高三理科数学第一轮复习立体几何6线线角及线面角精.docx
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高三理科数学第一轮复习立体几何6线线角及线面角精
线线角及线面角
考点1直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平
面平行或在平面内,则此直线与平面所成的角是0°的角.
考点二、直线和平面所成的角
典例2如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,
∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.
（1证明:
PQ∥平面ACD;
（2求AD与平面ABE所成角的正弦值.
解题思路（1利用中位线可证;（2∠DAP为AD和平面ABE所成的角.
解题过程（1证明:
因为P,Q分别为AE,AB的中点,所以PQ∥EB.又DC∥EB,因此PQ∥DC,从而PQ∥平面ACD.
（2如图,连结CQ,DP.因为Q为AB的中点,且AC=BC,所以CQ⊥AB.
因为DC⊥平面ABC,EB∥DC,所以EB⊥平面ABC.因此CQ⊥EB,故CQ⊥平面ABE.
由（1有PQ∥DC,又PQ=1
2
EB=DC,所以四边形CQPD为平行四边形.故DP∥CQ.因此DP
⊥平面ABE.∠DAP为
AD和平面ABE所成的角.在Rt△DPA中
DP=1,sin∠
因此AD和平面ABE
易错点拨求斜线和平面所成的角,一般是在斜线上取一点向平面作垂线,从而形成由平面的斜线、垂线、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,然后在这个直角三角形中求角.变式如图,在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足
AE:
EB=CF:
FA=CP:
PB=1:
2（如图甲。
将三角形AEF沿EF折起到三角形EF
A
1
的位置,使二面角B
EF
A-
-
1
成直二面角,连结B
A
1
、P
A
1
（如图乙。
（乙
（1求证:
⊥
E
A
1
平面BEP;
（2求直线E
A
1
与平面BP
A
1
所成的角的大小;
点拨可利用边的关系求得⊥
E
A
1
EF,线面垂直立即得证;求线面角最终都可转化为线线角。
（甲（乙答案（1在图甲中,取BE的中点D,连结DF。
因为AE:
EB=CF:
FA=CP:
PB=1:
2,所以AF=AD=2,
而o
60=∠A,所以三角形ADF式正三角形,又AE=DE=1,所以EF⊥AD。
在图乙中,⊥EA1EF,BE⊥EF,所以EBA1∠为二面角BEFA--1的平面角。
由题设条件知此二面角为直二面角,所以⊥EA1BE。
又BE⋂EF=E,所以⊥EA1平面BEF,即⊥EA1平面BEF。
（2在图乙中,因为EA1不垂直于BA1,所以EA1是平面BPA1的斜线。
又⊥EA1平面BEP,所以⊥EA1BP,从而BP垂直于EA1在平面BPA1内的射影。
设EA1在平面BPA1内的射影为QA1,且QA1交BP于点Q,则QEA1∠就是EA1与平面BPA1所成的角,且BP⊥QA1。
在三角形EBP中,因为BE=BP=2,o
60=∠EBP,所以三角形EBP是等边三角形,所以BE=EP。
又⊥EA1平面BEP,所以PABA11=,故Q为BP的中点,且
3=EQ。
又11=EA,在直角三角形EQA1中,tan
11==∠E
AEQ
EQA,所以o601=∠EQA,所以直线EA1与平面BPA1所成的角为o60。
突破1线线角、线面角与棱锥结合考查
如图,四棱锥PABCD-的
底面是正方形
PDABC⊥底面,点E在棱PB上.
（Ⅰ求证:
平面AECPDB⊥平面;
（Ⅱ当PD=且E为PB的中点时,求AE与
平面PDB所成的角的大小.
【解答】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
（Ⅰ∵四边形ABCD是正方形,∴AC
⊥BD,∵PDABCD⊥底面,
∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴平面AECPDB⊥平面.
（Ⅱ设AC∩BD=O,连接OE,由（Ⅰ知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,∴O,E分别为DB、PB的中点,∴OE//PD,1
2
OEPD=
又∵PDABCD⊥底面,∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,在Rt△AOE
中,12OEPDABAO=
==,∴45AOE︒
∠=,即AE与平面PDB所成的角的大小为45︒
.突破2线线角、线面角与棱柱结合考查
如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,
⑴求证:
A1C⊥平面BDE;
⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
【解答】⑴由三垂线定理可得,A1C⊥BD,A1C⊥BE⇒A1C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立坐标系,则
1（2,0,4A,（0,2,0C,（2,2,0B,∴1
（2,2,4AC=--,1（0,2,4AB=-
∴1
111
1
1cos,ACABACABACAB⋅<>==⋅
设A1C平面BDE=K,由⑴可知,∠A1BK为A1B与平面BDE
所成角,∴111sincos,ABKACAB∠=<>=
1、若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是（（A2
0（π
（B2
0[π
（C]2
0（π
（D]2
0[π
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM（
A是AC和MN的公垂线B垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN,但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直
3、设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2,底面边长为3,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成的角是（
A.30°B.45°
C.60°
D.90°
4、（2010全国直三棱柱111CBAABC-中,若o
90=∠BAC,1AAACAB==,则异面
直线1BA与1AC所成的角等于（
A.o
30B.o
45C.o
60D.o
905、正方体1111DCBAABCD-中,1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（
A.
32B.32C.3D.3
6
6、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则=αcos。
7、正四面体ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,则EF与AC所成的角等于。
8、如图,二面角βα--l的大小为o
60,线段ABα⊂,lB∈,AB与l所成的角为o
30,则AB与平面β所成的角的正弦值是___________。
1、在正方体1111ABCDABCD-中,下列几种说法正确的是（
A、11AC⊥ADB、11DC⊥ABC、1AC⊥DC成045角D、11AC与1B
C成0
60角2、在正方体AC1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成300角的平面的个数为（
A、2个B、4个C、6个D、
8个3、正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1底面边长是1面对角线E1D与BC1所成的角是（
A.90º
B.60º
C.45º
D.30º
4、在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,BC⊥DA,那么对角线AC与BD的位置关系是
5、点AB到平面α距离距离分别为12,20,若斜线AB与α成0
30的角,则AB的长等于
___.
6、如图:
已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=2a。
（I若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1;
（II试问:
若AB
=2a,在线段AD上的E
点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么?
证明你的结论。
7、如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=2的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.
（Ⅰ证明:
BC⊥侧面PAB;
（Ⅱ证明:
侧面PAD⊥侧面PAB;
（Ⅲ求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;
8、设△ABC内接于⊙O,其中AB为⊙O的直径,PA⊥平面ABC。
如图
3:
4:
6
5
cos==
∠PBPAABC求直线PB和平面PAC所成角的大小.
1、如图,四面体ABCS中,SA,SB,SC两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点,求:
（1BC与平面SAB所成的角;
（2SC与平面ABC所成角的正弦值。
2、A是△BCD所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°,AB=3,AC=AD=2.（Ⅰ求证:
AB⊥CD;
（Ⅱ求AB与平面BCD所成角的余弦值.
3、在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,12
PD
CDADAB===,∠ADC=120º
B
C
D
P
⑴求证：
求异面直线AD，PB的所成角；⑵若AB的中点为E，求二面角D－PC－E的大小。
4、如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ当k＝P1时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；2OBD（Ⅱ当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重A心？
C
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