原码反码补码及运算.docx

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原码反码补码及运算

原码，反码，补码及运算

一、定义

　　1．原码

　　正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。

用这样的表示方法得到的就是数的原码。

　　【例2.13】当机器字长为8位二进制数时：

X＝＋1011011[X]原码＝01011011

Y＝-1011011[Y]原码＝11011011

[＋1]原码＝00000001[－1]原码＝10000001

[＋127]原码＝01111111[－127]原码＝11111111

　　原码表示的整数范围是：

　　－（2n-1－1）~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。

　　则：

8位二进制原码表示的整数范围是－127~＋127

16位二进制原码表示的整数范围是－32767~＋32767

　　2．反码

　　对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。

【例2.14】当机器字长为8位二进制数时：

　　X＝＋1011011[X]原码＝01011011[X]反码＝01011011

　　Y＝－1011011[Y]原码＝11011011[Y]反码＝10100100

　　[＋1]反码＝00000001[－1]反码＝11111110

　　[＋127]反码＝01111111[－127]反码＝10000000

　　负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。

反码表示的整数范围与原码相同。

　　3．补码

　　正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。

引入补码以后，计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算，其符号位也参与运算。

　　【例2.15】

（1）X＝＋1011011

（2）Y＝－1011011

（1）根据定义有：

[X]原码＝01011011[X]补码＝01011011

（2）根据定义有：

[Y]原码＝11011011[Y]反码＝10100100

　　[Y]补码＝10100101

　　补码表示的整数范围是－2n-1~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。

　　则：

8位二进制补码表示的整数范围是－128~＋127（-128表示为10000000，无对应的原码和反码）

16位二进制补码表示的整数范围是－32768~＋32767

　　当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

　　4．补码与真值之间的转换

　　正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加1，即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。

　　【例2.16】[X]补码＝01011001B，[X]补码＝11011001B，分别求其真值X。

（1）[X]补码代表的数是正数，其真值：

X＝＋1011001B

＝＋（1×26＋1×24＋1×23＋1×20）

＝＋（64＋16＋8＋1）

＝＋（89）D

（2）[X]补码代表的数是负数，则真值：

X＝－（[1011001]求反＋1）B

＝－（0100110＋1）B

＝－（0100111）B

＝－（1×25＋1×22＋1×21＋1×20）

＝－（32＋4＋2＋1）

＝－（39）D

二、补码加、减运算规则

1、运算规则

[X＋Y]补=[X]补＋[Y]补

[X－Y]补=[X]补＋[－Y]补

若已知[Y]补，求[－Y]补的方法是：

将[Y]补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。

例如：

[Y]补=101101[－Y]补=010011

2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：

符号位00表示正数11表示负数

结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢

例题：

设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位

用补码求x+y，x－y

[x]补+[y]补=001101+111001=000110

[x－y]补=[x]补+[－y]补=001101+000111=010100

结果错误，正溢出

数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号（0为正,1为负）.这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

（-127~-0+0~127）共256个.

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下:

假设字长为8bits

（1）10-

（1）10=

（1）10+（-1）10=（0）10

（00000001）原+（10000001）原=（10000010）原=（-2）显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应.下面是反码的减法运算:

（1）10-

（1）10=

（1）10+（-1）10=（0）10

（00000001）反+（11111110）反=（11111111）反=（-0）有问题.

（1）10-

（2）10=

（1）10+（-2）10=（-1）10

（00000001）反+（11111101）反=（11111110）反=（-1）正确

问题出现在（+0）和（-0）上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.（印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大）.

于是就引入了补码概念.负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用（-128）代替了（-0）,所以补码的表示范围为:

（-128~0~127）共256个.

注意:

（-128）没有相对应的原码和反码,（-128）=（10000000）补码的加减运算如下:

（1）10-

（1）10=

（1）10+（-1）10=（0）10

（00000001）补+（11111111）补=（00000000）补=（0）正确

（1）10-

（2）10=

（1）10+（-2）10=（-1）10

（00000001）补+（11111110）补=（11111111）补=（-1）正确

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。

看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧

在计算机内，定点数有3种表示法：

原码、反码和补码

所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。

反码表示法规定：

正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。

补码表示法规定：

正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。

1、原码、反码和补码的表示方法

（1）原码：

在数值前直接加一符号位的表示法。

例如：

符号位数值位

[+7]原=00000111B

[-7]原=10000111B

注意：

a.数0的原码有两种形式：

[+0]原=00000000B[-0]原=10000000B

b.8位二进制原码的表示范围：

-127～+127

（2）反码：

正数：

正数的反码与原码相同。

负数：

负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。

例如：

符号位数值位

[+7]反=00000111B

[-7]反=11111000B

注意：

a.数0的反码也有两种形式，即

[+0]反=00000000B

[-0]反=11111111B

b.8位二进制反码的表示范围：

-127～+127

（3）补码的表示方法

1）模的概念：

把一个计量单位称之为模或模数。

例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。

在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。

14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。

从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。

因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。

由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：

计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。

10和2对模12而言互为补数。

同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。

当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。

产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。

在计算中，两个互补的数称为“补码”。

2）补码的表示：

正数：

正数的补码和原码相同。

负数：

负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。

也就是“反码+1”。

例如：

符号位数值位

[+7]补=00000111B

[-7]补=11111001B

补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：

a.采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。

正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。

采用补码进行运算，所得结果仍为补码。

b.与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即[0]补=00000000B。

c.若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

2．原码、反码和补码之间的转换

由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。

在此，仅以负数情况分析。

（1）已知原码，求补码。

例：

已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。

解：

由[X]原=10110100B知，X为负数。

求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。

10110100原码

11001011反码，符号位不变，数值位取反

1+1

11001100补码

故：

[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。

（2）已知补码，求原码。

分析：

按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。

但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1有方法。

例：

已知某数X的补码11101110B，试求其原码。

解：

由[X]补=11101110B知，X为负数。

求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反，再在末位加1。

11101110补码

10010001符号位不变，数值位取反

1+1

10010010原码

1．3．2有符号数运算时的溢出问题

请大家来做两个题目：

两正数相加怎么变成了负数？

？

？

1）（+72）+（+98）=？

01001000B+72

+01100010B+98

10101010B-42

两负数相加怎么会得出正数？

？

？

2）（-83）+（-80）=？

10101101B-83

+10110000B-80

01011101B+93

思考：

这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？

答案：

这是因为发生了溢出。

如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是-2n-1≤X≤2n-1-1

当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。

两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。

很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。

对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。

因为这两种情况是：

两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。

而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。

在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。

本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。

过程与结果显示在列表框中，结果比较少，不必自动清除，而过程是相同的，没有必要清除。

故需设清除各部分及清除全部的按钮。

测试时注意最大、最小正负数。

用户使用时注意讲解不会溢出：

当有一个数的反码的全部位是1才会溢出，那么它的原码是10000...，它不是负数，故不会溢出。

在n位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负；其余n-1位为数值位，各位的值可为零或一。

当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同；当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码的最低位加一。

注意符号位不变。

总结：

提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某”，而不是只显示数值。

原码、反码和补码

一、原码

求原码：

X≥0，则符号位为0，其余照抄；

X≤0，则符号位为1，其余照抄。

【例1】X=+1001001[X]原=01001001

【例2】X=-1001001[X]原=11001001

二、反码

求反码：

若X≥0，符号位为0，其余照抄；

若X≤0，符号位为1，其余按位取反。

【例3】X=+1001001[X]反=01001001

【例4】X=-1001001[X]反=10110110

三、补码

求补码：

若X≥0，符号位为0，其余照抄；

若X≤0，符号位为1，其余取反后，最低位加1。

【例5】X=+1001001[X]补=01001001

【例6】X=-1001001[X]补=10110111

四、补码加减法

计算机中实际上只有加法，减法运算转换成加法运算进行，乘法运算转换成加法运算进行，除法运算转换成减法运算进行。

用补码可以很方便的进行这种运算。

1、补码加法

[X+Y]补=[X]补+[Y]补

【例7】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补

[X]补=00110011[Y]补=11010111

[X+Y]补=[X]补+[Y]补=00110011+11010111=00001010

注：

因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是

100001010，而是00001010。

2、补码减法

[X-Y]补=[X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补

其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是：

对补码的每一位（包括符号位）求反，最后末位加“1”。

【例8】X=+0111001,Y=+1001101，求[X-Y]补

[X]补=00111001[Y]补=01001101[-Y]补=10110011

[X-Y]补=[X]补+[-Y]补=00111001+10110011=11101100

五、数的表示范围

通过上面的学习，我们就可以知道计算机如果用一个字节表示一个整数的时候，如果是无符号数，可以表示0~255共256个数（00000000~11111111），如果是有符号数则能表示-128~127共256个数（10000000~01111111）。

如果两个字节表示一个整数，则共有65536个数可以表示，大部分程序设计语言中整数的范围都是-32768~32767的原因，可以看出这种整数类型是16位的有符号数，而且是补码表示的。

正数的反码和补码都是和原码相同。

为什么要设立补码呢？

第一是为了能让计算机执行减法：

[a-b]补=a补+（-b）补

第二个原因是为了统一正0和负0

正零：

00000000

负零：

10000000

这两个数其实都是0，但他们的原码却有不同的表示。

但是他们的补码是一样的，都是00000000

特别注意，如果+1之后有进位的，要一直往前进位，包括符号位！

（这和反码是不同的！

）

[10000000]补

=[10000000]反+1

=11111111+1

=

（1）00000000

=00000000（最高位溢出了，符号位变成了0）

有人会问

10000000这个补码表示的哪个数的补码呢？

其实这是一个规定，这个数表示的是-128

所以n位补码能表示的范围是

-2^（n-1）到2^（n-1）-1

比n位原码能表示的数多一个