新湘教版必修1高中数学 二次函数的图象和性质对称性.docx
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新湘教版必修1高中数学二次函数的图象和性质对称性
1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性
函数的奇偶性
已知两组函数
(Ⅰ)f(x)=x2与f(x)=|x|;
(Ⅱ)f(x)=x与f(x)=.
(1)试分别作出它们的图象,并填写下表.
表一
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x2
f(x)=|x|
表二
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x
f(x)=
(2)观察这两组函数的图象,你能发现这两组函数各有什么几何特征?
(3)观察上面两个表格,你可以得出什么结论?
1.偶函数
如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数.
2.奇函数
如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数.
1.对于函数f(x),若存在x,使得f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,对吗?
若使得f(-x)=-f(x)呢?
[提示] 不对.必须是对定义域内的任意一个x,使得f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)).
2.函数y=x|x|,x∈(-1,1]是奇函数,对吗?
当x∈[-1,1]且x≠0时呢?
由此你能得出什么结论?
[提示] 不对,是非奇非偶函数.因为定义域(-1,1]含1但不含-1,f(-1)无意义.而当x∈[-1,1]且x≠0时,是奇函数,由此可知,具有奇偶性的函数,其定义域必须关于原点对称.
二次函数的对称性
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的对称性
图 象
a>0
a<0
性 质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸
(2)对称轴是x=-,顶点坐标
是-,
(2)对称轴是x=-,顶点坐标是-,
试求二次函数y=x2+2x-3的开口方向、对称轴、顶点坐标.
[提示] 由y=x2+2x-3=(x+1)2-4知,a=1>0开口向上,对称轴是x=-1,顶点坐标为(-1,-4).
判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|.
(2)f(x)=(x-1)·.
(3)f(x)=
[思路点拨] 解答本题可以先确定定义域并考察定义域是否关于原点对称,最后确定f(x)与f(-x)的关系并得出结论.
[解]
(1)函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x).
∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.
(2)由于≥0,得-1≤x<1,其定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,
f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当x<0时,-x>0,
f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),
f(x)为偶函数.
借题发挥
判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:
(1)定义法:
若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.
(2)图象法:
若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.
1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=|x|+;
(3)f(x)=+;
(4)f(x)=
解:
(1)∵
∴x=1.定义域为{1}.不关于原点对称,
∴函数f(x)为非奇非偶函数.
(2)f(x)=|x|+=2|x|,
定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.
具有f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(3)∵
∴x=±1,这时f(x)=0,定义域{-1,1}.
∴函数f(x)既是奇函数,又是偶函数.
(4)法一:
显然定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=1-x=-f(x),
当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-x-1=-f(x).
而f(-0)=f(0)=-f(0)=0.
∴f(x)为奇函数.
法二:
作出函数f(x)的图象,可知f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数.
奇偶函数的图象及应用
[例2]
(1)奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过点( )
A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a))
C.(-a,-f(a))D.(a,f())
(2)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是________.
[思路点拨] 根据奇函数、偶函数的图象特征(对称性)求解.
[解析]
(1)根据奇函数图象的特征:
奇函数的图象关于原点对称,知点(a,f(a))在其图象上,则它关于原点的对称点(-a,-f(a))也必在其图象上.
(2)由于偶函数的图象关于y轴对称,所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解.∵当x∈[0,5]时,f(x)<0的解为2∴f(x)<0的解是-5≤x<-2或2[答案]
(1)C
(2){x|-5≤x<-2或2借题发挥
(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
(2)如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形;反之,如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的对称图形,则这个函数是偶函数.
2.
(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,作出y轴右侧的图象并求f(3)的值;
(2)如图②,给出偶函数的局部图象,比较f
(1)与f(3)的大小,并作出它的y轴右侧的图象.
解:
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称,因此图①为补充右侧图象后的图象,由图知f(3)=-2.
(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称,因此图②为补充右侧图象后的图象.由图象知f
(1)>f(3).
二次函数的对称性与最值
[例3] 已知二次函数f(x)=x2-2x+2.
(1)当x∈[-3,0]时,求f(x)的最值.
(2)当x∈[-3,3]时,求f(x)的最值.
(3)当x∈[t,t+1](t∈R)时,求f(x)的最小值g(t).
[思路点拨] 把二次函数配方确定对称轴,
(1)
(2)根据区间直接求最值,(3)利用对称轴和区间的关系,展开分类讨论.
[解] f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其对称轴为x=1,开口向上.
(1)当x∈[-3,0]时,f(x)在[-3,0]上为减函数,
故当x=-3时,f(x)有最大值f(-3)=17.
当x=0时,f(x)有最小值f(0)=2.
(2)当x∈[-3,3]时,f(x)是先减后增,
当x=1时,f(x)有最小值f
(1)=1.
∵|-3-1|>|3-1|,
∴当x=-3时,f(x)有最大值f(-3)=17.
(3)①当t+1≤1,即t≤0时,由图
(1)知,截取减区间上的一段,g(t)
=f(t+1)=t2+1;
②当1<t+1≤2,即0<t≤1时,正巧将顶点截取在内,g(t)=f
(1)=1(见图
(2));
③当t+1>2,即t>1时,由图(3)可知,截取增区间上的一段,g(t)=f(t)=t2-2t+2.
综上可知,
g(t)=
借
题
发
挥
二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解有以下三种情况:
①对称轴与区间[m,n]都是确定的;
②动轴定区间,即对称轴不确定,区间[m,n]是确定的;
③定轴动区间,即对称轴是确定的,区间[m,n]不确定.
对于以上三种情况,①采用数形结合,较易解决;②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解,分轴在区间的左侧、内部、右侧三类.
3.已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.
解:
函数f(x)的对称轴为x=a,且开口向上,如图所示,
当a>1时,f(x)在[-1,1]上单调递减,
故f(x)min=f
(1)=3-2a;
当-1≤a≤1时,f(x)在[-1,1]上先减后增,
故f(x)min=f(a)=2-a2;
当a<-1时,f(x)在[-1,1]上单调递增,
故f(x)min=f(-1)=3+2a.
综上可知,f(x)min=
1.下列函数中,既是奇函数又是偶函数的是( )
A.f(x)=+
B.f(x)=+
C.f(x)=
D.f(x)=
解析:
选A f(x)=+的定义域为{1,-1},
则f(x)=0.故选A.
2.定义在R上的偶函数f(x),在x>0上是增函数,则( )
A.f(3)B.f(-π)C.f(3)D.f(-4)解析:
选C f(-4)=f(4),f(-π)=f(π).
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(3)即f(3)3.二次函数y=1-6x-3x2的顶点坐标和对称轴方程分别为( )
A.顶点(1,4),对称轴x=1
B.顶点(-1,4),对称轴x=-1
C.顶点(1,4),对称轴x=4
D.顶点(-1,4),对称轴x=4
解析:
选B ∵y=1-6x-3x2=-3x2-6x+1=-3(x2+2x+1)+4=-3(x+1)2+4,
∴y=1-6x-3x2的顶点坐标为(-1,4),对称轴方程为x=-1.
4.若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于x=1对称,则b=________.
解析:
若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于x=1对称,
∴a+b=2.-=1,
∴a=-4,∴b=2-a=6.
答案:
6
5.若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=________.
解析:
∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f
(1).
即0=2(1-a),∴a=1.
答案:
1
6.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)解:
因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数,
所以f(x)在[-2,2]上是减函数.
所以不等式f(1-m)解得-1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
通过这节课的学习,你还能总结出奇偶函数的其他一些性质吗?
奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.
奇(偶)函数除有对称性外,还有在公共的定义域内:
①两个奇(偶)函数的和与差仍为奇(偶)函数;
②两个奇(偶)函数的积是偶函数;
③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;
④函数f(x)与有相同的奇偶性.
一、选择题
1.若函数f(x)是R上的奇函数,则下列关系式恒成立的是( )
A.f(x)-f(-x)≥0 B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)≥0
解析:
选C ∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)·f(-x)=f(x)·[-f(x)]
=-[f(x)]2≤0.
2.下列函数:
①y=x2-x;②y=x2-|x|;③y=;④y=5;⑤y=|3x+2|-|3x-2|,其中具有奇偶性的为( )
A.①③⑤B.②③④
C.②④⑤D.③④⑤
解析:
选C 对于①,f(-1)=2,f
(1)=0.
∴f(-1)≠f
(1),且f(-1)≠-f
(1),是非奇非偶函数.对于②,定义域为R,且f(-x)=x2-|x|=f(x),是偶函数;对于③,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,∴不具有奇偶性.④中函数是偶函数.对于⑤,定义域为R,且满足f(-x)=|-3x+2|-|-3x-2|=-(|3x+2|-|3x-2|)=-f(x)为奇函数.∴②④⑤具有奇偶性.
3.二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0)与(2,5)两点,则这个二次函数( )
A.过点(0,1)B.顶点为(1,-4)
C.对称轴为x=-1D.与x轴无交点
解析:
选C ∵y=x2+bx+c的图象经过(1,0)与(2,5),
∴⇒,
∴f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴对称轴为x=-1.
4.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f
(1)和f(-10)的大小关系为( )
A.f
(1)>f(-10)B.f
(1)C.f
(1)=f(-10)D.f
(1)和f(-10)关系不定
解析:
选A ∵f(x)是偶函数,∴f(-10)=f(10).
又f(x)在[0,+∞)上单调递减,且1<10,
∴f
(1)>f(10),即f
(1)>f(-10).
二、填空题
5.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
解析:
由已知得,f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,
又函数f(x)是奇函数,所以f
(2)=-f(-2)=12.
答案:
12
6.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
解析:
∵f(x)为偶函数,∴对定义域内的任意实数x都有f(-x)=f(x).
∴ax2-bx+3a+b=ax2+bx+3a+b恒成立.∴b=0.∴f(x)=ax2+3a.
又f(x)的定义域为[a-1,2a],
∴(a-1)+2a=0,∴a=.
答案:
0
三、解答题
7.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.
解:
(1)设x<0,则-x>0,所以
f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2,
又∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=x2+2x-2,
又f(0)=0,
∴f(x)=
(2)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其图象如图所示.
由图可知,其增区间为[-1,0)和(0,1],
减区间为(-∞,-1]和[1,+∞).
8.已知函数y=f(x)=-x2-3x-.
(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴;
(2)已知f=,不计算函数值,求f;
(3)不直接计算函数值,试比较f与f的大小.
解:
y=-x2-3x-=-(x2+6x+5)
=-(x+3)2+2.
(1)顶点坐标为(-3,2),对称轴为x=-3.
(2)f=f(-3.5)=f(-3-0.5)
=f(-3+0.5)=f=.
(3)f=f=f=f,
∵-,-∈[-3,+∞),
而f(x)在[-3,+∞)上是减函数.
∴f