新湘教版必修1高中数学 二次函数的图象和性质对称性.docx

1、新湘教版必修1高中数学 二次函数的图象和性质对称性12.8二次函数的图象和性质对称性函数的奇偶性已知两组函数()f(x)x2与f(x)|x|；()f(x)x与f(x).(1)试分别作出它们的图象，并填写下表表一x3210123f(x)x2f(x)|x|表二x3210123f(x)xf(x)(2)观察这两组函数的图象，你能发现这两组函数各有什么几何特征？(3)观察上面两个表格，你可以得出什么结论？1偶函数如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)F(x)成立，则称F(x)为偶函数2奇函数如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)F(x)成立，则称F(x)为

2、奇函数1对于函数f(x)，若存在x，使得f(x)f(x)，则f(x)为偶函数，对吗？若使得f(x)f(x)呢？提示不对必须是对定义域内的任意一个x，使得f(x)f(x)(或f(x)f(x)2函数yx|x|，x(1,1是奇函数，对吗？当x1,1且x0时呢？由此你能得出什么结论？提示不对，是非奇非偶函数因为定义域(1,1含1但不含1，f(1)无意义而当x1,1且x0时，是奇函数，由此可知，具有奇偶性的函数，其定义域必须关于原点对称.二次函数的对称性二次函数f(x)ax2bxc(a0)的对称性图象a0a0开口向上，对称轴是x1，顶点坐标为(1，4)判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(

3、x)|x1|x1|.(2)f(x)(x1).(3)f(x)思路点拨解答本题可以先确定定义域并考察定义域是否关于原点对称，最后确定f(x)与f(x)的关系并得出结论解(1)函数的定义域为(，)，关于原点对称因为f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)f(x)|x1|x1|是奇函数(2)由于0，得1x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数.借题发挥判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点

4、对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)|x|；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)x1.定义域为1不关于原点对称，函数f(x)为非奇非偶函数(2)f(x)|x|2|x|，定义域为(，)，关于原点对称具有f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(3)x1，这时f(x)0，定义域1,1函数f(x)既是奇函数，又是偶函数(4)法一：显然定义域为(，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x

5、)1xf(x)，当x0，则f(x)x1f(x)而f(0)f(0)f(0)0.f(x)为奇函数法二：作出函数f(x)的图象，可知f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数.奇偶函数的图象及应用例2(1)奇函数yf(x)(xR)的图象必过点()A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D(a，f()(2)设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_思路点拨根据奇函数、偶函数的图象特征(对称性)求解解析(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称，知点(a，f(a)在其图象上，则它关于原点的对称点(a，f(a)也必在其

6、图象上(2)由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解当x0,5时，f(x)0的解为2x5，所以当x5,0时，f(x)0的解为5x2.f(x)0的解是5x2或2x5.答案(1)C(2)x|5x2或2f(3)二次函数的对称性与最值例3已知二次函数f(x)x22x2.(1)当x3,0时，求f(x)的最值(2)当x3,3时，求f(x)的最值(3)当xt，t1(tR)时，求f(x)的最小值g(t)思路点拨把二次函数配方确定对称轴，(1)(2)根据区间直接求最值，(3)利用对称轴和区间的关系，展开分类讨论解f(x)x22x2(x1)21，其对称轴为x1，开口向上 (1)当x3

7、,0时，f(x)在3,0上为减函数，故当x3时，f(x)有最大值f(3)17.当x0时，f(x)有最小值f(0)2.(2)当x3,3时，f(x)是先减后增，当x1时，f(x)有最小值f(1)1.|31|31|，当x3时，f(x)有最大值f(3)17.(3)当t11，即t0时，由图(1)知，截取减区间上的一段，g(t) f(t1)t21；当1t12，即0t1时，正巧将顶点截取在内，g(t)f(1)1(见图(2)；当t12，即t1时，由图(3)可知，截取增区间上的一段，g(t)f(t)t22t2.综上可知，g(t)借题发挥二次函数在给定区间m，n上的最值求解有以下三种情况：对称轴与区间m，n都是确

8、定的；动轴定区间，即对称轴不确定，区间m，n是确定的；定轴动区间，即对称轴是确定的，区间m，n不确定对于以上三种情况，采用数形结合，较易解决；和应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分轴在区间的左侧、内部、右侧三类.3已知函数f(x)x22ax2，x1,1，求函数f(x)的最小值解：函数f(x)的对称轴为xa，且开口向上，如图所示，当a1时，f(x)在1,1上单调递减，故f(x)minf(1)32a；当1a1时，f(x)在1,1上先减后增，故f(x)minf(a)2a2；当a0上是增函数，则()Af(3)f(4)f()Bf()f(4)f(3)Cf(3)f()f(4)Df(4)f()f(3)解析：

9、选Cf(4)f(4)，f()f()f(x)在(0，)上单调递增，f(3)f()f(4)，即f(3)f()f(4)3二次函数y16x3x2的顶点坐标和对称轴方程分别为()A顶点(1,4)，对称轴x1B顶点(1,4)，对称轴x1C顶点(1,4)，对称轴x4D顶点(1,4)，对称轴x4解析：选By16x3x23x26x13(x22x1)43(x1)24，y16x3x2的顶点坐标为(1,4)，对称轴方程为x1.4若f(x)x2(a2)x3，xa，b的图象关于x1对称，则b_.解析：若f(x)x2(a2)x3，xa，b的图象关于x1对称，ab2.1，a4，b2a6.答案：65若函数f(x)(x1)(xa

10、)为偶函数，则a_.解析：f(x)为偶函数，f(1)f(1)即02(1a)，a1.答案：16设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解：因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上是减函数所以不等式f(1m)f(m)等价于解得1mf(10) Bf(1)f(10)Cf(1)f(10) Df(1)和f(10)关系不定解析：选Af(x)是偶函数，f(10)f(10)又f(x)在0，)上单调递减，且1f(10)，即f(1)f(10)二、填空题5(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(

11、x)2x3x2，则f(2)_.解析：由已知得，f(2)2(2)3(2)212，又函数f(x)是奇函数，所以f(2)f(2)12.答案：126已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为a1,2a，则a_，b_.解析：f(x)为偶函数，对定义域内的任意实数x都有f(x)f(x)ax2bx3abax2bx3ab恒成立b0.f(x)ax23a.又f(x)的定义域为a1,2a，(a1)2a0，a.答案：0三、解答题7已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x22x2.(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间解：(1)设x0，所以f(x)(x)22x2

12、x22x2，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x22x2，又f(0)0，f(x)(2)先画出yf(x)(x0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应yf(x)(x0)的图象，其图象如图所示由图可知，其增区间为1,0)和(0,1，减区间为(，1和1，)8已知函数yf(x)x23x.(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴；(2)已知f，不计算函数值，求f；(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小解：yx23x(x26x5)(x3)22.(1)顶点坐标为(3,2)，对称轴为x3.(2)f f(3.5)f(30.5)f(30.5)f .(3)f f f f ，3，)，而f(x)在3，)上是减函数f f ，即f f .