4所示.
图4
提出问题
①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分？
②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？
③一般地，怎样排列三视图？
④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗？
讨论结果：
①三视图包含正视图、侧视图和俯视图.
②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视图）；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图）；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图.
③三视图的位置关系：
一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下边.如图5所示.
图5
④投影规律：
（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.
（2）一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，即正、俯视图——长对正；主、侧视图——高平齐；俯、侧视图——宽相等.
画组合体的三视图时要注意的问题：
（1）要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可能不同.
（2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置.
（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出.
（4）要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等，前后对应.
由三视图还原为实物图时要注意的问题：
我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图.
（三）应用示例
思路1
例1画出圆柱和圆锥的三视图.
活动：
学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成.
解：
图6
（1）是圆柱的三视图，图6
（2）是圆锥的三视图.
（1）
（2）
图6
点评：
本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图（几何体的实物图）和画图（三视图）相结合.
变式训练
说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.
（1）
（2）
图7
答案：
图7
（1）是正六棱锥；图7
（2）是两个相同的圆台组成的组合体.
例2试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图.
活动：
引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器，这种容器是简单的组合体，其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱.
图8图9
解：
三视图如图9所示.
点评：
本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.
变式训练
画出图10所示的几何体的三视图.
图10图11
答案：
三视图如图11所示.
思路2
例1（2007安徽淮南高三第一次模拟，文16）如图12甲所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图12乙中的____________.
甲乙
图12
活动：
要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.
分析：
在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图12乙
（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图12乙
（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图12乙（3）.
答案：
（1）
（2）（3）
点评：
本题主要考查平行投影和空间想象能力.画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.
变式训练
如图13
（1）所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图13
（2）的___________.
（1）
（2）
图13
分析：
四边形BFD′E在正方体ABCD—A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是C；在面DCC′D′上的投影是B；同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是B.
答案：
BC
例2（2007广东惠州第二次调研，文2）如图14所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）
甲乙丙
图14
①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱
A.④③②B.②①③C.①②③D.③②④
分析：
由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是三角形，则丙是圆锥.
答案：
A
点评：
本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征.根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体.通常是先根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.
变式训练
1.图15是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状.
图15图16
分析：
由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体.
答案：
上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图16所示.
2.（2007山东高考，理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
图17
A.①②B.①③C.①④D.②④
分析：
正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C.
答案：
D
点评：
虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题.
（四）知能训练
1.下列各项不属于三视图的是（）
A.正视图B.侧视图C.后视图D.俯视图
分析：
根据三视图的规定，后视图不属于三视图.
答案：
C
2.两条相交直线的平行投影是（）
A.两条相交直线B.一条直线
C.两条平行直线D.两条相交直线或一条直线
图18
分析：
借助于长方体模型来判断，如图18所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射.则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.
答案：
D
3.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，如图19所示.甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（）
图19
A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
分析：
由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以知道这四人的位置如图20所示，由此可得甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边.
图20
答案：
D
4.（2007广东汕头模拟，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（）
A.棱锥B.棱柱C.圆锥D.圆柱
分析：
由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又因正视图与侧视图均为全等的等边三角形，则该几何体是圆锥.
答案：
C
5.（2007山东青岛高三期末统考，文5）某几何体的三视图如图21所示，那么这个几何体是（）
图21
A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台
分析：
由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥.
答案：
B
6.（2007山东济宁期末统考，文5）用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图22所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（）
图22
A.8B.7C.6D.5
分析：
由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体.
答案：
C
7.画出图23所示正四棱锥的三视图.
图23
分析：
正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四棱锥的四条侧棱.
答案：
正四棱锥的三视图如图24.
图24
（五）拓展提升
问题：
用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图25所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数.
（1）你能确定哪些字母表示的数？
（2）该几何体可能有多少种不同的形状？
图25
分析：
解决本题的关键在于观察正视图、俯视图，利用三视图规则中的“在三视图中，每个视图都反映物体两个方向的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸”.又“正视图与俯视图长对正,正视图与侧视图高平齐,俯视图与侧视图宽相等”,所以，我们可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值为2.
解：
（1）面对数个小立方体组成的几何体，根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结论：
①a=3,b=1,c=1;
②d,e,f中的最大值为2.
所以上述字母中我们可以确定的是a=3,b=1,c=1.
（2）当d,e,f中有一个是2时，有3种不同的形状；
当d,e,f有两个是2时，有3种不同的形状；
当d,e,f都是2时，有一种形状.
所以该几何体可能有7种不同的形状.
（六）课堂小结
本节课学习了：
1.中心投影和平行投影.
2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律.
3.由三视图判断原几何体的结构特征.
（七）作业
习题1.2A组第1、2题.
§1.2.3空间几何体的直观图
一、教材分析
“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础.因此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤.在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法.
值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.
（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.
2．过程与方法
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.
3．情感态度与价值观
（1）提高空间想象力与直观感受.
（2）体会对比在学习中的作用.
（3）感受几何作图在生产活动中的应用.
三、重点难点
教学重点：
用斜二测画法画空间几何体的直观图.
教学难点：
直观图和三视图的互化.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？
教师指出课题：
直观图.
思路2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？
②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.
③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？
并总结画几何体的直观图的步骤.
活动：
①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师及时给予点评.
②根据上述画法来归纳.
③让学生比较两种画法的步骤.
讨论结果：
①画法：
1°如图1
（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1
（2）中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.
2°在图1
（2）中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=
MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.
3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1（3）〕.
图1
②步骤是：
1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面.
2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
③画法：
1°画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
图2
2°画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=
cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.
点评：
画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感.
④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是：
1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°.
2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
斜二测画法的作图技巧:
1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.
2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.
3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.
（三）应用示例
思路1
例1用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.
活动：
学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师适当点评.
解：
（1）如图3
（1），在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，将线段ABn等分.过各分点分别作y轴的平行线，交⊙O于E，F，G，H，…，画对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°.
图3
（2）如图3
（2），以O′为中点，在x′轴上取A′B′=AB，在y′轴上取C′D′=
CD，将A′B′n等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′=
G′H′=
，….
（3）用光滑曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E
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