完整word版典型环节的频率特性docx.docx
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第5章辅导
频率特性的基本概念
给系统输入一个正弦信号为
xr（t）＝Xrmsinωt
式中Xrm——正弦输入信号的振幅；
ω——正弦输入信号的频率。
当系统的运动达到稳态后，比较输出量的稳态分量和输入波形时就可以发现，稳态输出的频率与输入频率相同，但输出量的振幅及相位都与输入量不同。
可以把系统的稳态输出量写成
式中的A（ω）和（ω）分别为复变函数G（jω）的模和幅角。
A（ω）——G（jω）的模，它等于稳态输出量与输入量的振幅比，叫做幅频特性；
φ（ω）——G（jω）的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相位差，叫做相频特性。
例：
电路的输出电压和输入电压的复数比为
式中
图
1
频率特性的求取方法
频率特性一般可以通过如下三种方法得到：
1.根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和
输入正弦的复数之比即得；
2．根据传递函数来求取；
3．通过实验测得。
线性系统，xr（t）、xc（t）分别为系统的输入和输出，G（s）为系统的传递函数。
输入用正弦函数表示
xr（t）＝Asinωt
设系统传递函数为
（
重要结论：
对正弦输入而言
系统的频率特性可直接由
G（jω）=Xc（jω）/Xr（jω）求得。
只要把线性系统传递函数
G（s）中
的算子s换成jω，就可以得到系统的频率特性
G（jω）。
即
G（j）
G（s）sj
频率特性的表示方法
1.幅相频率特性
设系统（或环节）的传递函数为
bmsm
bm1sm1
b0
G（s）
an1sn1
a0
ansn
令s=jω，则其频率特性为
G（j）
bm（j）m
bm1（j）m1
b0
P（
）jQ（）
an（j）n
an1（j）n1
a0
其中，P（
）为G（j
）的实部，称为实频特性；Q（
）为G（j
）的虚部，称为虚频特性。
G（j）P2（）Q2（）ej（）
A（）ej（）
式中，A（
）为频率特性的模，即幅频特性，
2
A（）P2（）Q2（）；
（）为频率特性的幅角或相位移，即相频特性，
（）arctanQ（）。
P（）
2.对数频率特性
对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。
对数频率特性曲线又称为伯德（Bode）
图，它包括对数幅频和对数相频两条曲线。
对式两边取对数，得
lgG（j）lgA（）j（）lgelgA（）j0.434（）
这就是对数频率特性的表达式。
通常不考虑0.434这个系数，而只用相位移本身。
在实际应用中，频率特性幅值的对数值常用分贝（dB，decibel）表示，其关系式为
L（）20lgA（）dB
横坐标为频率，但按lg刻度。
因此，频率每变化十倍，横坐标轴上就变化一个单位长度，称为“十倍频程”。
对数相频特性的纵坐标表示相位移，是线性刻度，单位是“度”。
横坐标与幅频特性的横坐标相同。
对数频率特性的坐标如图所示。
图对数坐标
3
典型环节的频率特性
一.比例环节
比例环节的传递函数为
G（s）K
以j取代s，得其频率特性为
G（j）Kj0Kej0
比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别为
L（）20lgK
（）0
比例环节的频率特性
二.积分环节
积分环节的传递函数为
G（s）
1
s
其频率特性为
G（j）
1
j1
j
幅频特性为
1
A（）
相频特性为
（）
2
对数幅频特性为
L（）20lgA（）
20lg
4
图5-8积分环节的幅相频率特性
积分环节对数幅频特性是一条斜率为－20dB／dec的直线，它在＝1这一点穿越零分
贝线；相频特性与频率无关，在由0时，其为平行于横轴的一条直线。
图积分环节的对数频率特性
三.惯性环节
惯性环节的传递函数为
G（s）
1
Ts1
其频率特性为
1
G（j）
Tj1
1、幅相频率特性
幅频特性为
1
A（）G（j）
1（T）2
相频特性为
（）G（j）arctanT
惯性环节的对数频率特性
5
四.振荡环节
振荡环节的传递函数为
G（s）
1
2Ts
1
T2s2
式中，T为时间常数；ζ为振荡环节的阻尼比（
0<ζ<1）。
其频率特性为
G（j）
1
T
2
2
2Tj
1
振荡环节的对数幅频特性为
L（）
20lgA（
）
20lg
（1T2
2）2
（2T）2
在低频段，
T<<1（即<<1）时，Ｌ（
）-20log1＝0dB。
这是一条与横轴重合的直线，
T
即低频渐近线。
在高频段，当
T>>1，即
>>1，L（
）
20lgT2
2
40lg（T）
T
这说明高频渐进线是一条斜率为
-40dB／dec的直线。
两条渐进线在
＝1＝n点相交，故振荡系统的固有频率就是其转角频率。
T
在
振荡环节的对数频率特性
6
五.微分环节
微分环节的传递函数为
G（s）s
其频率特性为
G（j）j
对数幅频特性为
L（）20lgA（）20lg
微分环节的频率特性
六.一阶微分环节
其传递函数为
G（s）s1
频率特性为
G（j）j1
对数幅频特性为
L（）20lg1（）2
一阶微分环节的对数频率特性
7
最小相位系统
凡是在s右半平面上没有极、零点的系统，称为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。
从频率特性的角度看，具有相同幅频特性的一些系统，可以有不同的相频特性，其中在任意大于零的频率下，相位滞后都是最小的系统，称为最小相位系统。
控制系统的开环对数频率特性
一个复杂系统的开环传递函数G（s）往往由几个典型环节串联而成，即
其频率特性为
G（j）G1（j）G2（j）Gn（j）
A1（）ej1（）A2（）ej2（）
An（）ejn（）
A（）ej（）
式中
A（）
A1（）A2（）
Ai（）
（）
1（）2（）
i（）
对数幅频特性为
L（）20lgA（）20lgA1（）20lgA2（）20lgAi（）
L1（）L2（）Li（）
绘制系统的开环对数频率特性曲线（波德图）的步骤为：
1）把系统的开环传递函数化为标准形式——典型环节的传递函数之积，并分析各环节。
2）求出各转角频率1，2，等等，并按大小将它们标在频率轴上。
3）在＝l处垂直向上量出幅值201ogK（dB），得到a点，这里K为开环放大系数。
通
过a点画出L（）的低频渐近线，其斜率为-20（dB／dec）。
这里
为系统含有积分环节的个
数。
4）
以后每遇到一个转角频率，就改变一次渐近线斜率。
遇到（l+Tj
）
1，斜率改变±20dB
／dec；遇到[1+T（j）+（Tj）2]1，斜率改变±40dB／dec。
5）
对渐近线进行修正，便可画出精确的对数幅频特性曲线
L（
）。
6）画出系统每个组成环节的对数相频特性曲线，然后将它们在各个相同频率下相加。
即得系统的开环对数相频特性曲线（）。
8
用频率特性分析系统的稳定性
例：
某系统的开环传递函数为
绘其开环奈奎斯特曲线，并判别其闭环系统的稳定性。
【解】该系统开环频率特性为
上面这两个特殊点确定了奈氏曲线的变化趋势。
再计算几个对应不同
值的Gk（j
）值，
便能绘制出如图
所示的奈奎斯特图。
当K增大时，Gk（j）曲线将成比例地向外扩张，但形状不变，并且不会包围（-1，j0）点，已知开环传递函数中没有右极点。
因此，该闭环系统总是稳定的。
对数频率特性稳定判据
【例】已知系统的开环传递函数为
G（s）H（s）
300
2s100）
s（s2
试用对数稳定判据判别系统的稳定性。
【解】绘制系统对数频率特性曲线，如图所示
9
系统对数频率特性曲线
因为振荡环节的阻尼比为0.1，在转折频率处的对数幅频值为
20lg120lg20.114dB
2
由于开环有一个积分环节，需要在相频曲线＝0+处向上补画π/2角。
根据对数判据，
在L（）0的所有频率范围内，相频（）曲线在-1800线有一次负穿越，且正负穿越之差不为零。
因此，闭环系统是不稳定的。
10
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