勾股定理 单元训练含答案.docx
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勾股定理单元训练含答案
勾股定理专项训练
专训1.巧用勾股定理求最短路径的长
名师点金：
求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换（平移或轴对称）进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程（距离）．
用计算法求平面中最短问题
1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草．
（第1题）
2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：
如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A，C之间的距离．（参考数据
≈4.6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？
请说明理由．（不计候车时间）
（第2题）
用平移法求平面中最短问题
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬（ ）
A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm
（第3题）
（第4题）
4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．
用对称法求平面中最短问题
5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．
（第5题）
6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．
（第6题）
用展开法求立体图形中最短问题
类型1 圆柱中的最短问题
（第7题）
7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为
，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________（结果保留根号）．
类型2 圆锥中的最短问题
8．已知：
如图，观察图形回答下面的问题：
（1）此图形的名称为________．
（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．
（3）如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
（4）SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．
（第8题）
类型3 正方体中的最短问题
9．如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
（第9题）
类型4 长方体中的最短问题
10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．
（第10题）
专训2.巧用勾股定理解折叠问题
名师点金：
折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：
（1）运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
（2）在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；（3）利用勾股定理列方程求出x；（4）进行相关计算解决问题．
巧用全等法求折叠中线段的长
1．（中考·泰安）如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（ ）
（第1题）
A.
cmB．2
cm
C．2
cmD．3cm
巧用对称法求折叠中图形的面积
2．如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
（第2题）
巧用方程思想求折叠中线段的长
3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
（1）求证：
△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
（第3题）
巧用折叠探究线段之间的数量关系
4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
（1）求证：
AE＝AF＝CE＝CF；
（2）设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．
（第4题）
专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型
名师点金：
勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为
（n为正整数）的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．
利用勾股定理求线段长
1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
（第1题）
利用勾股定理作长为
的线段
2．已知线段a，作长为
a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为
a.
利用勾股定理证明线段相等
3．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：
AB＝BC.
（第3题）
利用勾股定理证明线段之间的平方关系
4．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.
求证：
BP2＝BC2＋AP2.
（第4题）
利用勾股定理解非直角三角形问题
5．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的长．
（第5题）
利用勾股定理解实际生活中的应用
6．在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h
，并在离该公路100m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．（参考数据：
≈1.7）
（第6题）
利用勾股定理探究动点问题
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
（第7题）
答案
专训1
1．4
（第2题）
2．解：
（1）如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.
∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.
在Rt△CBE中，∵BC＝20km，
∴BE＝10km.
由勾股定理可得CE＝10
km.
在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝（AB＋BE）2＋CE2＝8100＋300＝8400，
∴AC＝20
≈20×4.6＝92（km）．
（2）选择乘“武黄城际列车”．理由如下：
乘客车需时间t1＝
＝1
（h），乘“武黄城际列车”需时间t2≈
＋
＝1
（h）．
∵1
>1
，∴选择乘“武黄城际列车”．
（第3题）
3．C 点拨：
将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC＝30×3＋10×3＝120（cm），AC＝50cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16900，所以AB＝130cm.所以壁虎至少爬行130cm.
4．10
5．解：
如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接BP.
（第5题）
易知BD⊥AC，
且BO＝OD，∴BP＝PD，则BP＋EP＝ED，此时最短．
∵AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得
ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，
∴ED＝BP＋EP＝5.
6．解：
如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km.
∴AC＝
＝10km，
∴这个最短距离为10km.
（第6题）
7．2
点拨：
将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA′D′D，连接AC，如图．线段AC就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB＝
×2π×
＝2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC＝
＝2
.
（第7题）
8．解：
（1）圆锥
（2）扇形
（3）把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．
（4）在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝
＝5
.
故蜗牛爬行的最短路程为5
.
（第8题）
（第9题）
9．解：
（1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.
（2）如图，AC′1＝
＝4
.
AC1＝
＝4
.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4
.
10．解：
分为三种情况：
（1）如图①，连接EC，
在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20（cm），BC＝
×30＝15（cm）．
由勾股定理，得EC＝
＝25（cm）．
（2）如图②，连接EC.
根据勾股定理同理可求CE＝
cm>25cm.
（3）如图③，连接EC.
根据勾股定理同理可求CE＝
＝
（cm）>25cm.
综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm.
（第10题）
专训2
1．A
2．解：
由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.
∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，
∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.
设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋（8－x）2＝x2.∴x＝5.
∴DE＝5.∴S△BED＝
DE·AB＝
×5×4＝10.
解题策略：
解决此题的关键是证得ED＝EB，然后在Rt△ABE中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．
3．
（1）证明：
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°.
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.
又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
（2）解：
∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.
设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
∵E为CD的中点，
∴CE＝DE＝EF＝3，
∴EG＝3＋x.
∴在Rt△CEG中，32＋（6－x）2＝（3＋x）2，解得x＝2.
∴BG＝2.
4．
（1）证明：
由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD是长方形，故AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.
∴AE＝AF＝EC＝CF.
（2）解：
由题意知，AE＝EC＝a，ED＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.
专训3
（第1题）
1．解：
如图，连接BD.
∵等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC（等腰三角形三线合一），∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.
∴BD＝CD.
∵DE⊥DF，BD⊥AC，
∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.
∴∠FDC＝∠EDB.
在△EDB与△FDC中，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE＝FC＝3.∴AB＝7，则BC＝7.∴BF＝4.
在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，
∴EF＝5.
2．2a；3a
3．证明：
∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．
由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，
∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
∴AB2＋BC2＝2AB2，
故BC2＝AB2，即AB＝BC.
方法总结：
当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：
①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．
（第4题）
4．证明：
如图，连接BM.
∵PM⊥AB，
∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，
∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
（第5题）
5．思路导引：
过点A作AD⊥BC于D，图中出现两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系
解：
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，∴CD＝
AC＝5.
∴在Rt△ACD中，AD＝
＝
＝5
.
∴在Rt△ABD中，BD＝
＝11.
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
方法总结：
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：
作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．
6．思路导引：
（1）要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC的长即可．
（2）由
（1）可知BC的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与
比较即可．
解：
（1）在Rt△AOB中，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，∴OA＝
AB.
∵OA＝100m，∴AB＝200m.
由勾股定理，得OB＝
＝
＝100
（m）．
在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°.
∴OC＝OA＝100m．∴B（－100
，0），C（100，0）．
（2）∵BC＝BO＋CO＝（100
＋100）m，
≈18>
，
∴这辆汽车超速了．
7．解：
（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，
∴BC＝4cm.
（2）由题意知BP＝tcm，
①如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；
②如图②，当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32＋（t－4）2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
即52＋[32＋（t－4）2]＝t2，
解得t＝
.
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝
.
（第7题
（2））
（3）①如图①，当BP＝AB时，t＝5；
②如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
（第7题（3））
③如图③，当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝|t－4|cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋（t－4）2，解得t＝
.
综上所述：
当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝
.
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