离散数学王元元习题解答 111.docx
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离散数学王元元习题解答111
第四篇抽象代数
第十章代数结构通论
10.1代数结构
内容提要
10.1.1代数结构的意义
定义10.1称*为集合S上的n元运算（operaters），如果*为Sn到S的一个函数。
以下*常用以表示二元运算,*（x,y）常记为x*y；D常用以表示一元运算。
对二元运算*，*’:
称*运算满足结合律，若
"x"y"z（x,y,zÎS→x*（y*z）=（x*y）*z）
称*运算满足交换律，若
"x"y（x,yÎS→x*y=y*x）
称*运算对*’运算满足分配律，若
"x"y"z（x,y,zÎS→x*（y*’z）=（x*y）*’（x*z））
定义10.2代数结构（algebrastructures）是由以下三个部分组成的数学结构：
（1）非空集合S，称为代数结构的载体。
（2）载体S上的若干运算。
（3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。
代数结构常用一个多元序组来表示，其中S是载体，D，*，…为各种运算。
有时为了强调S有某些元素地位特殊，也可将它们列入这种多元序组的末尾。
10.1.2代数结构的特殊元素
定义10.3元素e称为代数结构的（关于运算*的）幺元（identityelements），如果eÎS且对任意元素xÎS有
x*e-=e*x=x.
元素erÎS（elÎS）称为（关于运算*的）右幺元（左幺元）,如果er（el）对任意元素xÎS满足
x*er=x（el*x=x）
定理10.1代数结构有关于*运算的幺元，当且仅当它同时有关于*运算的左幺元和右幺元。
定理10.2任何含有关于*运算幺元的代数结构,其所含幺元是唯一的。
定义10.4元素O称为代数结构（关于*运算）的零元（zero），如果OÎS且对任意xÎS有
x*O＝O*x＝O
元素OrÎS（OlÎS）称为左零元（右零元）．如果Or（Ol）满足:
对一切xÎS，
x*Or＝Or（Ol*x=Ol）
定理10.3代数结构有关于*运算的零元，当且仅当它同时有关于*运算的左零元和右零元。
定理10.4任何含有关于*运算零元的代数结构，其所含零元是唯一的。
定义10.5设代数结构中e为幺元，x,y为S中元素。
若x*y＝e，那么称x为y的左逆元，y为x的右逆元。
若x*y＝y*x＝e，那么称x（y）为y（x）的逆元（inverseelements）。
x的逆元通常记为x-1;但当运算被称为“加法运算”（记为+）时，x的逆元可记为-x。
定理10.5设有幺元e，零元O；并且|S|≧2，那么O无左（右）逆元．
定理10.6设有幺元e，且运算*满足结合律,那么当S中元素x有左逆元l及右逆元r时,l=r,它们就是x的逆元。
定义10.6称中元素a是可约的（cancelable）,如果a满足:
对任意x,yÎS
a*x=a*y蕴涵x=y（10-1）
x*a=y*a蕴涵x=y（10-2）
当a满足（10-1）时,也称a是左可约的,当a满足（10-2）时,也称a是右可约的。
定理10.7若中运算满足结合律,且元素a有逆元（左逆元,右逆元）,那么a必定是可约的（左可约的,右可约的）。
10.1.3子代数结构
定义10.7设S上有n元运算*（n＝1，2，…），S’ÍS,称*运算对S’封闭（c1osed），如果对任意元素x1，x2，…，xnÎS’,*（x1，x2，…，xn）ÎS’．
定义10.8称为代数结构的子代数结构，或子代数（subalgebra）,如果
（1）S’ÍS
（2）运算*对S’封闭．
据定义，子代数必为一代数结构，*运算所满足的公理显然仍能得到满足。
应当注意的是，由于S’只是S的子集，S中关于*运算的特殊元素，S’中未必仍然具有。
常把叫做的平凡子代数；若S含幺元e，那么也把<{e},*>叫做的平凡子代数。
习题与解
练习10.1
给出三个教材中未涉及的代数结构。
解：
如
（1）S={a，b，c}S上运算*定义为：
对任意x，yÎS,x*y=x。
那么＜Ｓ，x＞构成一个代数结构。
G={1，3，4，5，9}，运算*为模11乘（两数乘积结果除以11取余数），即运算*由表10.1给定：
表10.1
﹡
1
3
4
5
9
1
1
3
4
5
9
3
3
9
1
4
5
4
4
1
5
9
3
5
5
4
9
3
1
9
9
5
3
1
4
为G上二元运算，且满足交换律、结合律。
＜G，﹡＞为一代数结构。
整数集合I上﹡和△运算分别定义为：
对任意a，bÎI,
a﹡b=max（a，b），a△b=min（a，b）
且运算﹡和△分别满足交换律、结合律，﹡对△满足分配律。
构成一代数结构。
2．设S={a，b，c，d，e}，S上运算*由表10.2给定：
（1）计算（a*b）*c和a*（b*c），由计算结果可否断定*运算满足结合律？
表10.2
*
a
b
c
d
e
a
a
b
c
b
d
b
b
c
a
e
c
c
c
a
b
b
a
d
b
e
b
e
d
e
d
b
a
d
c
（2）计算（b*d）*c和b*（d*c），由计算结果可否断定*运算满足结合律？
（3）运算满足交换律吗？
为什么？
解：
（1）由运算表：
（a*b）*c=b*c=a，a*（bc）=a*a=a
仅由此计算结果不能判定*运算满足结合律，因为在此S集合中，a,b,c为三个特定元素。
（2）（b*d）*c=e*c=a，b*（d*c）=b*b=c
即（b*d）*c≠b*（dc），由此计算结果可以判定*运算不满足结合律。
（3）运算不满足交换律。
因为e*b=b，b*e=c，即e*b≠b*e。
事实上，当运算*满足交换律时，其运算表应该是关于主对角线对称的。
3.已知S上运算*满足结合律与交换律，证明：
对S中任意元素a，b，c，d有
（a*b）*（c*d）＝（（d*c）*a）*b
证：
由于S上运算*满足交换律与结合律，因此，对S中任意元素a，b，c，d，
（a*b）*（c*d）＝（a*b）*（d*c）
＝（d*c）*（a*b）
＝（（d*c）*a）*b
4．已知S上运算*满足结合律，并且满足:
若x*y=y*x,则x=y。
试证明：
对一切xÎS有x*x=x（此种元素称为等幂元素，因而上述所有元素都是等幂元素）。
证：
由于S上运算*满足结合律，因此对任意xÎS有（x*x）*x＝x*（x*x）
若令y＝x*x，则有y*x=x*y，于是由前提知x=y，即x*x＝x。
即中所有元素都是等幂元素。
5.设集合S有n个元素,问可定义多少个S上的二元运算,可定义多少个S上的满足交换律的二元运算。
解：
S有n个元素，S的每一个二元运算均对应一个运算表，即n×n阶矩阵，其中每一个元素均为S中任意元素，故可定义nn×n（或（nn）n）=nn2个S上二元运算。
当运算满足交换律时，其运算表应该是关于主对角线对称的，因此S上的满足交换律的二元运算个数等于关于主对角线对称的n×n阶矩阵的个数，有n+n1+n2+……+nn＝n1+2+3+4+……+n＝nn（n+1）/2个。
6.完成下列运算表（表10.3）,使之定义的运算*1,*2满足结合律:
表10.3
*1
a
b
c
d
*2
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
b
a
c
d
b
b
a
d
c
b
b
a
c
d
c
c
d
a
b
c
d
d
d
c
c
d
解：
为使*1满足结合律，则对于b,c,a应有（b*1c）*1a＝b*1（c1a），而由表10．3的*1运算可知：
b*1（c1a）＝b*1c＝d
∴（b*1c）*1a＝d*1a＝d即d*1a＝d
同理对于b,c,b应有（b*1c）*1b＝b*1（c1b），而b*1（c1b）＝b*1d＝c
∴（b*1c）*1b＝d*1b＝c
对于b,c,c应有（b*1c）*1c＝b*1（c1c），而b*1（c1c）＝b*1a＝b
∴（b*1c）*1c＝d*1c＝b，即d*1c＝b
又对b,c,d应有（b*1c）*1d＝b*1（c1d），而b*1（c1d）＝b*1d＝a
∴（b*1c）*1d＝d*1d＝a，即d*1d＝a
为使*2满足结合律，对于d,b,a应有（d*2b）*2a＝d*2（b2a），而（d*2b）*2a＝d*2b＝c
∴（d*2b）*2a＝c*2a＝c即c*2a＝c
对于d,b,b应有（d*2b）*1b＝d*2（c2b），而d*2（b2b）＝d*2a＝d
∴（d*2b）*2b＝c*2b＝a,即c*2b＝a
对于d,b,c应有（d*2b）*2c＝d*2（b2c），而d*2（b2c）＝d*2c＝c
∴（d*2b）*2c＝c*2c＝c，即c*2c＝c
又对d,b,d应有（d*2b）*2d＝d*2（b2d），而d*2（b2d）＝d*2d＝d
∴（d*2b）*2d＝c*2d＝d，即c*2d＝d
综上，为使运算*1，*2满足结合律，运算表为：
表10.4
*1
a
b
c
d
*2
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
b
a
c
d
b
b
a
d
c
b
b
a
c
d
c
c
d
a
b
c
c
d
c
d
d
d
c
b
a
d
d
c
c
d
7．S及其S上的运算*如下定义，问各种定义下*运算是否满足结合律、交换律,中是否有幺元、零元，S中哪些元素有逆元，哪些元素没有逆元?
（1）S为I（整数集）,x*y=x－y
（2）S为I（整数集）,x*y=x+y－xy
（3）S为Q（有理数集），x*y=
（4）S为N（自然数集），x*y=
（5）S为N（自然数集），x*y=max（x,y）（min（x,y））
（6）S为N（自然数集），x*y=x
解：
（1）*运算不满足结合律，也不满足交换律，因为对于x，y，zÎI
（x*y）*z=（x－y）－z=x－y－z，而x*（yz）=x－（y－z）=x－y+z
因此并非对任意x，y，zÎI，（x*y）*z=x*（yz）（如x=y=z=1，（x*y）*z≠x*（yz）），
又x*y=x－y，y*x=y－x，因此并非对任意x，yÎI，x*y=y*x（如x=2，y=1）。
中无幺元，也无零元，所有元素均无逆元。
（2）由于对任意x，y，zÎI，（x*y）*z=（x+y－xy）*z=x+y－xy+z－（x+y－xy）z=
x+y+z－xy－xz－yz+xyz，而x*（y*z）=x*（y+z－yz）=x+y+z－xy－xz－yz+xyz，因此
（x*y）*z=x*（y*z），
从而*运算满足结合律。
又xy=x+y－xy=y+x－yx=y*x，因此*运算满足交换律。
中有幺元0，因为对任意xÎI，x*0=0*x=x+0－x·0=x
中有零元1，因为对任意xÎI，x*1=1*x=x+1－x·1=1
对xÎS设有逆元y，则x*y=y*x=x+y－xy=0，从而y=x/（x－1）
故S中元素x使得x/（x－1）为整数时，有逆元x/（x－1）。
（3）由于对任意x，y，zÎQ，
（x*y）*z=（（x+y）/2）*z=（（x+y）/2）+z）/2=（x+y+2z）/4
而x*（y*z）=x*（y+z）/2=（x+（y+z）/2）/2=（2x+y+z）/4
故不能对任意x，y，zÎQ使（x*y）*z=x*（y*z），（如x=1，y=2，z=3，（x*y）*z≠x*（yz）），
因此*运算不满足结合律。
但对任意x，yÎQ，x*y=（x+y）/2=（y+x）/2=y*x，故*运算满足交换律。
中无幺元，也无零元，元素也无逆元。
（4）由于对任意x，y，zÎN，（x*y）*z=2xy*z=2z·2xy
而x*（y*z）=x*2yz=2x·2yz
故不能对任意x，y，zÎN,使（x*y）*z=x*（y*z）（如x=1，y=2，z=3，（x*y）*z≠x*（yz））
由于对任意x，yÎN，∵x*y=2xy=2yx=y*x，故*运算满足交换律。
中无幺元，也无零元，元素也无逆元。
（5）很显然对于max（x,y），min（x,y）两种运算都满足结合律和交换律。
对于max（x,y）运算*，中有幺元0，无零元，此时只有0有逆元0，其余非零自然数皆无逆元。
对于min（x,y）运算*，中无幺元，有零元0，因而谈不上元素的逆元。
（6）由于对任意x，y，zÎN,（x*y）*z=x*z=x，x*（y*z）=x*y=x，（x*y）*z=x*（y*z）故*运算满足结合律。
又xy=x而y*x=y，因此对任意x，yÎN，满足x*y=y*x（如x=1，y=2x*y=1y*x=2）
故运算不满足交换律
中无幺元，也无零元，因而谈不上元素的逆元。
8．证明定理10.3，定理10.4。
证：
（1）证明定理10.3。
当有关于*运算的零元0，由零元定义直接可得，0为*运算的左零元，也同时为其右零元。
反之设有左零元0l，右零元0r，则由定义10.4有0l=0l*0r=0r
从而0l=0r为*运算的零元。
证明定理10.4
设01，02为代数结构的零元，则由零元定义有：
01=01*02=02
故零元是唯一的。
9．下列断言正确吗？
为什么？
（1）代数结构中的幺元与零元总不相等。
（2）一代数结构中可能有三个右幺元，而只有一个左幺元。
（3）代数结构中可能有一个元素，它既是左零元，又是右幺元。
（4）幺元总有逆元。
（5）用
表示n个a的积:
，那么当代数结构中有元素a时，
（n=l，2，3，…）均在S中。
（6）如果S’ÍS，运算*为*在S’S’上的限制,那么为代数结构的子代数。
解：
（1）此断言不正确。
正确的说法为：
对于|S|≥2，代数结构,其幺元与零元总不相等；对于|S|=1的代数结构,其唯一元素既是幺元也是零元。
（2）此断言不正确。
因为假设代数结构有三个右幺元e1，e2，e3（e1≠e2≠e3）又有一个左幺元eL，则由定理10.1知，eL=e1，eL=e2，eL=e3，而这是不可能的。
（3）断言正确。
因为如下例：
S={a,b,c}，S上*运算由下表10.5给出：
表10.5
*
a
b
C
a
a
a
a
b
b
a
b
c
c
c
a
则由运算表可知，元素a既为代数结构的左零元，又是右幺元。
（4）此断言正确。
因为设e为代数结构的幺元，则e*e=e，即e有逆元e自身。
（5）当运算*满足结合律时，此断言正确。
因为由代数结构定义（定义10.2）的
（2）可知，代数结构中的运算*：
当a∈S，则a*a=a2∈S，a*a*a=a2*a=a3∈S，依次类推，an∈S，而当运算*不满足结合律时，an无意义。
此断言错误。
（6）此断言不正确。
因为*′未必是S′上的运算，即有可能x,y∈S′，而x*′y=x*yÏS′。
10．设A＝｛a，b｝，S为AA,即S={f1,f2,f3,f4},诸f由表10.6给定。
表10.6
x
f1（x）
f2（x）
f3（x）
f4（x）
a
a
a
b
b
b
a
b
a
b
（1）给出S上函数复合运算○的运算表。
（2）是否有幺元、零元？
（3）中哪些元素有逆元，逆元是什么？
解：
（1）S上运算○的运算表为10.7
表10.7
○
f1
f2
f3
f4
f1
f1
f1
f1
f1
f2
f1
f2
f3
f4
f3
f4
f3
f2
f1
f4
f4
f4
f4
f4
（2）由○运算表可知，f2为其幺元，f1，f4只为其左零元，无右零元，故无零元。
由○运算表可知，中只有元素f2，f3有逆元，且f2-1=f2，f3-1=f3
11.对例10.2之（l），
（2），（3）中给出的代数结构分别说出一个非平凡的子代数。
解：
对例10．2之
（1），
（2），（3）中的
（1）设F={3n|nÎN}，则为代数结构的一个非平凡的子代数。
设A为全体2´2整数矩阵的集合，则为代数结构的子代数。
代数结构<ρ（A），È，Ç，->无非平凡的子代数，而设BÌA，B¹Æ，则<ρ（B），È，Ç>为代数结构<ρ（A），È，Ç>的非平凡子代数。
12.记集合{0，1，2，…，k-l}（k为正整数）为Nk，定义Nk上的模k加运算+k和模k乘运算´k：
其中
表示商
的整数部分。
考虑代数结构,,．问下列集合及集合上的运算是否构成以上三代数结构的子代数：
（1）{0,2},+6;{0,2},´6
（2）{0,3},+6;{0,3},´6
（3）{0,2,4},+6;{0,2,4},´6
（4）{0,1},+6;{0,1},´6
（5）{0,1,3,5},+6;{0,1,3,5},´6
解：
（1）∵2+62=4Ï{0，2}，∴<{0，2}，+6>不为的子代数。
又∵2×62=4Ï{0，2}，∴<{0，2}，×6>不为的子代数。
从而<{0，2}，+6，×6>不为的子代数。
（2）{0，3}上+6，×6的运算表为10.8：
表10.8
+6
0
3
×6
0
3
0
0
3
0
0
0
3
3
0
3
0
3
由运算表知，+6，×6在{0，3}上封闭，故<{0，3}，+6>为的子代数，<{0，3}，×6>为的子代数，从而<{0，3}，+6，×6>为的子代数。
（3）{0，2，4}上+6，X6的运算表为10.9
表10.9
+6
0
2
4
×6
0
2
4
0
0
2
4
0
0
0
0
2
2
4
0
2
0
4
2
4
4
0
2
4
0
2
4
由运算表知+6，×6在{0，2，4}上封闭，故<{0，2，4}，+6>为的子代数，<{0，2，4}，×6>为的子代数，从而<{0，2，4}，+6，×6>为的子代数。
（4）∵1+61=2Ï{0,1}∴<{0,1}，+6>不为的子代数。
而{0,1}上×6的运算表为10.10:
表10.10:
×6
0
1
0
0
0
1
0
1
由运算表知×6在{0,1}上封闭,故<{0,1}，×6>为的子代数。
但<{0,1}，+6，×6>不是的子代数。
（5）∵1+63=4Ï{0,1,3,5}∴<{0,1,3,5}，+6>不为的子代数。
而{0,1,3,5}上×6的运算表为10.11:
表10.11
×6
0
1
3
5
0
0
0
0
0
1
0
1
3
5
3
0
3
3
3
5
0
5
3
1
由运算表知×6在{0,1,3,5}上封闭,故<{0,1,3,5}，×6>为的子代数。
但<{0,1,3,5}，+6，×6>不是的子代数。
10.2同态、同构及同余
内容提要
10.2.1同态与同构
定义10.9设及均为代数结构，称函数h:
S→S’为（代数结构S到S’的）同态映射，或同态（homomorphism），如果对S中任何元素a，b，
h（Δa）=Δ’（h（a））（10-3）
h（a*b）＝h（a）*’h（b）（10-4）
当同态h为单射时，又称h为单一同态；当h为满射时，又称h为满同态；当k为双射时，又称h为同构映射，或同构（isomorphism）。
当两个代数结构间存在同构映射时，也称这两个代数结构同构。
当h为到的同态（同构）时,称h为S的自同态（自同构）。
式（10－3）和（10－4）被称为同态h的保运算性。
定义10.10设h为代数结构到的同态映射，那么称h（S）为h的同态象（imageunderhomomorphism）。
定理10.8设h为代数结构到的同态，那么同态象h（S）与Δ’，*’构成的一个子代数。
定理10.9设h是代数结构到的同态,h的同态象为（这里*1,*2,*1’,*2’均为二元运算），那么
（1）当运算*1（*2）满足结合律、交换律时，同态象中运算*1’（*2’）也满足结合律、交换律；当运算*1对*2满足分配律时，同态象中运算*1’对*2’也满足分配律。
（2）如果关于*1（*2）有么元e或零元O，那么中有关于*1’（*2’）的么元h（e）或零元h（O）。
（3）如果中元素x有关于*1（*2）的逆元x-1，那么中元素h（x）有关于*1’（*2’）的逆元h（x-1）。
定义10.11如果h为代数结构到的
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