普通高等学校招生全国统一考试全国卷.docx
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普通高等学校招生全国统一考试全国卷
1.
A.12iB.12iC.2iD.2i
解.口（3i）（1i）
42i
2
选D
2.设集合A
A{1,3}
•77（1i）（1i）
2i
{1,2,4},B{x|x24xm0}.若a["]b{1},则B
B.{1,0}C{1,3}D{1,5}
解:
TA『|B{1}
1B
1满足方程x24xm0
即：
241m0
m3
；方程x24x30
的解为x1或x3
B{1,3}
选C
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层,
红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一
座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A1盏B.3盏C.5盏D.9盏
解：
每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列{an}
:
其前7项和S7381，公比q2
'*a!
（127）
1381
12
解之得：
印3选B
4•如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的
三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.90B.63C.42D.36
■
\
—
j
A
>
■
■
*
—
、
—
j
k
/
4-
1
J
A
/
、
底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，
其体积V
3210-32663
2
2x3y
30
5.设x,
y满足约束条件2x3y
30,则z2x
y30
A.15
B.9
C.1
解：
该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去
y的最小值是
D.9
1,
-J-
-flr
%-V
-J
解：
画出可行域ABC
由y3得：
B（6,3）
2x3y30
当直线z2xy经过B（6,3）时目标函数z取得最小值zmin15
选A
，每项工作由1人完
D.36种
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成成，则不同的安排方式共有
A12种B.18种C.24种
解：
分为两步
第一步：
把4项工作分成3组，即2,1,1，
C2c1
有呼6种不同的分法
A2
第二步：
把以上3组工作分配给3个人
有AA6种不同的安排方法
据乘法原理知：
共有66=36种不同的安排方法
7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩•老师
说：
你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。
看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩。
根据以上信息，贝y
A乙可以知道四人的成绩B•丁可以知道四人的成绩
C乙丁可以知道对方的成绩D乙丁可以知道自己的成绩
解：
四人中有2位优秀，2位良好
由于甲知道乙丙的成绩，
但还是不知道自己的成绩，
则乙、丙必有1位优秀，1位良好；甲、丁必有1位优秀，1位良好。
乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩
选D
8.执行下面的程序框图，如果输入的a
1,则输出的s=
D.5
A2B.3C.4
_\K=K+]\
解运行程序框图:
（1）a
1,S
0,K
1,K
6成立；
⑵S
0（
1）1
1,a
1,K
2,K
6成立；
⑶S
1
12
1,a
1,K
3,K
6成立；
⑷S
1（
1）3
2,a
1,K
4,K
6成立；
（5）S
2
14
2,a
1,K
5,K
6成立；
（6）S
2（
1）5
3,a
1,K
6,K
6成立;
（7）S
3
16
3,a
1,K
7,K
6不成立
输出
S3
选B
2
9若双曲线C:
笃
a
2
爲1（a0,b0）的一条渐近线被圆E:
（x2）2b
4所截得的弦长为2,则C的离心率为
ABCABG中，ABC120°,AB2,BCCCi
10.已知直三棱柱
则异面直线AB1与BCi所成角的余弦值为
A'3D15
A.B-
25
解：
将直三棱柱ABCA1B1C1补成
四棱柱ABCDABCD”连接AD,BDd
1111111
则AD1||BC1
B1AD1或其补角为异面直线AB1与86所成的角
1111
0
ABC1200，AB2,BCCC11
AB15,AD1.2
在B1D1C1中，
111
0
B1C1D1600,B1C11,C1D12
B1D112—22一2一1一2一cos600■.3
解：
f（x）[x2（a2）xa1]ex1"x2是函数f（x）的极值点
2是x2（a2）xa10的根
a1
f（x）（x2）（x
x（,2）
f（x）
f（x）/
f（x）f
（1）
1）ex1
2（2,1）1（1,）
选A
y」
//
k
■\
1M!
i
B0
11J1—
C
解：
以正三角形ABC的底边BC所在直线为X轴以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系则:
（0,.3）,B（1,0）,C（10），设P（Xy）
则PA（x,..3y），PB（1,x,y）
PJ（1J,站
PA（PBPC）（x,.3y）（2x2y）
2x22（y
33
22（当且仅当x0,yy时取等号）
选B
13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放
回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数，则DX=（）
解：
:
X〜B（100,0.02）
DX1000.02（10.02）1.96
.3
14.函数f（x）sin2xGcosx-（x[0,]）的最大值是（）
42
cos2x3cosx-
4
/A24
（cosx）1
2
；x[0,，]cosx[0,1]
n1
15.等差数列佝｝的前n项和为Sn,a33,S410,则（
k1Sk
解：
设等差数列｛an｝的首项为a1
公差为d
a1
解之得：
d11
d1
Sn
n（n1）
k1Sk
2n
16已知F是抛物线C:
y28＞的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y
轴于点N。
若M为FN的中点，则|FN|=（）
解：
;抛物线C:
y28＞的焦点为F（2,0）
准线是x2
xM1
|MF|1
（2）3
|FN|2|MF|6
2B
17•在ABC中，已知sin（AC）8sin-
2
（1）求cosB；
⑵若ac6,ABC的面积为2,求b.
解：
1）"acb
I
sin（AC）sinB
2B
sinB8sin4（1cosB）
2
2
17cosB32cosB150
“OB1cosB1
i
c15
cosB
17
（2）sinB—
17
4
ac22ac17
17
222
bac2accosB
2
（ac）2ac（1cosB）
6217（1鸟4
17
b2
18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：
kg），其频率分布直方图如下:
（1）记A表示事件旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的99%把握认为箱产量与养殖方法
有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.
III帘龄链
a
nad
bc2
bcdacb
d
（n
a
bcd）
PK?
》ko.o5O0.0100.001
3.8416.63510.828
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关
（3）旧养殖法100个网箱产量的平均数
X旧=（27.5
0.012+32.5
0.014+37.5
0.024
+42.5
0.034+47.5
0.040+52.5
0.032
+57.5
0.032+62.5
0.012+67.5
0.012）5
=47.1
（1）P（0.0120.0140.0240.0340.040）50.62
新养殖法100个网箱产量的平均数
X新=（37.50.004+42.50.02+47.50.044+52.50.054+57.50.046+62.50.010+67.50.008）5=52.35
H_-
x旧X新,
新养殖法更加优于旧养殖法
19.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,
1
ABBCAD,BADABC90°，E是PD的中点.
2
（1）证明：
直线CE||平面PAB
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角MABD的余弦值.
p
D
B
C
D
B
C
P
解：
⑴取PA的中点F，连接EF,BF
l1E是PD中点
I
1
EF||AD,EFAD
IIBADABC90°
l
1
BC||ADBCAD
2
EF||BC,EFBC
四边形BCEF是平行四边形
CE||BF
:
BF平面PAB,CE平面PAB
CE||平面PAB⑵过A作AN平面ABCD
11BAAD
l
AB、AD、AN两两相互垂直以A为坐标原点，以AB、AD、AN所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系
贝UA（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,P（0,1,.3）PC（1,0、3）,AB（1,0,0）
设M（x,y,z）（0BM（x1,y,z）；BM与底面ABCD所成的角是450,k（0,0,1）是底面ABCD的法向量
|z|返
V（x1）2y2z22
（x1）2y2z20||川|①
y21上，过M作x轴的垂
:
M在棱PC上，设pMpC则x,y1,z3.3川HI②
由①②解之得：
M（1_2,1_J）
AM（i$,i,f）设n（Xo,y°,zo）是平面AMB的法向量
nAMo
由
nABo
得:
（2勺'2）xo2yo^^"zo0Xo0
取n（0,.6,2）
cosn,k
nhnk,
cosn,k
In'||k
2
20.设O为坐标原点，动点M在椭圆C:
线，垂足为N，点P满足NPv2nM.
（1）求点P的轨迹方程；
⑵设点Q在直线x3上，且满足OPPQOQ的直线I过C的左焦点F.
解：
（1）设P（x,y）,M（Xo，y。
）则N（Xo,O），
NP（xx0,y）NM'
⑵F（1,0）
设QC3,t）,P
则OQ（3,t）,OQpF33m
3m,tn）
OP（m,n）,pQ（
OPPQ1
2
3mmnt
“22
pmn2
33mntoQpF,ooqpf
1"过点P且垂直于OQ的直线有且只有一条"过点P且垂直OQ的直线l过c的左焦点F
21.已知函数f（x）ax2axxlnx,且f（x）0
（1）求实数a的值；
⑵证明：
f（x）存在唯一的极大值点x0,且e2f（x0）2
解:
（1函数f（x）的定义域为（0,）令g（x）axalnx（x0）
1
g（x）a（x0）
x
则f（x）xg（x）
f（x）0g（x）0
；g
（1）0,g（x）0恒成立必需有g
（1）a10
即必需a1
此时g（x）x1Inx
1x1
g（x）1■
xx
x（0,1）1（1,）
g（x）t0
g（x）
g（x）g
（1）0满足题意
综上知：
a1
2
⑵f（x）x
f（x）
f（x）
xxlnx
2x2Inx
1
2-（x0）
x
1
（o,;）
2
f（x）
f（x）
I
«当x
1
f
（2）
x0
*f
（1）
x
11
-（;,）
22
0
（x）
ln210
1
（0,—）,使得f%）0
2
0
（0,x））
X。
0
（x°,1）
f（x）f（x）
xx0是函数f（x）的唯一极大值点由f（x0）0,
f（x。
）X°（1
1（0<）
2
得Inxo
x°）
f（x0）
1（1,）
0
2（x01）
x0是f（x）在（0,1）的最大值点（0,1）,f（e1）0
f（x°）f（e'）e
e2f（R22
、■“1\2
X正半轴为极轴建立极
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，坐标系，曲线G的极坐标方程为cos4。
（1）M为曲线G上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16.求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
⑵设点A的极坐标为（2,），点B在
（1）中的曲线C2上,求OAB面积的最
3
大值.
解:
⑴设p的极坐标为（，）（0）
M的极坐标为（“’）（’0）
4
cos
4cos（0）
（x2）2y24（x0）
则：
|OP|,|OM|1
"|OM||OP|16
'曲线C2的极坐标方程为
曲线c2的直角坐标方程为
（2）设点B的极坐标为（B,）（B0）
|OA|
2,|
B|4cos
SOAB
1
尹|
BsinAOB
4cos
|sin（
3）|
2|sin（2-）
¥
23
时，S
12
OAB取得最大值
2
2
xc：
—
2
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