高三理科数学第一轮复习立体几何6线线角及线面角精.docx

1、高三理科数学第一轮复习立体几何6线线角及线面角精线线角及线面角考点 1 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角 . 一 条直线垂直于平面 , 该直线与平面所成的角是直角 ; 一条直线和平面平行或在平面内 , 则此直线与平面所成的角是 0的角 .考点二、直线和平面所成的角典例 2 如图 ,DC 平面 ABC,EB DC,AC=BC=EB=2DC=2, ACB=120,P,Q 分别为 AE,AB 的中点 .(1证明 :PQ平面 ACD;(2求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值 .解题思路 (1利用中位线可证; (2 DAP 为 AD 和平面

2、ABE 所成的角 .解题过程 (1证明 :因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点 , 所以 PQ EB. 又 DC EB, 因此 PQ DC, 从而 PQ 平面 ACD.(2如图 , 连结 CQ,DP. 因为 Q 为 AB 的中点 , 且 AC=BC,所以 CQ AB.因为 DC 平面 ABC,EB DC, 所以 EB 平面 ABC. 因此 CQ EB, 故 CQ 平面 ABE.由 (1有 PQ DC, 又 PQ= 12EB=DC,所以四边形 CQPD 为平行四边形 . 故 DP CQ. 因此 DP平面 ABE. DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角 . 在 Rt DPA 中 ,DP=

3、1,sin 因此 AD 和平面 ABE易错点拨 求斜线和平面所成的角 , 一般是在斜线上取一点向平面作垂线 , 从而形成由平面 的斜线、垂线、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形 , 然后在这个直角三角形中求角 . 变式 如图,在正三角形 ABC 中, E 、 F 、 P 分别是 AB 、 AC 、 BC 边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图甲 。将三角形 AEF 沿 EF 折起到三角形 EFA1的位置,使二 面角 BEFA -1成直二面角,连结 BA1、 PA1(如图乙 。 (乙(1 求证:EA1平面 BEP ; (2 求直线 EA1与平面 BPA1所成的角的大小;

4、点拨 可利用边的关系求得 EA1EF ,线面垂直立即得证;求线面角最终都可转化为线线 角。 (甲 (乙 答案 (1 在图甲中, 取 BE 的中点 D , 连结 DF 。 因为 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2, 所以 AF=AD=2,而 o60=A ,所以三角形 ADF 式正三角形,又 AE=DE=1,所以 EF AD 。在图乙中, E A 1EF , BE EF ,所以 EB A 1为二面角 B EF A -1的平面角。由题设条 件知此二面角为直二面角, 所以 E A 1BE 。 又 BE EF=E, 所以 E A 1平面 BEF , 即 E A 1平面 BEF 。(2在图乙中,因

5、为 E A 1不垂直于 B A 1,所以 E A 1是平面 BP A 1的斜线。又 E A 1平面 BEP ,所以 E A 1BP ,从而 BP 垂直于 E A 1在平面 BP A 1内的射影。设 E A 1 在平面 BP A 1内的射影为 Q A 1,且 Q A 1交 BP 于点 Q ,则 Q EA 1就是 E A 1与平面 BP A 1 所成的角, 且 BP Q A 1。 在三角形 EBP 中, 因为 BE=BP=2, o60=EBP , 所以三角形 EBP 是等边三角形,所以 BE=EP。又 E A 1平面 BEP ,所以 P A B A 11=,故 Q 为 BP 的中点,且3=EQ 。

6、 又 11=E A , 在 直 角 三 角 形 EQ A 1中 , t a n11=EA EQE QA , 所 以 o 601=E QA ,所以直线 E A 1与平面 BP A 1所成的角为 o 60。 突破 1 线线角、线面角与棱锥结合考查如 图 , 四 棱 锥 P A B C D -的底 面 是 正 方 形 , P D A B C 底面 ,点 E 在棱 PB 上 .(求证:平面 AEC PDB 平面 ;(当 PD =且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 .【解答】 本题主要考查直线和平面垂直、 平面与平面垂直、 直线与平面所成的角等基础知识, 考查空间想象

7、能力、运算能力和推理论证能力.(四边形 ABCD 是正方形, AC BD , PD ABCD 底面 , PD AC , AC 平面 PDB ,平面 AEC PDB 平面 .(设 ACBD=O,连接 OE ,由(知 AC 平面 PDB 于 O , AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, O , E 分别为 DB 、 PB 的中点, OE/PD, 12OE PD =,又 PD ABCD 底面 , OE 底面 ABCD , OE AO , 在 Rt AOE中, 12OE PD AB AO = =, 45AOE =,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45. 突破 2 线线角、线面角与棱柱

8、结合考查 如图,已知正四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1中,底面边长 A B =2,侧棱 BB 1的长为 4,过点 B 作 B 1C 的垂线交侧棱 CC 1于 点 E ,交 B 1C 于点 F ,求证:A 1C 平面 BDE ;求 A 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值。【解答】由三垂线定理可得, A 1C BD , A 1C BE A 1C 平面 BDE以 DA 、 DC 、 DD 1分别为 x 、 y 、 z 轴,建立坐标系,则1(2,0,4 A , (0,2, 0 C , (2,2, 0 B , 1(2,2, 4 AC =- , 1(0,2,4 A B =- 1111 11co

9、s , AC A B AC A B AC A B =, 设 A 1C 平面 BDE =K , 由可知, A 1BK 为 A 1B 与平面 BDE所成角, 111sin cos , A BK A C A B = 1、若平面 外的直线 a 与平面 所成的角为 ,则 的取值范围是 ( (A 2,0(B 2,0(C 2,0(D 2,02、在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面 ABCD 的中心, M 、 N 分别是棱 DD 1、 D 1C 1 的中点,则直线 OM ( A 是 AC 和 MN 的公垂线 B 垂直于 AC 但不垂直于 MN C 垂直于 MN ,但不垂直于 AC D 与

10、AC 、 MN 都不垂直3、设正四棱锥 S ABCD 的侧棱长为 2,底面边长为 3, E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成的角是( A . 30 B . 45C . 60D . 904、 (2010全国直三棱柱 111C B A ABC -中,若 o90=BAC , 1AA AC AB =,则异面直线 1BA 与 1AC 所成的角等于( A. o30 B. o45 C. o60 D. o90 5、正方体 1111D C B A ABCD -中, 1BB 与平面 1ACD 所成角的余弦值为( A.32 B. 32 C. 3 D. 366、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角

11、都为 ,则 =cos 。7、正四面体 ABCD 中, E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,则 EF 与 AC 所成的角等于 。 8、如图,二面角 -l 的大小为 o60,线段 AB , l B , AB 与 l 所成的角为 o 30, 则 AB 与平面 所成的角的正弦值是 _。 1、在正方体 1111ABCD A B C D -中,下列几种说法正确的是 ( A 、 11AC AD B 、 11D C AB C 、 1AC DC 成 045角 D 、 11AC 与 1BC 成 060角 2、在正方体 AC 1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与 A 1B 成 300角的平面的个数为 (

12、 A 、 2个 B 、 4个 C 、 6个 D 、 8个 3、正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是 1 面对角线 E 1D 与 BC 1所成的角是 ( A . 90B . 60C . 45D . 304、在空间四边形 ABCD 中, AB CD , BC DA ,那么对角线 AC 与 BD 的位置关系是5、点 AB 到平面 距离距离分别为 12, 20,若斜线 AB 与 成 030的角,则 AB 的长等于_.6、如图:已知直三棱柱 ABC A 1B 1C 1, AB =AC , F 为棱 BB 1上一点, BF FB 1=2 1, BF =BC =2a 。

13、(I 若 D 为 BC 的中点, E 为 AD 上不同于 A 、 D 的任意一点,证明 EF FC 1;(II 试问:若 AB=2a ,在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB 1C 1C 成 60角,为什么?证明你的结论。 7、如图 , 四棱锥 P-ABCD 的底面是 AB=2, BC =2的矩形 , 侧面 PAB 是等边三角形 , 且侧面 PAB 底面 ABCD.( 证明 :BC侧面 PAB;( 证明 : 侧面 PAD 侧面 PAB;( 求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小 ;8、 设 ABC 内 接 于 O , 其 中 AB 为 O 的 直 径 , PA 平 面 AB

14、C 。 如 图, 3:4:, 65cos =PB PA ABC 求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小 . 1、如图,四面体 ABCS 中, SA , SB , SC 两两垂直, SBA=45, SBC=60, M 为 AB 的中点,求:(1 BC 与平面 SAB 所成的角;(2 SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。2、 A 是 BCD 所在平面外的点, BAC= CAD= DAB=60, AB=3, AC=AD=2. (求证:AB CD ;(求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值 .3、在四棱锥 P -ABCD 中, PD 底面 ABCD , AB CD , 12PD CD AD AB =, AD C =120, BCDP求证：求异面直线 AD，PB 的所成角； 若 AB 的中点为 E，求二面角 DPCE 的大小。 4、如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBCkPA，点 O、D 分 别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABC (当 k P 1 时，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值； 2 O B D ( 当 k 取何值时，O 在平面 PBC 内的射影恰好为PBC 的重 A 心？ C