原码反码补码及运算.docx
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原码反码补码及运算
原码,反码,补码及运算
一、定义
1.原码
正数的符号位为0,负数的符号位为1,其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。
用这样的表示方法得到的就是数的原码。
【例2.13】当机器字长为8位二进制数时:
X=+1011011[X]原码=01011011
Y=-1011011[Y]原码=11011011
[+1]原码=00000001[-1]原码=10000001
[+127]原码=01111111[-127]原码=11111111
原码表示的整数范围是:
-(2n-1-1)~+(2n-1-1),其中n为机器字长。
则:
8位二进制原码表示的整数范围是-127~+127
16位二进制原码表示的整数范围是-32767~+32767
2.反码
对于一个带符号的数来说,正数的反码与其原码相同,负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。
【例2.14】当机器字长为8位二进制数时:
X=+1011011[X]原码=01011011[X]反码=01011011
Y=-1011011[Y]原码=11011011[Y]反码=10100100
[+1]反码=00000001[-1]反码=11111110
[+127]反码=01111111[-127]反码=10000000
负数的反码与负数的原码有很大的区别,反码通常用作求补码过程中的中间形式。
反码表示的整数范围与原码相同。
3.补码
正数的补码与其原码相同,负数的补码为其反码在最低位加1。
引入补码以后,计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算,其符号位也参与运算。
【例2.15】
(1)X=+1011011
(2)Y=-1011011
(1)根据定义有:
[X]原码=01011011[X]补码=01011011
(2)根据定义有:
[Y]原码=11011011[Y]反码=10100100
[Y]补码=10100101
补码表示的整数范围是-2n-1~+(2n-1-1),其中n为机器字长。
则:
8位二进制补码表示的整数范围是-128~+127(-128表示为10000000,无对应的原码和反码)
16位二进制补码表示的整数范围是-32768~+32767
当运算结果超出这个范围时,就不能正确表示数了,此时称为溢出。
所以补码的设计目的是:
⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.
⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计
4.补码与真值之间的转换
正数补码的真值等于补码的本身;负数补码转换为其真值时,将负数补码按位求反,末位加1,即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。
【例2.16】[X]补码=01011001B,[X]补码=11011001B,分别求其真值X。
(1)[X]补码代表的数是正数,其真值:
X=+1011001B
=+(1×26+1×24+1×23+1×20)
=+(64+16+8+1)
=+(89)D
(2)[X]补码代表的数是负数,则真值:
X=-([1011001]求反+1)B
=-(0100110+1)B
=-(0100111)B
=-(1×25+1×22+1×21+1×20)
=-(32+4+2+1)
=-(39)D
二、补码加、减运算规则
1、运算规则
[X+Y]补=[X]补+[Y]补
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补
若已知[Y]补,求[-Y]补的方法是:
将[Y]补的各位(包括符号位)逐位取反再在最低位加1即可。
例如:
[Y]补=101101[-Y]补=010011
2、溢出判断,一般用双符号位进行判断:
符号位00表示正数11表示负数
结果的符号位为01时,称为上溢;为10时,称为下溢
例题:
设x=0.1101,y=-0.0111,符号位为双符号位
用补码求x+y,x-y
[x]补+[y]补=001101+111001=000110
[x-y]补=[x]补+[-y]补=001101+000111=010100
结果错误,正溢出
数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制.
数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为
(-127~-0+0~127)共256个.
有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下:
假设字长为8bits
(1)10-
(1)10=
(1)10+(-1)10=(0)10
(00000001)原+(10000001)原=(10000010)原=(-2)显然不正确.
因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应.下面是反码的减法运算:
(1)10-
(1)10=
(1)10+(-1)10=(0)10
(00000001)反+(11111110)反=(11111111)反=(-0)有问题.
(1)10-
(2)10=
(1)10+(-2)10=(-1)10
(00000001)反+(11111101)反=(11111110)反=(-1)正确
问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).
于是就引入了补码概念.负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:
(-128~0~127)共256个.
注意:
(-128)没有相对应的原码和反码,(-128)=(10000000)补码的加减运算如下:
(1)10-
(1)10=
(1)10+(-1)10=(0)10
(00000001)补+(11111111)补=(00000000)补=(0)正确
(1)10-
(2)10=
(1)10+(-2)10=(-1)10
(00000001)补+(11111110)补=(11111111)补=(-1)正确
所以补码的设计目的是:
⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.
⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计
所有这些转换都是在计算机的最底层进行的,而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。
看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧
在计算机内,定点数有3种表示法:
原码、反码和补码
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法,即最高位为符号位,“0”表示正,“1”表示负,其余位表示数值的大小。
反码表示法规定:
正数的反码与其原码相同;负数的反码是对其原码逐位取反,但符号位除外。
补码表示法规定:
正数的补码与其原码相同;负数的补码是在其反码的末位加1。
1、原码、反码和补码的表示方法
(1)原码:
在数值前直接加一符号位的表示法。
例如:
符号位数值位
[+7]原=00000111B
[-7]原=10000111B
注意:
a.数0的原码有两种形式:
[+0]原=00000000B[-0]原=10000000B
b.8位二进制原码的表示范围:
-127~+127
(2)反码:
正数:
正数的反码与原码相同。
负数:
负数的反码,符号位为“1”,数值部分按位取反。
例如:
符号位数值位
[+7]反=00000111B
[-7]反=11111000B
注意:
a.数0的反码也有两种形式,即
[+0]反=00000000B
[-0]反=11111111B
b.8位二进制反码的表示范围:
-127~+127
(3)补码的表示方法
1)模的概念:
把一个计量单位称之为模或模数。
例如,时钟是以12进制进行计数循环的,即以12为模。
在时钟上,时针加上(正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位,时针的位置不变。
14点钟在舍去模12后,成为(下午)2点钟(14=14-12=2)。
从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时),即2点(0-10=-10=-10+12=2)。
因此,在模12的前提下,-10可映射为+2。
由此可见,对于一个模数为12的循环系统来说,加2和减10的效果是一样的;因此,在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了(注:
计算机的硬件结构中只有加法器,所以大部分的运算都必须最终转换为加法)。
10和2对模12而言互为补数。
同理,计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为8),因此它的运算也是一种模运算。
当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出,又从头开始计数。
产生溢出的量就是计数器的模,显然,8位二进制数,它的模数为28=256。
在计算中,两个互补的数称为“补码”。
2)补码的表示:
正数:
正数的补码和原码相同。
负数:
负数的补码则是符号位为“1”,数值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。
也就是“反码+1”。
例如:
符号位数值位
[+7]补=00000111B
[-7]补=11111001B
补码在微型机中是一种重要的编码形式,请注意:
a.采用补码后,可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化。
正数的补码即是它所表示的数的真值,而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。
采用补码进行运算,所得结果仍为补码。
b.与原码、反码不同,数值0的补码只有一个,即[0]补=00000000B。
c.若字长为8位,则补码所表示的范围为-128~+127;进行补码运算时,应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
2.原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同,不需转换。
在此,仅以负数情况分析。
(1)已知原码,求补码。
例:
已知某数X的原码为10110100B,试求X的补码和反码。
解:
由[X]原=10110100B知,X为负数。
求其反码时,符号位不变,数值部分按位求反;求其补码时,再在其反码的末位加1。
10110100原码
11001011反码,符号位不变,数值位取反
1+1
11001100补码
故:
[X]补=11001100B,[X]反=11001011B。
(2)已知补码,求原码。
分析:
按照求负数补码的逆过程,数值部分应是最低位减1,然后取反。
但是对二进制数来说,先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的,故仍可采用取反加1有方法。
例:
已知某数X的补码11101110B,试求其原码。
解:
由[X]补=11101110B知,X为负数。
求其原码表示时,符号位不变,数值部分按位求反,再在末位加1。
11101110补码
10010001符号位不变,数值位取反
1+1
10010010原码
1.3.2有符号数运算时的溢出问题
请大家来做两个题目:
两正数相加怎么变成了负数?
?
?
1)(+72)+(+98)=?
01001000B+72
+01100010B+98
10101010B-42
两负数相加怎么会得出正数?
?
?
2)(-83)+(-80)=?
10101101B-83
+10110000B-80
01011101B+93
思考:
这两个题目,按照正常的法则来运算,但结果显然不正确,这是怎么回事呢?
答案:
这是因为发生了溢出。
如果计算机的字长为n位,n位二进制数的最高位为符号位,其余n-1位为数值位,采用补码表示法时,可表示的数X的范围是-2n-1≤X≤2n-1-1
当n=8时,可表示的有符号数的范围为-128~+127。
两个有符号数进行加法运算时,如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时,就会发生溢出,使计算结果出错。
很显然,溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。
对于加法运算,如果次高位(数值部分最高位)形成进位加入最高位,而最高位(符号位)相加(包括次高位的进位)却没有进位输出时,或者反过来,次高位没有进位加入最高位,但最高位却有进位输出时,都将发生溢出。
因为这两种情况是:
两个正数相加,结果超出了范围,形式上变成了负数;两负数相加,结果超出了范围,形式上变成了正数。
而对于减法运算,当次高位不需从最高位借位,但最高位却需借位(正数减负数,差超出范围),或者反过来,次高位需从最高位借位,但最高位不需借位(负数减正数,差超出范围),也会出现溢出。
在计算机中,数据是以补码的形式存储的,所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位,而讲解补码必须涉及到原码、反码。
本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。
过程与结果显示在列表框中,结果比较少,不必自动清除,而过程是相同的,没有必要清除。
故需设清除各部分及清除全部的按钮。
测试时注意最大、最小正负数。
用户使用时注意讲解不会溢出:
当有一个数的反码的全部位是1才会溢出,那么它的原码是10000...,它不是负数,故不会溢出。
在n位的机器数中,最高位为符号位,该位为零表示为正,为一表示为负;其余n-1位为数值位,各位的值可为零或一。
当真值为正时,原码、反码、补码数值位完全相同;当真值为负时,原码的数值位保持原样,反码的数值位是原码数值位的各位取反,补码则是反码的最低位加一。
注意符号位不变。
总结:
提示信息不要太少,可“某某数的反码是某某”,而不是只显示数值。
原码、反码和补码
一、原码
求原码:
X≥0,则符号位为0,其余照抄;
X≤0,则符号位为1,其余照抄。
【例1】X=+1001001[X]原=01001001
【例2】X=-1001001[X]原=11001001
二、反码
求反码:
若X≥0,符号位为0,其余照抄;
若X≤0,符号位为1,其余按位取反。
【例3】X=+1001001[X]反=01001001
【例4】X=-1001001[X]反=10110110
三、补码
求补码:
若X≥0,符号位为0,其余照抄;
若X≤0,符号位为1,其余取反后,最低位加1。
【例5】X=+1001001[X]补=01001001
【例6】X=-1001001[X]补=10110111
四、补码加减法
计算机中实际上只有加法,减法运算转换成加法运算进行,乘法运算转换成加法运算进行,除法运算转换成减法运算进行。
用补码可以很方便的进行这种运算。
1、补码加法
[X+Y]补=[X]补+[Y]补
【例7】X=+0110011,Y=-0101001,求[X+Y]补
[X]补=00110011[Y]补=11010111
[X+Y]补=[X]补+[Y]补=00110011+11010111=00001010
注:
因为计算机中运算器的位长是固定的,上述运算中产生的最高位进位将丢掉,所以结果不是
100001010,而是00001010。
2、补码减法
[X-Y]补=[X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补
其中[-Y]补称为负补,求负补的方法是:
对补码的每一位(包括符号位)求反,最后末位加“1”。
【例8】X=+0111001,Y=+1001101,求[X-Y]补
[X]补=00111001[Y]补=01001101[-Y]补=10110011
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补=00111001+10110011=11101100
五、数的表示范围
通过上面的学习,我们就可以知道计算机如果用一个字节表示一个整数的时候,如果是无符号数,可以表示0~255共256个数(00000000~11111111),如果是有符号数则能表示-128~127共256个数(10000000~01111111)。
如果两个字节表示一个整数,则共有65536个数可以表示,大部分程序设计语言中整数的范围都是-32768~32767的原因,可以看出这种整数类型是16位的有符号数,而且是补码表示的。
正数的反码和补码都是和原码相同。
为什么要设立补码呢?
第一是为了能让计算机执行减法:
[a-b]补=a补+(-b)补
第二个原因是为了统一正0和负0
正零:
00000000
负零:
10000000
这两个数其实都是0,但他们的原码却有不同的表示。
但是他们的补码是一样的,都是00000000
特别注意,如果+1之后有进位的,要一直往前进位,包括符号位!
(这和反码是不同的!
)
[10000000]补
=[10000000]反+1
=11111111+1
=
(1)00000000
=00000000(最高位溢出了,符号位变成了0)
有人会问
10000000这个补码表示的哪个数的补码呢?
其实这是一个规定,这个数表示的是-128
所以n位补码能表示的范围是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原码能表示的数多一个