新湘教版必修1高中数学 二次函数的图象和性质对称性.docx

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新湘教版必修1高中数学二次函数的图象和性质对称性

1．2.8　二次函数的图象和性质——对称性

函数的奇偶性

已知两组函数

（Ⅰ）f（x）＝x2与f（x）＝|x|；

（Ⅱ）f（x）＝x与f（x）＝.

（1）试分别作出它们的图象，并填写下表．

表一

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

f（x）＝x2

f（x）＝|x|

表二

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

f（x）＝x

f（x）＝

（2）观察这两组函数的图象，你能发现这两组函数各有什么几何特征？

（3）观察上面两个表格，你可以得出什么结论？

1．偶函数

如果对一切使F（x）有定义的x，F（－x）也有定义，并且F（－x）＝F（x）成立，则称F（x）为偶函数．

2．奇函数

如果对一切使F（x）有定义的x，F（－x）也有定义，并且F（－x）＝－F（x）成立，则称F（x）为奇函数．

1．对于函数f（x），若存在x，使得f（－x）＝f（x），则f（x）为偶函数，对吗？

若使得f（－x）＝－f（x）呢？

[提示]　不对．必须是对定义域内的任意一个x，使得f（－x）＝f（x）（或f（－x）＝－f（x））．

2．函数y＝x|x|，x∈（－1,1]是奇函数，对吗？

当x∈[－1,1]且x≠0时呢？

由此你能得出什么结论？

[提示]　不对，是非奇非偶函数．因为定义域（－1,1]含1但不含－1，f（－1）无意义．而当x∈[－1,1]且x≠0时，是奇函数，由此可知，具有奇偶性的函数，其定义域必须关于原点对称.

二次函数的对称性

二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称性

图　象

a>0

a<0

性　质

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸

（2）对称轴是x＝－，顶点坐标

是－，

（2）对称轴是x＝－，顶点坐标是－，

试求二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、对称轴、顶点坐标．

[提示]　由y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4知，a＝1>0开口向上，对称轴是x＝－1，顶点坐标为（－1，－4）．

判断函数的奇偶性

[例1]　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝|x＋1|－|x－1|.

（2）f（x）＝（x－1）·.

（3）f（x）＝

[思路点拨]　解答本题可以先确定定义域并考察定义域是否关于原点对称，最后确定f（x）与f（－x）的关系并得出结论．

[解]　

（1）函数的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称．

因为f（－x）＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－（|x＋1|－|x－1|）＝－f（x）．

∴f（x）＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．

（2）由于≥0，得－1≤x<1，其定义域不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（3）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

当x>0时，－x<0，

f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；

当x<0时，－x>0，

f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）．

综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），

f（x）为偶函数.

借题发挥

判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：

（1）定义法：

若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f（－x）是否等于±f（x），或判断f（－x）±f（x）是否等于0，从而确定奇偶性．

（2）图象法：

若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.

1．判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝＋；

（2）f（x）＝|x|＋；

（3）f（x）＝＋；

（4）f（x）＝

解：

（1）∵

∴x＝1.定义域为{1}．不关于原点对称，

∴函数f（x）为非奇非偶函数．

（2）f（x）＝|x|＋＝2|x|，

定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称．

具有f（－x）＝2|－x|＝2|x|＝f（x），

∴f（x）为偶函数．

（3）∵

∴x＝±1，这时f（x）＝0，定义域{－1,1}．

∴函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．

（4）法一：

显然定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称．

当x>0时，－x<0，

则f（－x）＝1－x＝－f（x），

当x<0时，－x>0，

则f（－x）＝－x－1＝－f（x）．

而f（－0）＝f（0）＝－f（0）＝0.

∴f（x）为奇函数．

法二：

作出函数f（x）的图象，可知f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数.

奇偶函数的图象及应用

[例2]　

（1）奇函数y＝f（x）（x∈R）的图象必过点（　　）

A．（a，f（－a））　　　　　　B．（－a，f（a））

C．（－a，－f（a））D．（a，f（））

（2）设偶函数f（x）的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）<0的解集是________．

[思路点拨]　根据奇函数、偶函数的图象特征（对称性）求解．

[解析]　

（1）根据奇函数图象的特征：

奇函数的图象关于原点对称，知点（a，f（a））在其图象上，则它关于原点的对称点（－a，－f（a））也必在其图象上．

（2）由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f（x）<0的解．∵当x∈[0,5]时，f（x）<0的解为2

∴f（x）<0的解是－5≤x<－2或2

[答案]　

（1）C　

（2）{x|－5≤x<－2或2

借题发挥

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的对称图形，则这个函数是偶函数.

2．

（1）如图①，给出奇函数y＝f（x）的局部图象，作出y轴右侧的图象并求f（3）的值；

（2）如图②，给出偶函数的局部图象，比较f

（1）与f（3）的大小，并作出它的y轴右侧的图象．

解：

（1）奇函数的图象关于原点成中心对称，因此图①为补充右侧图象后的图象，由图知f（3）＝－2.

（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称，因此图②为补充右侧图象后的图象．由图象知f

（1）>f（3）．

二次函数的对称性与最值

[例3]　已知二次函数f（x）＝x2－2x＋2.

（1）当x∈[－3,0]时，求f（x）的最值．

（2）当x∈[－3,3]时，求f（x）的最值．

（3）当x∈[t，t＋1]（t∈R）时，求f（x）的最小值g（t）．

[思路点拨]　把二次函数配方确定对称轴，

（1）

（2）根据区间直接求最值，（3）利用对称轴和区间的关系，展开分类讨论．

[解]　f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，其对称轴为x＝1，开口向上．

（1）当x∈[－3,0]时，f（x）在[－3,0]上为减函数，

故当x＝－3时，f（x）有最大值f（－3）＝17.

当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝2.

（2）当x∈[－3,3]时，f（x）是先减后增，

当x＝1时，f（x）有最小值f

（1）＝1.

∵|－3－1|>|3－1|，

∴当x＝－3时，f（x）有最大值f（－3）＝17.

（3）①当t＋1≤1，即t≤0时，由图

（1）知，截取减区间上的一段，g（t）

＝f（t＋1）＝t2＋1；

②当1＜t＋1≤2，即0＜t≤1时，正巧将顶点截取在内，g（t）＝f

（1）＝1（见图

（2））；

③当t＋1＞2，即t＞1时，由图（3）可知，截取增区间上的一段，g（t）＝f（t）＝t2－2t＋2.

综上可知，

g（t）＝

借

题

发

挥

二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解有以下三种情况：

①对称轴与区间[m，n]都是确定的；

②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；

③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定．

对于以上三种情况，①采用数形结合，较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分轴在区间的左侧、内部、右侧三类.

3．已知函数f（x）＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f（x）的最小值．

解：

函数f（x）的对称轴为x＝a，且开口向上，如图所示，

当a>1时，f（x）在[－1,1]上单调递减，

故f（x）min＝f

（1）＝3－2a；

当－1≤a≤1时，f（x）在[－1,1]上先减后增，

故f（x）min＝f（a）＝2－a2；

当a<－1时，f（x）在[－1,1]上单调递增，

故f（x）min＝f（－1）＝3＋2a.

综上可知，f（x）min＝

1．下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（　　）

A．f（x）＝＋

B．f（x）＝＋

C．f（x）＝

D．f（x）＝

解析：

选A　f（x）＝＋的定义域为{1，－1}，

则f（x）＝0.故选A.

2．定义在R上的偶函数f（x），在x>0上是增函数，则（　　）

A．f（3）

B．f（－π）

C．f（3）

D．f（－4）

解析：

选C　f（－4）＝f（4），f（－π）＝f（π）．

∵f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∴f（3）

即f（3）

3．二次函数y＝1－6x－3x2的顶点坐标和对称轴方程分别为（　　）

A．顶点（1,4），对称轴x＝1

B．顶点（－1,4），对称轴x＝－1

C．顶点（1,4），对称轴x＝4

D．顶点（－1,4），对称轴x＝4

解析：

选B　∵y＝1－6x－3x2＝－3x2－6x＋1＝－3（x2＋2x＋1）＋4＝－3（x＋1）2＋4，

∴y＝1－6x－3x2的顶点坐标为（－1,4），对称轴方程为x＝－1.

4．若f（x）＝x2＋（a＋2）x＋3，x∈[a，b]的图象关于x＝1对称，则b＝________.

解析：

若f（x）＝x2＋（a＋2）x＋3，x∈[a，b]的图象关于x＝1对称，

∴a＋b＝2.－＝1，

∴a＝－4，∴b＝2－a＝6.

答案：

6

5．若函数f（x）＝（x＋1）（x－a）为偶函数，则a＝________.

解析：

∵f（x）为偶函数，∴f（－1）＝f

（1）．

即0＝2（1－a），∴a＝1.

答案：

1

6．设定义在[－2,2]上的奇函数f（x）在区间[0,2]上是减函数，若f（1－m）

解：

因为f（x）是奇函数且f（x）在[0,2]上是减函数，

所以f（x）在[－2,2]上是减函数．

所以不等式f（1－m）

解得－1≤m<.

所以实数m的取值范围为.

通过这节课的学习，你还能总结出奇偶函数的其他一些性质吗？

奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．

奇（偶）函数除有对称性外，还有在公共的定义域内：

①两个奇（偶）函数的和与差仍为奇（偶）函数；

②两个奇（偶）函数的积是偶函数；

③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；

④函数f（x）与有相同的奇偶性．

一、选择题

1．若函数f（x）是R上的奇函数，则下列关系式恒成立的是（　　）

A．f（x）－f（－x）≥0　B．f（x）－f（－x）≤0

C．f（x）·f（－x）≤0D．f（x）·f（－x）≥0

解析：

选C　∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）·f（－x）＝f（x）·[－f（x）]

＝－[f（x）]2≤0.

2．下列函数：

①y＝x2－x；②y＝x2－|x|；③y＝；④y＝5；⑤y＝|3x＋2|－|3x－2|，其中具有奇偶性的为（　　）

A．①③⑤B．②③④

C．②④⑤D．③④⑤

解析：

选C　对于①，f（－1）＝2，f

（1）＝0.

∴f（－1）≠f

（1），且f（－1）≠－f

（1），是非奇非偶函数．对于②，定义域为R，且f（－x）＝x2－|x|＝f（x），是偶函数；对于③，定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，∴不具有奇偶性．④中函数是偶函数．对于⑤，定义域为R，且满足f（－x）＝|－3x＋2|－|－3x－2|＝－（|3x＋2|－|3x－2|）＝－f（x）为奇函数．∴②④⑤具有奇偶性．

3．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过（1,0）与（2,5）两点，则这个二次函数（　　）

A．过点（0,1）B．顶点为（1，－4）

C．对称轴为x＝－1D．与x轴无交点

解析：

选C　∵y＝x2＋bx＋c的图象经过（1,0）与（2,5），

∴⇒，

∴f（x）＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，

∴对称轴为x＝－1.

4．已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，则f

（1）和f（－10）的大小关系为（　　）

A．f

（1）>f（－10）B．f

（1）

C．f

（1）＝f（－10）D．f

（1）和f（－10）关系不定

解析：

选A　∵f（x）是偶函数，∴f（－10）＝f（10）．

又f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且1<10，

∴f

（1）>f（10），即f

（1）>f（－10）．

二、填空题

5．（2017·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f

（2）＝________.

解析：

由已知得，f（－2）＝2×（－2）3＋（－2）2＝－12，

又函数f（x）是奇函数，所以f

（2）＝－f（－2）＝12.

答案：

12

6．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

解析：

∵f（x）为偶函数，∴对定义域内的任意实数x都有f（－x）＝f（x）．

∴ax2－bx＋3a＋b＝ax2＋bx＋3a＋b恒成立．∴b＝0.∴f（x）＝ax2＋3a.

又f（x）的定义域为[a－1,2a]，

∴（a－1）＋2a＝0，∴a＝.

答案：

　0

三、解答题

7．已知f（x）是R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝－x2＋2x＋2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间．

解：

（1）设x<0，则－x>0，所以

f（－x）＝－（－x）2－2x＋2＝－x2－2x＋2，

又∵f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝x2＋2x－2，

又f（0）＝0，

∴f（x）＝

（2）先画出y＝f（x）（x>0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x<0）的图象，其图象如图所示．

由图可知，其增区间为[－1,0）和（0,1]，

减区间为（－∞，－1]和[1，＋∞）．

8．已知函数y＝f（x）＝－x2－3x－.

（1）求这个函数的顶点坐标和对称轴；

（2）已知f＝，不计算函数值，求f；

（3）不直接计算函数值，试比较f与f的大小．

解：

y＝－x2－3x－＝－（x2＋6x＋5）

＝－（x＋3）2＋2.

（1）顶点坐标为（－3,2），对称轴为x＝－3.

（2）f＝f（－3.5）＝f（－3－0.5）

＝f（－3＋0.5）＝f＝.

（3）f＝f＝f＝f，

∵－，－∈[－3，＋∞），

而f（x）在[－3，＋∞）上是减函数．

∴f