重庆市四区学年高一数学下学期联合调研评估测试期末试题.docx
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重庆市四区学年高一数学下学期联合调研评估测试期末试题
重庆市四区2020学年高一数学下学期联合调研评估测试(期末)试题
(时间:
120分钟 分值:
150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=4,a=4
,A=45°,则sinC等于( )
A.
B.
C.
D.
2.函数y=
的定义域为( )
A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,
=4,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.4
4.已知在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,那么cosC的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
5.已知等差数列{an}的前n项和为18,若S3=1,an+an-1+an-2=3,则n等于( )
A.9B.21C.27D.36
6.已知点P(x,y)满足条件
则z=x-3y的最小值为( )
A.9B.-6C.-9D.6
7.如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿________方向行驶________海里至海岛C( )
A.北偏东60°;10
B.北偏东40°;10
C.北偏东30°;10
D.北偏东20°;10
8.设x,y满足约束条件
则z=x-y的取值范围是( )
A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]
9.当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,6)B.(-∞,6]C.[6,+∞)D.(6,+∞)
10.设x,y满足约束条件
若目标函数z=abx+y(a,b>0)的最大值为8,则a+b的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
11.等差数列{an}满足a
+a
+2a4a7=9,则其前10项之和为( )
A.-9B.-15C.15D.±15
12.在各项均为正数的等比数列{an}中,公比q∈(0,1).若a3+a5=5,a2·a6=4,bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,则当
+
+…+
取最大值时,n的值为( )
A.8B.9C.8或9D.17
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,则
的值为________.
14.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3有解,则实数a的取值范围为________.
15.已知数列{an}满足:
a1=1,
-
=1,则使an<25成立的n的最大值为________.
16.已知△ABC的一个内角为120°,且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为________.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分)
17.(10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.
(1)求内角B的大小;
(2)设m=(sinA,cos2A),n=(4k,1)(k>1),m·n的最大值为5,求k的值.
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+2-4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an·log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(12分)甲乙两地生产某种产品,他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A,B,C三地需要该产品数量分别为200吨,450吨,400吨,甲地运往A,B,C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨,5元/吨,乙地运往A,B,C三地的费用分别为5元/吨,9元/吨,6元/吨,问怎样调运,才能使总运费最小?
20.(12分)某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-
(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家年促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
21.(12分)在△ABC中,A,B,C成等差数列,a,b,c分别为A,B,C的对边,并且sinA·sinC=cos2B,S△ABC=4
,求a,b,c.
22.(12分)已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足a1=2,an≠1,(an+1-an)g(an)+f(an)=0.
(1)求证an+1=
an+
;
(2)求数列{an-1}的通项公式;
(3)若bn=3f(an)-g(an+1),求{bn}中的最大项.
2020学年度上期重庆市高中联合调研评估测试
高一数学答案
1.解析由正弦定理得sinC=c·sinAa=4×2=12.
答案A
2.解析由题x+1>0,-x2-3x+4>0⇒-1<x<1.
答案C
3.解析设公差为d,则S4=4a1+6d,S2=2a1+d,结合S4=4S2得d=2,
∴S4=16,S6=36,∴S6S4=94.
答案C
4.解析由题意知,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=3∶2∶4,
设a=3k,b=2k,c=4k,
∴cosC=a2+b2-c22ab=(3k)2+(2k)2-(4k)22·3k·2k=-14.
答案A
5.解析S3+an+an-1+an-2=4=3(a1+an),
∴a1+an=43,
又Sn=n(a1+an)2=3=18,
∴n=27.
答案C
6.解析作出可行域如图所示的阴影部分.
由目标函数z=x-3y得:
y=13x-z3,
∴-z3为直线在y轴上的截距.
∴平移直线l0:
y=13x,当直线经过点A时,z取得最小值.
∵x-y=0,2x+y-9=0,∴x=3,y=3,∴A(3,3).
∴zmin=3-3×3=-6.
答案B
7.解析由已知得在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,
AB=BC=10,故∠BAC=30°,
所以从A到C的航向为北偏东70°-30°=40°,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=102+102-2×10×1012=300,
所以AC=10.
答案B
8.解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示),结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.
答案B
9.解析由题意得:
当x>0时,mx<x2+9,即m<x+9x恒成立.又有x+9x≥29x=6,当且仅当x=9x,即x=3时,等号成立.则实数m的取值范围是(-∞,6).
答案A
10.解析原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线z=abx+y(a>0,b>0)过直线2x-y+2=0与直线8x-y-4=0的交点(1,4)时,目标函数z=abx+y(a>0,b>0)取得最大值8,即8=ab+4,即ab=4,所以a+b≥2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.所以a+b的最小值为4.
答案B
11.解析a24+a27+2a4a7=(a4+a7)2=9,
∴a4+a7=±3,∴a1+a10=±3,
∴S10=10(a1+a10)2=±15.
答案D
12.解析∵a2·a6=a3·a5=4,且a3+a5=5,
∴a3,a5是方程x2-5x+4=0的两个根.
又∵等比数列{an}各项均为正数且q∈(0,1),
∴a3=4,a5=1.
∴q2=a5a3=14,∴q=12.
∴an=4·12=12,∴bn=log2an=5-n.
∴Sn=(9-n)·n2,∴Snn=9-n2.
Tn=S11+S22+…+Snn=14(-n2+17n)
=142894.
∴当n=8或9时,Tn取得最大值.
答案C
13.解析∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
又∵c2-a2=bc-ac,∴b2+c2-a2=bc.
在△ABC中,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc
=12,∴A=60°.
由正弦定理得asinA=bsinB,∴sinB=3b2a.
∴cbsinB=2acb2=23.
答案33
14.解析由题意知,只需y=x2-ax-a的最小值不大于-3即可.
即-4a-a24≤-3,
解得a≤-6或a≥2.
答案(-∞,-6]∪[2,+∞)
15.解析易知{}为等差数列,
首项为=1,公差为1,
∴=1+(n-1)=n,
∴an=n2,
令n2<25,∴n<5,∴n≤4.
答案4
16.解析不妨设A=120°,c<b,则a为最长边,故a=b+4,c=b-4,由余弦定理,得
a2=b2+c2-2bccosA,即
(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)cos120°,
化简得b2-10b=0,
∴b=10或b=0(舍去),
∴c=6,
S△ABC=12bcsinA=15.
答案15
17.解
(1)由正弦定理及(2a-c)cosB=bcosC,
得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
整理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,
因为A∈(0,π),所以sinA≠0,
故cosB=12,所以B=π3.
(2)m·n=4ksinA+cos2A=-2sin2A+4ksinA+1,
其中A∈2π3,设sinA=t,t∈(0,1],则
m·n=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2.
又k>1,故当t=1时,m·n取得最大值.
由题意得-2+4k+1=5,解得k=32.
18.解
(1)因为Sn=2n+2-4,所以a1=S1=4,
n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+2-4-(2n+1-4)=2n+1,显然a1也符合该表达式.所以an=2n+1.
(2)因为bn=an·log2an=(n+1)·2n+1,
所以Tn=2·22+3·23+4·24+…+n·2n+(n+1)·2n+1,①
2Tn=2·23+3·24+4·25+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2,②
②-①得,
Tn=-2·22-23-24-…-2n+1+(n+1)·2n+2
=-23-23(1-2n-1)1-2+(n+1)·2n+2
=-23-23(2n-1-1)+(n+1)·2n+2
=(n+1)·2n+2-23·2n-1=n·2n+2.
19.解设从甲到A调运x吨,从甲到B调运y吨,从甲到C调运(300-x-y)吨,则从乙到A调运(200-x)吨,从乙到B调运(450-y)吨,从乙到C调运(100+x+y)吨,
设调运的总费用为z元,则z=6x+3y+5(300-x-y)+5(200-x)+9(450-y)+6(100+x+y)=2x-5y+7150.
由已知得约束条件为450-y≥0,100+x+y≥0,
整理得0≤y≤450,x+y≤300,
画可行域并平移直线2x-5y=0可得最优解为x=0,y=300.
即从甲到B调运300吨,从乙到A调运200吨,从乙到B调运150吨,从乙到C调运400吨,总运费最小.
20.解
(1)由题意可知,当m=0时,x=1(万件),
所以1=3-k,所以k=2,所以x=3-2m+1,
每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元),
所以年利润
y=x·8+16xx-(8+16x+m)=4+8x-m
=4+82m+1-m=-16+(m+1)+29(m≥0).
(2)因为m≥0时,16m+1+(m+1)≥2=8,
所以y≤-8+29=21,当且仅当16m+1=m+1,
即m=3(万元)时,ymax=21(万元).
所以厂家年促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.
21.解∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B,
又A+B+C=180°,∴B=60°,
∴sinA·sinC=cos260°=14.①
又S△ABC=4=12acsinB,∴ac=16.②
由①②,得acsinA·sinC=asinA=csinC=64,
∴asinA=csinC=8.
∴b=asinBsinA=8sinB=8sin60°=4,
∵cosB=a2+c2-b22ac=12,
∴a2+c2-b2=ac,
∴(a+c)2-b2=3ac,
∴(a+c)2=48+48=96,∴a+c=4.③
联立③与②解得,a=2(+),c=2(-)或a=2(-),c=2(+).
22.
(1)证明由(an+1-an)g(an)+f(an)=0,
g(an)=4(an-1),f(an)=(an-1)2,
得(an-1)·(4an+1-3an-1)=0.
又an≠1,∴an+1=34an+14.
(2)解∵an≠1,
∴an+1-1an-1=-1an-1=(an-1)an-1=34(n≥1),
∴{an-1}是公比为34的等比数列.
又a1-1=1,∴an-1=34.
(3)解由
(2)知an=34+1,
由
(1)知an+1=34an+14,
则bn=3f(an)-g(an+1)=3(an-1)2-4(an+1-1)
=3(an-1)2-41-1=3a2n-9an+6
=33+1-93+1+6
=334-334.
设u=34,y=bn,
则y=3u2-3u=312-34,
∵当n≥1时,0<u=34≤1,
∴当u=1时,ymax=0,此时n=1,
则{bn}的最大项为b1=0.