2、函数的奇偶性
定义：
设函数y=f（x）的定义区间D关于坐标原点对称（即若xwD,则有-xwD）
⑴偶函数f（x）——Vx^D,恒有f（—x）=f（x）。
（2）奇函数f（x）——VxwD,恒有f（—x）=-f（x）o
三、基本初等函数
1、常数函数：
y=c,定义域是（-g,〜），图形是一条平行于x轴的直线。
2、哥函数：
y=xu,（u是常数）。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数
定义：
y=f（x）=ax,（a是常数且a>0,a=1）.图形过（0,1）点。
4、对数函数
定义：
y=f（x）=logaX,（a是常数且a>0,a=1）。
图形过（1,0）
5、三角函数
（1）正弦函数：
y=sinx
T=2兀，D（f）=（i"）,f（D）=[—1,1]。
（2）余弦函数：
y=cosx.
T=2兀，D（f）=（i"）,f（D）=[—1,1]。
（3）正切函数：
y=tanx.
T=冗,D（f）={x|xwR,xW（2k+1）万,k£Z},f（D）=（-℃+«）.
（4）余切函数：
y=cotx.
T=n,D（f）={x|xwR,x#kn,kwZ},f（D）=—.
5、反三角函数
（1）反正弦函数：
y=arcsinx,D（f）=[—1,1],f（D）=[-——]°
2,2
（2）反余弦函数：
y=arccos<,D（f）=[—1,1],f（D）=[0,n]。
⑶反正切函数：
y=arctanx,D（f）=（3,依），f（D）=（-——）o
2'2
（4）反余切函数：
y=arccotx,D（f）=（-°o,-hc）,f（D）=（0,n）。
极限
一、求极限的方法
1、代入法
因此遇到大部分
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。
简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
（3）利用极限的四则运算法则求极限。
（4）利用等价无穷小量代换求极限。
（5）利用两个重要极限求极限。
（6）利用罗比达法则就极限。
、函数极限的四则运算法则
设limu=A,limv=B,则x>'x>■
（1）lim.（u±v）=lim'u±lim.v=A±B
xL，xL，xL，
（2）lim（uv）=limu，limv=AB.
xJ，xJ，x
推论
（a）lim（Cv）=Climv,（C为常数）。
xj/.x"
（b）limun=（limu）nj/x）.
ulimuA
（3）lim—=一,（B#0）.
JvlimvB
x>.
（4）设P（x）为多项式P（x）=a（）xn+aixn，+an,则limP（x）=P（x0）x%
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：
当xt0时，sinx~x,tanx~x,arctanx~x,x12
arcsinx~x,ln（1+x）~x,e-1~x,1-cosx~-x。
对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：
当口->0时，sinD~D,其余类似。
四、两个重要极限
sinx
重要极限Ilim——=1。
x-0x
它可以用下面更直观的结构式表示：
lim皂口=1
□T□
八、洛必达（L'Hospital）法则
“0”型和“三”型不定式，存在有limf®=limfix）=A（或00）。
0二X声g（x）X卢g（x）
一元函数微分学
一、导数的定义
设函数y=f（x）在点X。
的某一邻域内有定义，当自变量x在X。
处取得增量Ax（点x0十Ax仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Ay=f（x0+Ax）-f（x0）。
如果当
△xt0时，函数的增量Zky与自变量Ax的增量之比的极限
lim—=limf（x0+Ax）~f（x0）=f*（x^注意两个符号Ax和x0在题目中可能换成其
x0xx0x
他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（1）（C）'=0（C为常数）
（2）㈠口广双仪,（口为任意常数）
（3）（ax）'=axlna（aA0,a#1）特殊情况（ex）'=ex111
（4）（logax）=-logae=（xa0,aa0,a=1）,（lnx）=一
xxlnax
⑸（sinx）'=cosx
（6）（cosx）'=-sinx
1
⑺（tanx）=2-
cosx
一,.、,1
（9）（arcsinx）=（-1[x[1）
-1-x2
，1
（10）（arccosx）=一一（-1以口）..1-x2
（11）
（12）
（arctanx）=-
1x2
,、,1
（arccotx）=-2
2、导数的四则运算公式
（1）[u（x）±v（x）]'=u'（x）±v'（x）
（2）[u（x）v（x）]'=u'（x）v（x）+u（x）v'（x）
（3）[ku]'=ku'（k为常数）
（如:
u（x）】_u'（x）v（x）—u（x）v'（x）\4/-2
'v（x）1v（x）
3、复合函数求导公式：
设y=f（u）,u=/x）,且f（u）及中（x）都可导，则复合函数
y=f[率（x）]的导数为dy=电包=f'（u）W,（x）。
dxdudx
三、导数的应用
1、函数的单调性
_'._、
f（x）A0则f（x）在（a,b）内严格单调增加。
_'_
f（x）C0则f（x）在（a,b）内严格单调减少。
2、函数的极值
_'....._.....
f（x）=0的点一一函数f（x）的驻点。
设为Xo
（1）右X'.一一'
（2）右xx0时，f（x）A0,则f（Xo）为f（x）的极小值点。
'
（3）如果f（x）在Xo的两侧的符号相同，那么f（Xo）不是极值点。
3、曲线的凹凸性
_._..、一
f（x）>0,则曲线y=f（x）在（a,b）内是凹的。
_"_、
f（x）<0,则曲线y=f（x）在（a,b）内是凸的。
4、曲线的拐点
，…、一一'',、,..._.
（1）当f（x）在x0的左、右两侧异号时，点（x0,f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，此时
f（xo）=0.
⑵当f（x）在x0的左、右两侧同号时，点（x0,f（x。
））不为曲线y=f（x）的拐点。
5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。
四、微分公式
dy=f（x）dx,求做分就是求导数。
一元函数积分学
一、不定积分
1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。
公式可以用求导公
式来记忆。
2、不定积分的性质
（1）[』f（x）dx]'=f（x）或d』f（x）dx=f（x）dx
⑵JF'（x）dx=F（x）+C或JdF（x）=F（x）+C
（3）][f（x）±@（x）±…±W（x）]dx=ff（x）dx±"（x）±…±F（x）dx。
（4）Jkf（x）dx=kJf（x）dx（k为常数且k#0）。
2、基本积分公式（要求熟练记忆）
（1）j0dx=C
⑵Jxadx=」-xa++C（a=-1）.
a1
1一一
（3）J—dx=inx+C.
x
V1
（4）fadx=a+C（a>0,a#1）
Ina
（5）jexdx=ex+C
（6）Jsinxdx=-cosx+C
⑺Jcosxdx=sinx+C
——2—dx=tanxC.cosx
—2—dx=—cotx■C.sinx
对不定彳散分（g（x）dx,将被积表达式g（x）dx凑成
g（x）dx=fW（x）］率（x）dx=f甲（x）d，（x）,这是关键的一步。
常用的凑微分的公式有:
1.
（1）f（ax+b）dx=—f（ax+b）d（ax+b）
a
（2）f（axk+b）xk'dx=—f（axk+b）d（axk+b）ka
⑸f（ex）exdx=f（ex）d（ex）
.1
（6）f（lnx）—dx=f（lnx）d（lnx）x
⑺f（sinx）cosxdx=f（sinx）d（sinx）
（8）f（cosx）sinxdx=-f（cosx）d（cosx）
1
（9）f（tanx）2—dx=f（tanx）d（tanx）
cosx
1
（1。
）f（cotx）—2—dx=-f（cotx）d（cotx）sinx
4、分部积分法
udv=uv-vdu
、定积分公式
1、（牛顿―莱布尼茨公式）如果F（x）是连续函数f（x）在区间［a,b］上的任意一个原函数,
b
则有[f（x）dx=F（b）—F（a）。
a
2、计算平面图形的面积
如果某平面图形是由两条连续曲线
y1=g（x）,y2=f（x）及两条直线X1=a和X2=b所
围成的（其中y1是下面的曲线，丫2是上面的曲线），则其面积可由下式求出:
S=a[f（x）-g（x）]dx.a
3、计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线y=f（x）（f（x）>0）和直线
x=a,x=b（a面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。
则该旋转
体的体积V可由下式求出：
b2b2
Vx=Jf（x）dx=二af（x）dx.
多元函数微分学
1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。
2、全微分公式：
dz=df（x,y）=AAx+BAy。
3-复合函数的偏导数一一利用函数结构图
如果u=^（x,y）、v=W（x,y）在点（x,y）处存在连续的偏导数—,—,—，身，xfyfx:
y
且在对应于（x,y）的点（u,v）处，函数z=f（u,v）存在连续的偏导数马,—,则复合函数u.v
z=fW（x,y）W（x,y）］在点（x,y）处存在对x及y的连续偏导数，且
4、隐函数的导数
对于方程F（x,y）=0所确定的隐函数
y=f（x）,可以由下列公式求出y对x的导数y:
一'
Fx（x,y）
'
Fy（x,y）
2、隐函数的偏导数
对于由方程F（x,y,z）=0所确定的隐函数z=f（x,y）,可用下列公式求偏导数:
''
zFx（x,y,z）czFy（x,y,z）
''
xFz（x,y,z）二yFz（x,y,z）
5、二元函数的极值
设函数z=f（x0,y0）在点（x0,y0）的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且
''''''''
fx（x0,y0）=0,fy（x0,y0）=0又设fxx（x0,y0）=A，fxy（x0,y0）=B,fyy（x0,y0）=C,则：
（1）当B2—AC<0时，函数f（x,y）在点（x°,y°）处取得极值，且当A<0
时有极大值，当A>0时有极小值。
⑵当B2—ACA。
时，函数f（x,y）在点（x°,y0）处无极值。
（3）当B2-AC=0时，函数f（x,y）在点（x0,y°）处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。
平面与直线
1、平面方程
（1）平面的点法式方程：
在空间直角坐标系中，过点M0（x0,y0,z0）,以n={A,B,C}为
法向量的平面方程为
A（x-x0）+B（y—y0）+C（z—z0）=0称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
Ax+By+Cz+D=0称之为平面的一般式方程
2、特殊的平面方程
Ax+By+Cz=0表示过原点的平面方程
Ax+By+D=0表示平行于Oz轴的平面方程
Ax+By=0表示过Oz轴的平面方程
Cz+D=0表示平行于坐标平面xOy的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面…1:
Ax♦Biy•Ciz-Di=0
二2:
A2xB2yC2zD2=0
平面巴和n2互相垂直的充分必要条件是：
A1A2+B1B2+C1C2=0
……—ABiCiDi
平面L和（2平行的充分必要条件是：
—二—二—丰—
A2B2C2D2
一一A.BiCiDi
平面。
和冗2重合的充分必要条件是：
一=——=—=—
A2B2C2D2
4、直线的方程
（i）直线的标准式方程过点M0（x0,yO,z°）且平行于向量s={m,n,p}的直线方程
工^=匚也=三二称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）
mnp
常称s={m,n,p}为所给直线的方向向量
（2）直线的一般式方程
A1xB1yC1zD1
A2xB2yC2zD2
5、两直线间关系
设直线11,12的方程为
x—Xiy-yiz-Zi
li：
--
m1n1p1
x-x2_y-y2_z-z2
i：
==
m2n2p2
直线li,l2平行的充分必要条件为~~=一-；m2n2
直线11，l2互相垂直的充分必要条件为m1m2+n1n2+p1p2=0
6、直线l与平面n间的关系
设直线l与平面江的方程为
X-Xoy-yoz-zo
i:
==
mnp
二：
A（x-Xo）B（y-y0）C（z-zo）=0
将初等函数展开成事级数
I、定理：
设f（x）在U（x0,B）内具有任意阶导数，且
f（n+f）书
limRn（x）=0,R（x）=（x-xo）n则在U（xo,5）内
n，二（ni）!
二fZxQn
f（x）-f（xo）（x-xo）nnzon!
称上式为f（X）在点Xo的泰勒级数。
或称上式为将f（X）展开为X=Xo的哥级数。
2、几个常用的标准展开式
1
D1=三Xn
1-Xn-0
n
③e=，
n口n!
一2n/
4sinx=:
（-1）n
心（2n1）!
2n
X
5COSX:
:
（-1）n
n*（2n）!
一；n
X
6ln（1x）=三（一1）一n%n
；n
GX
7ln（1-X）=_Tnin
常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量的微分方程
若一阶微分方程F（x,y,y）=0通过变形后可写成g（y）dy=f（x）dx或y'=f（x）g（y）
则称方程F（x,y,y）=0为可分离变量的微分方程.
2、、可分离变量微分方程的解
方程g（y）dy=f（x）dx必存在隐式通解G（y）=F（x）+C。
其中:
G（y）=g（y）dy,F（x）=f（x）dx.
即两边取积分。
（2）一阶线性微分方程
1、定义：
方程y'+P（x）y=Q（x）称为一阶线性微分方程
（1）非齐次方程一一Q（x）00；
（2）齐次方程——y'+P（x）y=0.
2、求解一阶线性微分方程
_p（x）dx
（1）先求齐次方程y'+P（x）y=0的通解：
y=Ce），其中C为任意常数。
（2）将齐次通解的C换成u（x）。
即y=u（x）e1「"心
（3）代入非齐次方程y'+P（x）y=Q（x）,得
_『P（x）dx一fP（x）dx
y=eq（x）edxC
2、二阶线性常系数微分方程
（1）可降阶的二阶微分方程
1、y*=f（x）型的微分方程
例3：
求方程y"=1e2x—sinx的通解.分析：
y'=fyHxu^e2'+cosx+C1;
24
12x
y=ydxesinxC1xC2.8
2、y“=f（x,y）型的微分方程
解法：
⑴令p=y'，方程化为p'=f（x,p）；
（2）解此方程得通解p=5（x,C1）;
⑶再解方程yH=cP（x,Ci）得原方程的通解
y=（x,Ci）dx■C2.
3、y*=f（y,y）型的微分方程
解法：
⑴令p=y',并视p为y的函数，那么y"=dp=dp,曳=pdp,dxdydxdy
（2）代入原方程，得pdp=f（y,p）dy
（3）解此方程得通解p=邛（y,C1）；
（4）再解方程y^二xC2.
例4:
求方程yy"_y*2=0的通解.
分析：
（1）令p=y',并视p为y的函数，那么丫"=生=中5=p_dp,dxdydxdy
（2）代入原方程,得ypdp_p2=0或dp=dydypy
⑶解上方程，得ln|p|=ln|y|+lnC=p=C1y,（C1=±C）.
F
（4）再解方程y'=Gy=*=Ci=ln|y|=Gx+C2.y
⑸于是原方程的通解为y=C2eCix,（C2=±eC2'）
（2）常系数线性微分方程J
（1）、二阶常系数齐次线性方程y“+py'+qy=0的解。
写出特征方程并求解
2
rprq=0.
一一、一2
下面记A=p-4q,r1,r2为特征万程的两个根.
-2
（1）A=p—4q>0时，则齐次万程通解为：
rix人r2x
y=CieC2e。
（2）A=p2—4q=0时，则齐次方程通解为
y=GerixCzxer1'=erix（CiCzx）.
（3）△=p2-4q<0时，有「1=a+iP,r2=a—iP（P=0）,则齐次方程通解为
y=ecx（CicosPx+C2sinPx）.
（2）二阶常系数非齐次方程解法
方程的形式：
y"+py'+qy=f（x）解法步骤：
（1）写出方程的特征方程r2+pr+q=0；
（2）求出特征方程的两个根r1,r2；
（3）原方程的通解如下表所示
特征方程的根
方程的通解
r1于r
C1er1x+C2er2x
r=q=r2
__rx
（C1+C2x）e
r=a±iP
ecx（C1cosPx+C2sinPx）（Po0）
（4）再求出非齐次方程的一个特斛y（x）；
一一、,__.、一一…、一..一•、•、*.、
（5）那么原方程的通斛为y=C1y1（x）+C2y2（x）+y（x）。
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