快速卷积MATLAB实现.docx
《快速卷积MATLAB实现.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《快速卷积MATLAB实现.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
快速卷积MATLAB实现
快速卷积MATLAB实现
摘要
在信号处理中，许多具体的应用是以线性卷积为基础的。
当序列点数较少时可以直接计算线性卷积，然而当序列长度很长时，直接计算卷积的运算量非常庞大。
快速卷积是实现卷积的一种快速算法，减少了运算量，节约了时间，给我们计算卷积提供了很大的便利。
本课程设计是以Matlab为基础，完成序列的卷积和快速卷积运算的编程实现，以及相应的分析和比较。
关键字：
Matlab卷积快速卷积
1.基于设计题目的原理简介
卷积是数字信号处理（DSP）系统中最常见的，也是最重要的运算之一，无论在时域或频域都离不开卷积运算，FFT是DFT的快速算法，当满足一定条件时可用来计算线性卷积，称为快速卷积。
Matlab具有强大的矩阵运算能力，方便实用的绘图功能和语言的高度集成性，在DSP开发中，使用Matlab可以快速对系统进行仿真运算。
1.1序列卷积的定义
设x（n）和h（n）是两个离散序列，进行下列求和运算：
这样，随着n的不同取值，这个求和公式就定义了一个新序列y（n），称为序列x（n）与h（n）的卷积，记为y（n）=x（n）*h（n）。
由于DSP主要依靠计算机完成，而计算机无论在时域或频域只能处理有限长的离散信号。
此时只需令上述公式中的n在一个范围内取值即可。
1.2快速傅里叶变换FFT概念
DFT就是对序列频谱的离散化，在数字信号处理中有着重要的作用，但直接计算DFT的运算量非常大，它与序列长度的平方成正比，因此制约了DFT的应用。
快速傅里叶变换FFT是实现DFT的一种快速算法，能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。
因而FFT也有重要的作用，下面一节要介绍的快速卷积就是其应用之一。
1.3快速卷积方法及实现
在信号处理中，许多具体的应用是以线性卷积为基础的。
我们知道，当满足一定条件（L≥M+N-1）时，可以用圆周卷积来计算线性卷积。
由圆周卷积定理知道，圆周卷积可以借助DFT来运算，因此DFT的快速算法FFT就可以用来计算线性卷积。
设x1（n）与x2（n）分别是长度为N与M的有限长序列，它们的线性卷积为yl（n），L点的圆周卷积为yc（n），它们的关系为:
yc（n）=∑yl（n+rL）RL（n）
快速卷积算法过程的示意图如图1.1所示。
在实际应用中，常遇到的问题是参加卷积的两个序列的长度相差较大，这样长度小的序列就需补很多的零点，这样就需要大的存储量，运算时间也会变长。
常用的解决方法有两种，一是重叠想加法，另一种是重叠保留法。
这里不作介绍。
图1.1快速卷积示意图
1.4直接卷积和快速卷积分析比较
快速卷积，顾名思义，其重点在一个“快”，如果对卷积速度要求较高，快速卷积无疑是理想的工具。
当然，为了提高速度，就要牺牲面积和功耗。
而且由上一节的介绍可知，快速卷积运算的步骤较多，因而当序列较短时快速卷积运算并没有优势，直接进行卷积运算反而更简便。
卷积计算的方法选择要视实际情况而定。
2.程序设计及运行结果分析
2.1题目一
已知线性非移变系统的h（n）=[6,2,3,6,4,2]，输入为x（n）=[1,2,3,4,5]；
（1）用人工计算系统输出y（n）；
（2）编写程序输出y（n），并作图。
2.1.1人工计算
长度为N=6的序列h（n）和长度为M=5的序列x（n），卷积y（n）的序列长度为（M+N-1）=10， 计算过程如下：
y
（1） = h
（1）•x
（1） =6
y
（2） = h
（1）•x
（2）+h
（2）•x
（1） =14
y（3） =h
（1）•x（3）+h
（2）•x
（2）+h（3）•x
（1） = 25
…
y（n） = h
（1）•x（n）+h
（2）•x（n-1）+ … +h（n）•x
（1） …
y（M+N-1） = h
（1）•x（M+N-1）+h
（2）•x（M+N）+h（3）•x（M+N+1）+…+h（M+N-1）•x
（1） =10
所得的结果为y（n）=[6，14，25，36，63，50，55，52，28，10]。
2.1.2程序设计
在Matlab中实现卷积的函数conv，可以直接调用。
设计程序如下：
h=[6,2,3,6,4,2];
x=[1,2,3,4,5];
y=conv（h,x）;%调用conv函数直接计算线性卷积
stem（y）;%画出卷积结果h（n）的序列图
title（'y（n）'）
2.1.3运行结果及分析
程序运行后，得到的卷积结果y（n）如图2.1所示。
图2.1编程得到的卷积结果y（n）
由图2.1可看出，编程得到的卷积结果序列y（n）与自己先前计算的结果相同，说明所设计的程序是正确的，得到了正确的结果。
图2.1编程得到的卷积结果y（n）
2.2题目二
用函数conv和FFT计算长为1000序列的卷积，比较其计算时间。
2.2.1设计内容及原理分析
本题目的在于比较直接卷积和快速卷积的计算时间，分析其优劣性。
由1.3节可知快速卷积算法如下：
（1）序列补零：
将两序列都补零到L点；
（2）计算X1（k）=FFT[x1（n）]；
（3）计算X2（k）=FFT[x2（n）]；
（4）计算Y（k）=X1（k）X2（k）；
（5）计算y（n）=x1（n）*x2（n）=IFFT[Y（k）]。
本题中已经给定两原序列的长度M=N=1000，则L≥M+N-1，而因为快速卷积的基础是FFT，所以要求L满足L=2n，为减少运算量选取L=2048。
设两原序列分别为：
x1=0.5sin（2*n）；x2=n^3
计算时间的获取方法为：
计算前先调用clock函数读取瞬时时钟，待计算结束后，调用etime（t1，t2）函数计算时刻t1，t2间所经历的时间。
2.2.2程序设计框图
图2.2程序设计框图
2.2.3程序代码
N=1000;
L=pow2（nextpow2（1000+1000-1））;%计算L的值
n=1:
N;
x1=0.5*sin（2*n）;x2=n.^3;
t0=clock;%调用clock函数读取瞬时时钟
yc=conv（x1,x2）;%用函数conv计算卷积
conv_time=etime（clock,t0）%调用etime函数计算时间
t0=clock;
yf=ifft（fft（x1,L）.*fft（x2,L））;%用函数FFT计算卷积
fft_time=etime（clock,t0）
subplot（321）,stem（x1,'.'）;ylabel（'x1（n）'）;
subplot（322）,stem（x2,'.'）;ylabel（'x2（n）'）;
subplot（312）;stem（real（yc）,'.'）;ylabel（'直接卷积y（n）'）;
subplot（313）;stem（real（yf）,'.'）;ylabel（'快速卷积y（n）'）;
2.2.4运行结果及分析
用函数conv和FFT计算长为1000序列的卷积的结果如图2.3，计算时间如图2.4。
可以看出，两种方法所计算出的卷积结果是一样的。
再来看时间，用函数conv计算该卷积需要0.0070s，而用FFT计算该卷积需要0s。
由此可以得出，当序列长度为1000时，FFT算法所消耗的时间远小于函数conv要消耗的时间。
图2.3函数conv和FFT计算长为1000序列的卷积的结果
图2.4函数conv和FFT的计算时间
2.3题目三
用快速卷积法计算
和
两个序列的卷积；并测试直接卷积和快速卷积的时间。
2.3.1设计内容及原理分析
用快速卷积计算两个序列卷积的方法与题目二中的一样，区别仅在于序列的长度没有给出，这里不再重复计算过程。
为了做对比分析，两个原序列的长度M和N取两组值进行仿真，分别取M=50，N=46和M=800，N=1000。
2.3.2程序设计框图
程序设计框图与题目二一样，如图2.2所示。
2.3.3程序代码
xn=0.9.^（1:
800）;
hn=1.^（1:
1000）;
L=pow2（nextpow2（800+1000-1））;%计算L值
tic;
yc=conv（xn,hn）;%直接计算卷积
toc;%计算时间
tic;
Xk=fft（xn,L）;%求x（n）的快速傅里叶变换X（k）
Hk=fft（hn,L）;%求h（n）的快速傅里叶变换H（k）
Yk=Xk.*Hk;%求Y（k）
yf=ifft（Yk,L）;%用IFFT求快速卷积yf
toc;%计算时间
subplot（221）,stem（xn,'.'）;title（'x（n）'）;
subplot（222）,stem（hn,'.'）;title（'h（n）'）;
subplot（212）,ny=1:
L;stem（real（yf）,'.'）;title（'快速卷积y（n）'）;
2.3.4运行结果及分析
（1）M=50，N=46
卷积结果及计算时间分别如图2.5和图2.6所示（直接卷积的计算时间在上，快速卷积的计算时间在下）。
图2.5M=50，N=46时的快速卷积
图2.6M=50，N=46时的计算时间
（2）M=800，N=1000
卷积结果及计算时间分别如图2.7和图2.8所示（直接卷积的计算时间在上，快速卷积的计算时间在下）。
图2.7M=800，N=1000时的快速卷积
图2.8M=800，N=1000时的计算时间
可以看出，当M=50，N=46时，快速卷积的计算时间比直接卷积的要长；而当M=800，N=1000时，快速卷积的时间更短。
这说明：
当序列的点数比较少时，快速卷积并不占有优势，所用时间反而比直接卷积长，只有在序列较长时，快速卷积才体现出“快”的优势。
3.心得体会
本次课程设计我的题目是——序列的卷积和快速卷积运算的编程实现，因为我们已经学习过信号与系统和Matlab应用实践课程，对序列的卷积和Matlab仿真并不陌生；而且此次题目卷积和快速卷积在课本上能找到相关的内容，老师在授课时已经讲得很详细，我对这部分的内容也比较熟悉。
所以这次课程设计做的比较顺利，没有遇到什么大的难题，只是有一些小的细节影响了设计的进程，比如函数名的拼写等。
这让我体会到，即使是比较容易的事情时，在对待它时也要很认真仔细，就像我们常说的：
细节决定成败。
数字信号处理是本专业的一门重要课程，与它相关性最强的软件就是Matlab，这次课程设计给我提供了一个用Matlab实现序列卷积和快速卷积的机会，通过编程得到了和理论一致的结果。
不仅加深了我对序列卷积和快速卷积这部分内容的理解，而且提高了我的程序编写和纠错能力，也进一步熟悉了Matlab的操作。
但这是远远不够的，卷积只是数字信号处理中比较简单的一部分，这门课程还有许多值得我们去实践和探究的地方，我现在的目标就是在假期将本课程其它几个课设题目都操作一遍，以进一步提升自己各方面的能力。
作为一名电子信息工程专业的学生，熟练掌握相关软件的操作是一门必修课，否则就算理论知识学得再好，不会应用，也只是纸上谈兵，不会真正取得什么成果，毕业之后在工作上也会很吃力。
而我们并没有专门的课程来学习这些软件，所以这就需要我们平时多多利用课余时间来自学。
现在互联网又发达，我们应充分利用这些资源，通过不断地积累知识来提高的能力。
参考文献
[1]刘泉等.数字信号处理原理与实现（第2版）[M].北京：
电子工业出版社，2009.
[2]程佩青.数字信号
升级会员 