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1、离散数学王元元习题解答 111第四篇 抽象代数 第十章 代数结构通论10.1 代数结构内容提要10.1.1代数结构的意义定义10.1 称 * 为集合S上的n元运算（operaters），如果 * 为Sn到S的一个函数。以下 * 常用以表示二元运算, *(x,y)常记为x*y；D常用以表示一元运算。对二元运算*，*:称 * 运算满足结合律，若 xyz(x,y,zSx* (y* z) = (x*y) *z)称 * 运算满足交换律，若 xy(x,ySx*y= y*x) 称 * 运算对 * 运算满足分配律，若 xyz(x,y,zSx*(y*z) = (x*y) * (x*z)定义10.2 代数结构（a

2、lgebra structures）是由以下三个部分组成的数学结构： （1）非空集合S，称为代数结构的载体。 （2）载体S上的若干运算。 （3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组来表示，其中 S是载体，D，*，为各种运算。有时为了强调S有某些元素地位特殊，也可将它们列入这种多元序组的末尾。10.1.2 代数结构的特殊元素定义10.3 元素e 称为代数结构的（关于运算*的）幺元(identity elements)，如果eS且对任意元素xS有 x*e -= e*x = x .元素erS(elS)称为（关于运算*的）右幺元(左幺元), 如果er (el) 对任意元素x

3、S满足 x*er = x (el*x = x)定理10.1 代数结构有关于 * 运算的幺元，当且仅当它同时有关于 * 运算的左幺元和右幺元。定理10.2 任何含有关于 * 运算幺元的代数结构,其所含幺元是唯一的。定义10.4 元素O称为代数结构 (关于 * 运算) 的零元(zero)，如果O S且对任意xS有 x * O O * x O元素O rS (O lS)称为左零元（右零元）如果Or（Ol）满足:对一切xS， x * Or Or （Ol * x = Ol）定理10.3 代数结构有关于 * 运算的零元，当且仅当它同时有关于 * 运算的左零元和右零元。定理10.4 任何含有关于 * 运算零元

4、的代数结构，其所含零元是唯一的。定义10.5设代数结构中e为幺元，x,y为S中元素。若x*ye，那么称x为y的左逆元，y为x的右逆元。若x*yy*xe，那么称x(y)为y(x)的逆元（inverse elements）。x的逆元通常记为x-1;但当运算被称为“加法运算”（记为+）时，x的逆元可记为-x 。定理10.5 设有幺元e，零元O；并且| S |2，那么O无左（右）逆元定理10.6 设有幺元e，且运算 * 满足结合律,那么当S中元素x有左逆元l及右逆元r时,l = r,它们就是x的逆元。定义10.6 称中元素a是可约的(cancelable),如果a满足:对任意x,ySa*x = a*y

5、 蕴涵 x = y (10-1)x*a = y*a 蕴涵 x = y (10-2)当a满足(10-1)时,也称a是左可约的, 当a满足(10-2)时,也称a是右可约的。定理10.7 若中 运算满足结合律,且元素a有逆元(左逆元,右逆元),那么a必定是可约的(左可约的,右可约的) 。10.1.3 子代数结构定义10.7 设S上有n元运算 *（n1，2，），S S, 称 * 运算对S封闭（c1osed），如果对任意元素x1，x2，xnS, *(x1，x2，xn) S 定义10.8 称为代数结构的子代数结构，或子代数（subalgebra）,如果 （1）S S （2）运算 * 对S封闭 据定义，子代

6、数必为一代数结构，* 运算所满足的公理显然仍能得到满足。应当注意的是，由于S只是S的子集，S中关于 * 运算的特殊元素，S中未必仍然具有。 常把叫做的平凡子代数；若S含幺元e，那么也把叫做的平凡子代数。习题与解练习10.1给出三个教材中未涉及的代数结构。解：如（1）S=a，b，c S上运算*定义为：对任意x，yS, x*y=x。那么，x构成一个代数结构。G=1，3，4，5，9，运算*为模11乘（两数乘积结果除以11取余数），即运算*由表10.1给定： 表10.113459113459339145441593554931995314为G上二元运算，且满足交换律、结合律。G，为一代数结构。整数集合

7、I上和运算分别定义为：对任意a，bI, ab=max(a，b)， ab=min(a，b)且运算和分别满足交换律、结合律，对满足分配律。构成一代数结构。2设S = a，b，c，d，e，S上运算 * 由表10.2给定： （1）计算(a*b)*c和a*(b*c)，由计算结果可否断定 * 运算满足结合律？ 表10.2*abcdeaabcbdbbcaecccabbadbebededbadc （2）计算(b*d)*c和b*(d*c)，由计算结果可否断定 * 运算满足结合律？（3）运算满足交换律吗？为什么？解：（1）由运算表： (a*b)*c=b*c=a ， a*（b c）=a*a=a 仅由此计算结果不能判

8、定*运算满足结合律，因为在此S集合中，a,b,c为三个特定元素。 （2）(b*d)*c=e*c=a ， b*(d*c)=b*b=c 即(b*d)*cb*（d c），由此计算结果可以判定*运算不满足结合律。 （3）运算不满足交换律。因为e*b=b，b*e=c，即e*bb*e。事实上，当运算*满足交换律时，其运算表应该是关于主对角线对称的。3. 已知S上运算 * 满足结合律与交换律，证明：对S中任意元素a，b，c，d有 （a*b）*（c*d）（d*c）*a）*b证：由于S上运算*满足交换律与结合律，因此，对S中任意元素a，b，c，d， （a*b）*（c*d）（a*b）*（d*c）（d*c）*（a*

9、b）（d*c）*a）*b4已知S上运算 * 满足结合律，并且满足:若x*y = y*x,则x = y 。试证明：对一切xS有x*x = x（此种元素称为等幂元素，因而上述所有元素都是等幂元素）。证：由于S上运算*满足结合律，因此对任意xS有（x*x）*xx*（x*x）若令yx*x，则有y*x= x*y，于是由前提知x = y，即x*xx。即中所有元素都是等幂元素。5. 设集合S有n个元素,问可定义多少个S上的二元运算, 可定义多少个S上的满足交换律的二元运算。解：S有n个元素，S的每一个二元运算均对应一个运算表，即nn阶矩阵，其中每一个元素均为S中任意元素，故可定义nnn（或（nn）n）= n

10、n2个S上二元运算。当运算满足交换律时，其运算表应该是关于主对角线对称的，因此S上的满足交换律的二元运算个数等于关于主对角线对称的nn阶矩阵的个数，有n+n1+n2+nnn1+2+3+4+nnn(n+1)/2个。6. 完成下列运算表(表 10.3), 使之定义的运算*1 , *2满足结合律: 表 10.3*1abcd*2abcdaabcdabacdbbadcbbacdccdabcdddccd解：为使*1满足结合律，则对于b,c,a应有（b*1c）*1ab*1（c 1a），而由表103的*1运算可知：b*1（c 1a）b*1cd（b*1c）*1ad*1ad 即d*1ad同理对于b,c,b应有（b

11、*1c）*1bb*1（c 1b），而b*1（c 1b）b*1dc（b*1c）*1bd*1bc对于b,c,c应有（b*1c）*1cb*1（c 1c），而b*1（c 1c）b*1ab（b*1c）*1cd*1cb，即d*1cb又对b,c,d应有（b*1c）*1db*1（c 1d），而b*1（c 1d）b*1da（b*1c）*1dd*1da，即d*1da为使*2满足结合律，对于d,b,a应有（d*2b）*2ad*2（b 2a），而（d*2b）*2ad*2bc（d*2b）*2ac*2ac 即c*2ac对于d,b,b应有（d*2b）*1bd*2（c 2b），而d*2（b 2b）d*2ad（d*2b）*2b

12、c*2ba, 即c*2ba对于d,b,c应有（d*2b）*2cd*2（b 2c），而d*2（b 2c）d*2cc（d*2b）*2cc*2cc，即c*2cc又对d,b,d应有（d*2b）*2dd*2（b 2d），而d*2（b 2d）d*2dd（d*2b）*2dc*2dd，即c*2dd综上，为使运算*1，*2满足结合律，运算表为：表10.4*1abcd*2abcdaabcdab acdbbadcbbacdccdabccdcdddcbaddccd7S及其S上的运算 * 如下定义，问各种定义下 * 运算是否满足结合律、交换律, 中是否有幺元、零元，S中哪些元素有逆元，哪些元素没有逆元? （1）S为I（

13、整数集）, x*y = xy （2）S为I（整数集）, x*y = x+yxy （3）S为Q（有理数集），x*y = （4）S为N（自然数集），x*y = （5）S为N（自然数集），x*y = max(x,y) (min(x,y)（6）S为N（自然数集），x*y = x解：（1）*运算不满足结合律，也不满足交换律，因为对于x，y，zI（x*y）*z=（xy）z= xyz，而x*（y z）=x（yz）= xy+z因此并非对任意x，y，zI，（x*y）*z=x*（y z）（如x=y=z=1，（x*y）*zx*（y z），又x*y=xy，y*x=yx ，因此并非对任意x，yI，x*y= y*x（如x

14、=2，y=1）。中无幺元，也无零元，所有元素均无逆元。（2）由于对任意x，y，zI，（x*y）*z=（x+yxy）*z=x+yxy+z（x+yxy）z=x+y+zxyxzyz+xyz，而x*(y*z)=x*（y+zyz）=x+y+zxyxzyz+xyz，因此 （x*y）*z=x*(y*z)，从而*运算满足结合律。又x y= x+yxy=y+xyx=y*x，因此*运算满足交换律。中有幺元0，因为对任意xI，x*0=0*x=x+0x0=x中有零元1，因为对任意xI，x*1=1*x=x+1x1=1对xS设有逆元y，则x*y= y*x=x + yxy=0，从而y = x/（x1）故S中元素x使得x/（

15、x1）为整数时，有逆元x/（x1）。（3）由于对任意x，y，zQ， （x*y）*z=（x+y）/2）*z=（x+y）/2）+z）/2=（x+y+2z）/4而x*(y*z)=x*（y+z）/2=（x+（y+z）/2）/2=（2x+y+z）/4故不能对任意x，y，zQ使（x*y）*z=x*(y*z)，（如x=1，y=2，z=3，（x*y）*zx*（y z），因此*运算不满足结合律。但对任意x，yQ，x*y=（x+y）/2=（y+x）/2=y*x，故*运算满足交换律。中无幺元，也无零元，元素也无逆元。（4）由于对任意x，y，zN，（x*y）*z=2xy*z=2z2xy而x*(y*z) = x*2yz

16、 =2x2yz故不能对任意x，y，zN,使（x*y）*z=x*(y*z)（如x=1，y=2，z=3，（x*y）*zx*（y z）由于对任意x，y N，x*y=2xy =2yx =y*x，故*运算满足交换律。中无幺元，也无零元，元素也无逆元。(5)很显然对于max(x,y)，min(x,y)两种运算都满足结合律和交换律。对于max(x,y)运算*，中有幺元0，无零元，此时只有0有逆元0，其余非零自然数皆无逆元。对于min(x,y)运算*，中无幺元，有零元0，因而谈不上元素的逆元。（6）由于对任意x，y，zN, （x*y）*z=x*z=x，x*(y*z) =x*y=x，（x*y）*z=x*(y*z

17、) 故*运算满足结合律。又x y=x 而y*x=y，因此对任意x，yN，满足x*y=y*x（如x=1，y=2 x*y=1 y*x=2）故 运算不满足交换律中无幺元，也无零元，因而谈不上元素的逆元。8证明定理10.3，定理10.4 。证：（1）证明定理10.3。当有关于*运算的零元0，由零元定义直接可得，0为*运算的左零元，也同时为其右零元。反之设有左零元0l，右零元0r，则由定义10.4有0l=0l*0r=0r从而0l=0r为*运算的零元。证明定理10.4设01，02为代数结构的零元，则由零元定义有：01=01*02 = 02故零元是唯一的。 9下列断言正确吗？为什么？ （1）代数结构中的幺元

18、与零元总不相等。 （2）一代数结构中可能有三个右幺元，而只有一个左幺元。 （3）代数结构中可能有一个元素，它既是左零元，又是右幺元。 （4）幺元总有逆元。（5）用表示n个a的积: ，那么当代数结构中有元素a时，（n = l，2，3，）均在S中。（6）如果S S，运算*为 * 在S S上的限制,那么为代数结构的子代数。解：（1）此断言不正确。正确的说法为：对于|S|2，代数结构,其幺元与零元总不相等；对于|S|=1的代数结构,其唯一元素既是幺元也是零元。（2）此断言不正确。因为假设代数结构有三个右幺元e1，e2，e3（e1e2e3）又有一个左幺元eL，则由定理10.1知，eL=e1，eL=e2，

19、eL=e3，而这是不可能的。 （3）断言正确。因为如下例：S=a,b,c，S上*运算由下表10.5给出： 表10.5 * a b C a a a a b b a b c c c a 则由运算表可知，元素a既为代数结构的左零元，又是右幺元。（4）此断言正确。因为设e为代数结构的幺元，则e*e=e，即e有逆元e自身。（5）当运算*满足结合律时，此断言正确。因为由代数结构定义（定义10.2）的（2）可知，代数结构中的运算*：当aS，则a * a = a2S，a * a * a= a2* a= a3S，依次类推，anS，而当运算*不满足结合律时，an无意义。此断言错误。 （6）此断言不正确。因为*未必

20、是S上的运算，即有可能x,yS，而x *y= x * y S。 10设 Aa，b，S为 AA ,即S = f1, f2, f3, f4,诸f由表10.6给定。 表 10.6xf1(x)f2(x)f3(x)f4(x)aaabbbabab （1）给出 S上函数复合运算 的运算表。 （2） 是否有幺元、零元？（3）中哪些元素有逆元，逆元是什么？解：（1）S上运算的运算表为10.7 表10.7 f1 f2 f3 f4 f1 f1 f1 f1 f1 f2 f1 f2 f3 f4 f3 f4 f3 f2 f1 f4 f4 f4 f4 f4 （2）由 运算表可知，f2为其幺元，f1，f4只为其左零元，无右零

21、元，故无零元。由 运算表可知，中只有元素f2 ，f3有逆元，且f2-1 = f2，f3-1 = f311. 对例10.2之（l），（2），（3）中给出的代数结构分别说出一个非平凡的子代数。解：对例102之（1），（2），（3）中的 （1）设F=3n|nN ，则为代数结构的一个非平凡的子代数。设A为全体22整数矩阵的集合，则为代数结构的子代数。代数结构无非平凡的子代数，而设BA，B，则为代数结构的非平凡子代数。 12. 记集合0，1，2，k-l（k为正整数）为Nk，定义Nk上的模k加运算 +k 和模k乘运算k ：其中表示商的整数部分。 考虑代数结构 , , 问下列集合及集合上的运算是否构成以上三

22、代数结构的子代数： （1）0,2,+6 ; 0,2,6 （2）0,3,+6 ; 0,3,6 （3）0,2,4,+6 ; 0,2,4,6 （4）0,1,+6 ; 0,1,6 （5）0,1,3,5,+6 ; 0,1,3,5,6 解：（1）2+62 = 40，2，不为的子代数。 又262 = 40，2，不为的子代数。从而不为的子代数。 （2）0，3上+6 ，6的运算表为10.8：表10.8+603603003000330303由运算表知，+6，6在0，3上封闭，故为的子代数，为的子代数，从而为的子代数。 （3）0，2，4上+6，X6的运算表为10.9 表10.9+602460240024000022

23、40204244024024由运算表知 +6，6在0，2，4上封闭，故为的子代数，为的子代数，从而为的子代数。 （4）1+61=20,1 不为的子代数。 而0,1上6的运算表为10.10:表10.10:601000101由运算表知 6在0,1上封闭, 故为的子代数。但不是的子代数。 （5）1+63=40,1,3,5 不为的子代数。 而0,1,3,5上6的运算表为10.11:表10.116013500000101353033350531由运算表知 6在0,1,3,5上封闭, 故为的子代数。但不是的子代数。10.2 同态、同构及同余内容提要10.2.1同态与同构定义10.9 设及均为代数结构，称函

24、数 h: SS为（代数结构 S到S的）同态映射，或同态（homomorphism），如果对S中任何元素a，b， h（a）= （h（a） (10-3) h（a*b） h（a）* h（b） (10-4)当同态h为单射时，又称h为单一同态；当h为满射时，又称h为满同态；当k为双射时，又称h为同构映射，或同构（isomorphism）。当两个代数结构间存在同构映射时，也称这两个代数结构同构。当h为到的同态（同构）时,称h为S的自同态（自同构）。 式（103）和（104）被称为同态h的保运算性。定义10.10 设h为代数结构到的同态映射，那么称h(S)为h的同态象（image under homomor

25、phism）。定理10.8 设h为代数结构到的同态，那么同态象 h（S）与，*构成的一个子代数。定理10.9 设h是代数结构 到 的同态,h的同态象为（这里*1,*2, *1,*2 均为二元运算），那么 （1）当运算*1(*2)满足结合律、交换律时，同态象中运算*1(*2)也满足结合律、交换律；当运算*1对*2满足分配律时，同态象中运算*1对*2也满足分配律。 （2）如果 关于*1(*2)有么元e或零元O，那么中有关于*1(*2)的么元h（e）或零元h（O）。（3）如果 中元素x有关于*1(*2)的逆元x-1，那么中元素h(x)有关于*1(*2)的逆元h（x-1）。定义10.11 如果h为代数结构到的