几何直观.docx

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几何直观

什么是几何直观

——对几何直观的认识与思考（七）

关于几何直观，课标在第一部分前言的“课程设计思路”中描述了其定义，阐发了其价值与作用：

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数

学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

可以说，这段话是目前理解几何直观的最重要依据。

数学课程标准（2011版）解读第92页—95页对几何直观的认识中指出：

几何直观，顾名思义，所指有两点：

一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直

接看到的东西，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起

来，它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。

用最通俗的话说几何直观，它不仅是看到了什么?

而是通过看到的图形思考到了什么?

想象到了什么?

直白点就是看图想事，看图说理，也包括想图、画图、表达想法。

利几何直观在小学数学中的运用

2011年版课标指出：

“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

”教师在理解几何直观的过程中，要注意以下几个问题：

第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。

这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。

因此，几何直观对学生而言是一种有效的学

习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。

第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯

形、圆以及线段、直线、射线等。

几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，

而且可以是数学问题。

第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：

一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于

帮助学生直观地理解数学。

因此，教师要善于在教学中利用几何直观，将复杂、抽象的问题变得简明、形象，帮助学生

探索解决问题的思路，帮助学生直观地理解数学。

如在教学“数的认识”时，教师要帮助学生利用圆形、三角形、正方形或长方形等纸片，直观理解数量和数的意义；在教学“解决复杂数量关系的问题”时，要善于利用线段图等描述和分析问题中的数量关系；在解决“鸡兔同笼”等问题时，要重视通过列表分析解决问题；在探索事件发生的变化规律时，要重视利用统计图表帮助学生直观感受事件发生的变化规律并预测结果；在探索函数关系的变化规律时，要重视利用表格、图像进行描述和分析等。

用图形进行数学的思考和想象。

几何直观在小学数学中的运用

2011年版课标指出：

“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

”教师在理解几何直观的过程中，要注意以下几个问题：

第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。

这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。

因此，几何直观对学生而言是一种有效的学

习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。

第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯

形、圆以及线段、直线、射线等。

几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，

而且可以是数学问题。

第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：

一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于

帮助学生直观地理解数学。

因此，教师要善于在教学中利用几何直观，将复杂、抽象的问题变得简明、形象，帮助学生

探索解决问题的思路，帮助学生直观地理解数学。

如在教学“数的认识”时，教师要帮助学生利用圆形、三角形、正方形或长方形等纸片，直观理解数量和数的意义；在教学“解决复杂数量关系的问题”时，要善于利用线段图等描述和分析问题中的数量关系；在解决“鸡兔同笼”等问题时，要重视通过列表分析解决问题；在探索事件发生的变化规律时，要重视利用统计图表帮助学生直观感受事件发生的变化规律并预测结果；在探索函数关系的变化规律时，要重视利用表格、图像进行描述和分析等。

几何直观在小学数学教学中的运用

小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。

几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。

（一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系

“在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。

”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分

类变得简单明了。

比如俞止强老师的讲座中提到这样个例子:

生说自然数就像条射线，它们都有个起点，没有终点，可以无限延长。

这位学生惊人的发现无不体现了知识间是相通的，

把代数中的自然数概念和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。

（二）以图促思—渗透数形结合思想

“数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。

小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。

通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单

化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。

利用直观的图形，学生能积极地思考图中正方形的面积的变化和算式之间的联系。

在此

基础上用数学式子表达它的规律。

从而发现;n个奇数相加的和等于n×n;再如，教学“连除两步计算问题”时，学校图书室买来200本新书，放在2个书架上，每个书架有4层。

平均每层放了多少本书?

最初可以出示书架的实物模刑，逐步用长方形的图示代替来说明解决问题

的过程。

①先算每个书架放了几本?

②先算两个书架共有几层?

③先算两个书架的一层共放几本书?

以数形结合的方式帮助学生感悟用连除两步计算解决问题的数学本质。

借助“形”的直观，能促进小学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，有机渗透数形结合是一种重要的数学思想。

（三）以图求解—有助于数学方法的再创造

直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。

通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探

求数学问题开辟了条重要的途径。

直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。

借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

培养几何能力的教学思考

《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》提出：

在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。

几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

《普通高中数学课程标准》也提出要培养和发展学生的几何直观能力以及

借助几何直观进行推理论证的能力。

几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。

在小学数学教学中，教师应该选择适当的教学内容，培养学生几何直观的能力。

一、对几何直观的本质把握

数学家克莱因认为：

“数学的直观是对概念、证明的直接把握”。

蒋文蔚先生指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。

（《数学教育学报》，1997年第4期）徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联

想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。

换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。

这些数学家对直观包括几何直观下了定义。

综合这些定义，我们认为直观要体现两点：

一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联。

直观是一种感知，一种有洞察力的定势。

几何直观是利用图形洞察问题本质的一种方式，既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点。

二、培养几何直观能力的教学方法

在小学数学中培养学生的几何直观能力，要先从直观教学开始，引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行合情转换，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化。

1.重视直观感知，突出画图策略的教学。

苏教版四年级（下册）《解决问题的策略》主要教学用画直观示意图的方法解决有关面积计算的实际问题。

在教学面积计算的问题时，关键要使学生想到画图、正确画图、用图分析和体验画图解决问题的好处。

首先可以向学生呈现纯文字的例题，面对比较复杂的数学问题，

引导学生想到用画图的方法整理条件和问题。

接着鼓励学生尝试画草图，让学生的思维集中于用画图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图，使学生感受到画图能清楚地理解题意。

然后借助示意图分析数量关系，明确先求什么，再求什么，列式解答后，要

再结合算式和图说说解题思路。

最后反思整个解题的过程，突出示意图对解决这个数学问题的重要作用，感受画图策略的价值。

“试一试”和“想想做做”的题目与例题相比有一定变化，

解决这些问题后，要引导学生思考：

“不画图能准确解决这些问题吗？

画图时要注意什么？

”加深学生对应用画图策略价值的直观体验。

在小学数学教学中，要重视直观化的教学手段，通过画图（线段图、面积图、示意图等）将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。

例如：

教学计算题：

1+3+5+7++99=（）时，可以设计两个教学层次：

第一层次，鼓励学生尝试解答，学生

一般会按照等差数列求和的方法进行计算；第二层次，教师介绍画正方形点阵图表示题目的意思，并引导学生看着图，寻找算式与点阵图之间的关系，从中发现规律，得出1+3+5+7++99=502=2500。

最后，回顾解题过程，使学生体会到，解决复杂问题时，可

以换个思路，借助直观图，把复杂的数学问题变得简单，从而找到解决问题的方法。

2.重视直观图形与数学符号的合情转换。

教学苏教版六年级（下册）《正比例的意义》，在学生认识正比例的意义后，教材安排了正比

例图像的初步认识，借助直观的图像，帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律，为以后的学习作适当孕伏。

教学时，根据例1表中的数据，先引导学生用“描点法”画出一幅表示正比例关系的图像。

在描点的过程中，引导学生把所描出的点与表中的数据相对照，让学生初步理解图像上各点所表示的实际意义，即每个点都表示路程和时间的一组相对应的数值。

再通过观察，使学生发现所描出的这些点正好在一条直线上，清楚地认识正比例图像的特点，

并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小的变化规律，理解正比例的意义。

画出图像后，让学生根据图像来判断行驶路程和时间，进一步认识图像上任意一点所表示的实际

意义，初步体会正比例图像的实际应用。

通过正比例图像与正比例关系式的转换，加深对正比例意义的理解，为今后进一步学习函数知识打下初步的基础。

再如，教学《用假设的策略解决实际问题》时，可以提示学生根据自己的假设画出示意图，

并根据画出的图分析假设后乘船人数的变化以及产生这种变化的原因，引导学生根据数量发生的变化及时进行调整，推算出每种船的只数，最后进行检验。

这一解决问题的过程就涉及直观图与算式的转换，学生借助直观图，抽象出解题思路：

假设—比较—调整—检验。

在培养学生几何直观能力的教学中，可以通过直观图像与数学符号的互相转换，引导学生逐步学会利用图形描述和分析数学问题。

3.重视数与形的结合。

苏教版六年级（下册）安排了《用转化的策略解决实际问题》。

例1之后的“试一试”是一个有关计算的问题，给出的算式是有规律的：

几个分数的分子都是1，分母分别是2、4、8、16，要计算出这几个分数连加的和是多少。

为了启发学生运用转化的策略，培养学生初步

的几何直观能力，教材呈现了直观图，用大正方形表示1，用正方形中的相关部分分别表示每个分数，整个图形中的涂色部分表示这些加数的和。

同时，教材还提示学生“看图想一想，可以把这个算式转化成怎样的算式计算。

”

实际教学时，可以分三个层次进行教学，在解决问题的过程中培养几何直观能力。

第一层次：

指导看图，学会转化。

呈现算式后，教师可以给学生一些思考的时间和空间，学生一般会应

用通分的方法，转化成同分母分数进行计算。

这时，教师可以鼓励学生思考其他的方法，当学生思维受阻时，出示直观图，先结合各个分数理解直观图中各部分的意义，再启发学生将其转化为1-1/16进行计算。

第二层次：

适当拓展，突出直观。

教师将算式拓展到1+1/2+1/4+1/8++1/128，要求学生选择上面的方法进行计算，学生一般会根据画直观图

的方法，将算式转化为1－1/128进行计算。

这时，教师要引导学生思考：

为什么喜欢用画

直观图的方法？

使学生体会到数与形的完美结合，可以帮助我们将复杂的算式转化成简单的算式进行计算。

第三层次：

深度思考，强化直观。

教师可以启发学生观察分母的特点：

分母

分别是2、2个2相乘、3个2相乘、4个2相乘在直观图上先把正方形平均分成2份，

取其中的1份；再把剩下的图形平均分成2份，取其中的1份最后分出的图形与剩下的图形相等，借助直观图，要求涂色部分的大小，只要用单位“1”减去剩下图形的大小。

在应用转化策略解决问题的同时，巧妙借助几何直观，把复杂的计算问题转化成简单的计算问题，可以培养学生初步的几何直观能力。

4．将几何直观能力的培养自觉融入相应的教学过程之中。

在教学中，教师可以根据教学内容，适当安排几何直观的教学。

例如，三年级教学“平均数”时，可以利用条形统计图，直观理解移多补少的方法，理解平均数的意义。

高年级可以补充一些关于“平均数”的问题，如，小明前三次数学考试的平均成绩是93分，第四次数学考试

的成绩比四次数学考试的平均成绩高3分，小明第四次数学考试的成绩是多少分？

组织教

学时，教师可以根据平均数的意义，通过画面积图帮助学生学会用移多补少的方法解决一些复杂的平均问题，突出直观图在解决数学问题中的作用。

根据平均数的意义，阴影部分面积相等，所以第四次考试成绩是：

3×1÷3＝1（分），93＋1

＋3＝97（分）。

当然，在进行几何直观的教学中，离不开合情推理和演绎推理。

在利用直观图解决数学问题时，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。

几

何直观的培养应伴随推理能力的发展，贯穿在整个小学数学学习过程中。

如何在小学数学教学中培养学生的空间观念

关键词：

空间观念；几何知识；教学；几何图形变式

新课标指出：

“空间观念是一种自觉地感受空间图形、运用空间图形的意识和能力”.其主要表现在：

实物的形状与几何图形之间的想象；复杂图形的分解；描述实物或几何图形的运动、变化和位置的关系；运用图形描述问题、利用图形直观来进行思考等.在初中几何的教学中，教师不仅要重视学生“合情推理”的逻辑思维能力，更应该重视空间观念的培养。

本文就如何在教学中培养学生的空间观念浅谈几点。

一、从建立表象到再造想象，再从再造想象到创造想象.1.运用感性材料，建立表象

空间观念指的是物体的大小、形状、方向、距离在人脑中留下的既直觉又有一些概括性的形象。

表象是具有感知的形象在头脑中的保持，它是具体感知向概念、思维过渡的重要环节。

没有形成清晰的表象就不能很好地进行思维活动，没有丰富的表象储备，表象的重新组合或再造而产生新的表象的过程将会困难，培养初步的空间想象能力也就无从说起。

小学教材的几何知识（系统学习时）的安排是：

线→面→体，即一维空间→二维空间→三维空间；从图形来说是简单单一→复杂组合；从计算来说是长度→面积→体积.无论哪一方面，都是以大量表象的内化，形象思维活动向抽象思维活动转化，揭示出概念的本质属性而得到概念，形成初步的空间想象能力，发展思维的。

小学生从对几何形体的感知中获得了印象，并保留在头脑中成为表象。

表象的重新组合或再造的心理过程，是学生空间概念的重要基础。

教学中应注意以下两个方面：

第一、重视启蒙阶段对几何图形的观察。

通常教材中几何知识是结合认数与计算编排的，一年级集合认数出现了三角形、正方形、立方形以及圆等图形和直观教具，出现这些图形不仅

仅只是为了认数，同时也是为了培养学生初步空间观念。

一年级有这么一个习题：

要求学生在下图中找三角形、圆形、正方形的个数，这个集合图里的图形，排列杂乱，大小不一，既

有标准图形，又有变式图形。

这时要好好指导学生观察，然后让学生分类找出，从而使学生初步建立起三角形、正方形、圆形等的表象。

第二、充分利用几何直观教具。

在教几何图形时，一定要充分运用几何图形的直观教具，让学生仔细观察。

使其感知并获得具体鲜明的形象，形成图形的表象；另一方面，表象常常是概括了许多感知形象的，所以表象又具有概括性特征。

例如：

学生对三角形的知觉，可在认识角的大小、边的长短、三边上的高、内角和、稳定性、对称性等的同时，出示各种不同类

型的三角图形、模型等直观教具，让学生亲手量一量、画一画、拼一拼，使学生建立起一个

完整的三角形表象，并为建立三角形概念完成过渡。

2.创造条件，形成再造想象

表象的重新组合、成为新的表象，就是想象。

如果这种想象是根据别人的语言文字描述或图形、模型想出来的，这种想象就是再造想象。

再造想象在培养学生初步空间概念中具有重要意义。

第一、通过实际操作，促进学生想象。

动手操作可以丰富学生的感性认识.在操作过程中，

引导学生观察、比较、分析、综合，发展他们的思维能力。

生理学研究表明：

双手动作时，

在脑与手之间，信息通过两条双向的通道高速地传导着。

在手脑并用时，大脑的创造性有关区域受刺激而活跃起来，手使脑的功能得到发展，脑使手的技能得到训练。

在操作中，操作的顺序性又可促使语言的条理化、完整化，同时使思维得到发展。

如长方体、正方体的表面积和体积两个概念，学生往往容易混淆，我们除了把长方体、正方体的六个面展开，说明这六个面的总面积就是表面积外，还应把长方体、正方体摆在讲桌上，看所占空间的大小，说明这就是体积：

然后让学生自己动手做一个长方体和正方体的纸盒，

看看要多少硬纸盒，这两种纸盒各有多大。

这样做，学生不仅仅兴趣浓，而且促进了想象。

第二、渗透几何思想，丰富学生想象。

如讲完梯形之后，我们对四边形先进行归类复习，可

运用让学生边想边填图的方式，从而渗透正方形集合是长方形集合的子集合，长方形集合又是平行四边形的子集合，平行四边形集合和梯形集合又是四边形集合的子集合的集合思想。

通过这样的复习和填图，学生对四边形就能建立起一个概念系统，这样的想象就更丰富、更全面了。

3.积极引导，培养创造想象

创造想象是新表象的创造，小学生学习的初步的几何知识，也需要创造想象。

教学中，一定要积极引导，培养学生的创造想象力，以促进初步空间观念的迅速形成。

首先要培养学生具有独立思想的自觉性。

如：

我们在教完梯形的面积之后，要学生计算做一个加料斗要用多少铁板。

学生的立体图形知识很贫乏，虽有一图，但看不懂，也想象不出这是一个什么样的形状，这时，教师应拿出一个加料斗模型让学生观察，然后让学生用硬纸做一个加料斗，再让学生独自想一想。

计算做这个加料斗要多少材料的关键是什么？

学生通过

看、做、想，逐渐懂得它是由四块相等的梯形组成的。

因此。

求出四个相等梯形繁荣面积，

就是整个加料斗所需的材料了。

其次要鼓励学生敢于进行捏造性想象。

如圆面积求法，教材上采用了分割成16块相等的扇面，拼成近似长方形，推导出“圆面积=”这一公式。

如果把每一个扇形不断地分割下去，弧

越来越短，会变成什么形状呢？

让学生大胆想象，学生就会提出把圆分成近似三角形来推导圆面积，这个推导方法就是一种“创造性”的思想过程。

二、利用几何图形变式在培养空间观念中的运用。

1．操作，感悟几何元素的位置关系让学生亲自动手、实验、操作，使学生经历、体验图形的变换，从中感悟图形的变化前后几何元素（点、线、面、体）的相互位置关系，这有利于培养学生直觉思维的习惯、发展空间观念。

图1

例：

如图1，将1张纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，的到的图形是（）

ABCD

分析由于题中所给的条件对图形变化前后几何元素的位置关系并不明了，因此按常规思路或习惯思维求解，很难找到问题的突破口。

但如果按照题目所给的步骤逐步地进行动手操作，

则问题的答案呼之欲出，易得D即为所求.2．想象，实物模型与几何图形的转化

新课标指出：

“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状”.通过观察图形，分析图中几何元素的位置关系，找寻实物和几何之间的内在的联系，凭借直觉思维，在

想象实物和几何体之间的关系中寻得答案。

在探索平面图形与空间几何体的相互转换的活动中，可建立空间观念，发展几何直觉。

例：

由一些大小相