微分方程习题及答案.docx
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微分方程习题及答案
微分方程习题
§1基本概念
1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解
（1）x2xyy2C,（x2y）y2xy
t2
（2）oe7dtx1,yy（y）2
2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C,C1,C2均为常数）
（一般方法：
对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）
（1）（xC）2y21；
（2）yC1sin2xC2cos2x.
3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,,PQ为y轴平分
（3）曲线上的点Px,y处的切线与y轴交点为QPQ长度为2,且曲线过点（2,0）。
§2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解
（1）-.1X2y■.1y2；
（2）sec2xtanydxsecytanxdy0;
（3）dy3xyxy2；
dx
（4）（2xy2x）dx（2xy2y）dy0.
2.求下列微分方程的特解
（1）ye2xy,yx00；
（2）xy
3.求下列微分方程的通解
（1）xyy（lny1）；
x
（2）（x3y3）dx3xy2dy0.
4.求下列微分方程的特解
（1）寻宀，八。
1；
dxxy
5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程
（1）
y（x
y）2；
（2）
xyy
y（lnx
lny）
（3）
y
11
x
y
（4）
y（xy
1）dxx（1
xy
x2y2）dy0
6.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴所围城三角形面积等于常数a2.
7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时（t0）速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系.
8.有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了染色，30
分钟后剩下，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P（t）随时间t
变化的规律，此人胰脏是否正常
9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐
§3一阶线性方程与贝努利方程
1.求下列微分方程的通解
（1）y
（2）（x21）y2xycosx0;
（3）yInydx（xIny）dy0;
（4）y
y
2（lnyx）
（5）d^4eysinx1dx
2.求下列微分方程的特解
（1）yytanxsecx,yx00；
⑵yy叫lx。
1
xx
3.—曲线过原点，在（x,y）处切线斜率为2xy，求该曲线方程.
4.设可导函数（x）满足方程
x
（x）cosx2°（t）sintdt
x1，求（x）.
（3）
dx
ydyX
x2lny0
（4）y
xy
x21
xy2
5.设有一个由电阻R10，电感L2H，电流电压E20sin5tV串联
组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.
6.求下列贝努利方程的通解
y26
（1）yxy
x
§4可降阶的高阶方程
1.求下列方程通解。
（1）yyx;
（2）y竽;⑶yy2y204y3y1
x1
2.求下列方程的特解
1yy2,yxo0,yxo1
（2）y
2
2xyex,yx00,yx00
3.求y
x的经过（0,1）且在与直线y上1相切的积分曲线
2
4.证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线
证明：
（1A’K‘（K
0,K0可推出y是线性函数；K可取正或负
5.枪弹垂直射穿厚度为
的钢板，入板速度为a,出板速度为b（ab）,
设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少
§5高阶线性微分方程
1.已知y1（x）,y2（x）是二阶线性微分方程yp（x）yq（x）yf（x）的解，试证
y1（x）y2（x）是yp（x）yq（x）y0的解
2.已知二阶线性微分方程yp（x）yq（x）yf（x）的三个特解
y1x,y2x2,y3e3x，试求此方程满足y（0）0,y（0）3的特解.
3.验证yix1,y2ex1是微分方程（x1）yxyy1的解，并求其通解•
§6二阶常系数齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解
（1）
y
y
2yo；
（2）
y
6y
13yo；
（3）
y
4y
4yo；
（4）
（4）y
2y
yo.
2.求下列微分方程的特解
（1）y4y3y0,yxo6,y|xo10
（2）y25y0,yxo2,yxo5
（3）y4y13y0,yxo2,yxo3
3.设单摆摆长为I，质量为m,开始时偏移一个小角度°，然后放开,
开始自由摆动•在不计空气阻力条件下，求角位移随时间t变化的规
4.圆柱形浮筒直径为，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮
x（t）
筒周期为2s,求浮筒质量.
5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自
桌上垂下部分长为im问需多少时间链条全部滑过桌面.
§7二阶常系数非齐次线性微分方程
（1）y3y2y3xex；
（2）y5y4y32x；
（3）y4yxcosx；
（4）yysin2x；
（5）yy2yx（ex4）.
2．求下列微分方程的特解
（1）y3y2y5,y（0）6,y（0）2；
（2）yysin2x0,y（）1,y（）1
求f（x）.
3.设连续函数f（x）满足f（x）ex,（tx）f（t）dt
4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k），求此物体之运动规律.
x（t）
5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m另一端离开钉
子12m若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.
x（t）
6.大炮以仰角、初速V。
发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线
§8欧拉方程及常系数线性微分方程组
（1）x3yxy2xy2yx3
x2
（2）y
2.求下列微分方程组的通解
dxdy
（1）
dtdtdxdydtdt
d2x
（2）
dt2d2ydt2
3x
x
4y0
y0
自测题
1.求下列微分方程的解。
（1）y
tan》;
x
（3）y
2xy
（4）yyxsin2x.
2.求连续函数（X）,使得x0时有0（xt）dt2（x）.
3•求以y（CiC2Xx2）e2x为通解的二阶微分方程.
x，求
试求:
4.某个三阶常系数微分方程yaybycy0有两个解ex和
a,b,c.
5.设yp（x）yf（x）有一个解为-，对应齐次方程有一特解x2,
x
（1）p（x）,f（x）的表达式；
（2）该微分方程的通解.
6.已知可导函数f（x）满足关系式:
f（x）1求f（x）.
7.已知曲线yy（x）上原点处的切线垂直于直线x2y10，且y（x）满足微分方程y2y5yexcos2x，求此曲线方程.
微分方程习题答案
§1基本概念
1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解
（1）x2xyy2C,（x2y）y2xy
解：
求导:
2xyxy2yy0
移项：
（x2y）y2xy
故所给出的隐函数是微分方程的解
（2）
x1,y
y（y）2.
解：
隐函数方程两边对x求导
匚
eTy10
方程两边再对x求导
2
_y_
e[yyyy]0
指数函数非零，即有
yy（y）2
故所给出的隐函数是微分方程的解
2.已知曲线族，求它相应的微分方程（其中cc,C2均为常数）
（一般方法：
对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数
决定求导次数.）
（1）（xC）2y21；
求导得:
2（xc）2yy0
解出xcyy
代入原方程得y2y2y21
求导得:
y25cos2x2c2（sin2x）再求导得:
y4c1sin2x4c2cos2x消去c1,c2得:
y4y0
3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
解：
设曲线为y二y（x）则曲线上的点x,y处的切线斜率为y，由题意知所求方程为yx2
（2）曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。
解：
曲线上的点x,y处法线方程：
Yy丄Xx。
y
故法线x轴的交点为Q坐标应为yyx,0，又PQ为y轴平分，故
1c
yyxx0，
2
便得曲线所满足的微分方程：
yy2x0
（3）曲线上的点Px,y处的切线与y轴交点为QPQ长度为2,且曲
线过点（2，0）。
解：
点Px,y处切线方程：
Yyy（Xx）
故Q坐标为0,yyx，则有
PQ
yyyx
则得初值问题为:
x2（1y2）4
yx20
§2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解
（1）-.1x2y.1y2；
解:
分离变量
dy
_dx_,两边积分
1x2，
dy
2x
dx
得arcsinyarcsinxc
（2）sec2xtanydxsecytanxdy
解:
分离变量
sec2xdx
tanx
sec2ydy
tany
驚常Wx「anyC1
IntanxtanyG
In|tanxtany|
e
eC1
tanxtanyeC1tanxtanyeC1
tanxtanyC其中ceC1
（3）乎3xyxy2；
dx
dy
dx
3xy
2
xy
xdxxdx
y（y3）y（y3）
孚xy（y3）分
dx
dy
xdx
y（y3）
1
dy
dy
xdx
3
y
y3
In
1y3
3x23C1
|y3
2
y
人2
ln|y3
Ci
In
e
e2
3Ci
3C3
Ex2
e2
Ce2其中c
3Ci
e1
（4）（2xy2x）dx（2xy2y）dy
0.
2y
2y1
dy
2x
2x1
dx
2y
2y1
dy
2x
2x1
dx
In
In
2y1
2y
In2x1C1
12x1
其中CeC1
In2y12x1
eC1
2.求下列微分方程的特解
（1）ye2xy，yxo0；
变
d2y1
量
d2x1
得
2y1
2x1
In2y1e
2x1
eC1
2y12x1eC1
2y12x1C
解：
eydye2xdx
eydye2xdx
y12x
eec
2
由yx0o解得c—
所以特解为：
ey-（e2x1）
2
⑵xyyy2,yx1寸
解：
分离变量得
dy
2
yy
dx
x
（-
y
1
）dyy
dx
x
In
InxCi
In
e
y」
y
ln|x|C1
e11
y_1
eC1
eC1x
山Cx，其中
y
CeC1，
1，故特解为y
xy
3.求下列微分方程的通解
（1）xyy（lny1）；
x
解：
方程变形为齐次方程
dy
dx
原方程变为
du
uInu
In|Inu
e
dx
x
Inx|C1
e
dy
x-
dx
即
u（lnu1），
dInu
Inu
（InV
x
分离变量得
1），
dx
du
uInu故InInu
则鱼
dx
dx
x
In
du
x，故
dx
两边积分
Inu
eC1
Inu
eC1x
y
In—Cx其中CeC1
x'八
（2）（x3y3）dx3xy2dy0
解：
方程变形为齐次方程
dy
dx
程变为
du
ux——
dx
1则3
xdx
du
x-
dx
故原方
第，分离变量得
3u2du
12u3
dx
x
d12u3
12u
两边积分
3u2du
12u3
dx
x
2u3
2口厂
dx
x
In1
2u3
2lnxC1
In1
2u3
2lnx
Ci
In1
2u3
x2
Ci
In1e
2u3x2
eC1
2u3
x2
eC1
3
x2
eC1
x2
eC1
2y3
Cx其中C
eC1
4.
求下列微分方程的特解
⑴2"，小1；
解：
原方程化为光
y
x
y
x
dx
X虫，故原方程变为
dx
du
x-
dx
u
1u2
分离变量得
2
u
~-
u
du
dx
x
2udu
dx
x
du
dx
x
Inu
Inx
C1
In
Inx
C1
Inux
eIn|yC1
u2
eC1
Cy其中
eC1
eC1
C1,
故特解为
（2）
（y23x2）dy
2xydx
0，yx01.
解：
原方程可化为
dy
dx
2》
x~2~
_y
x
-,令u
3
上则矽
xdx
du
xdx，
故原方程变为
du
ux—
dx
2u
2
u
3'分离变量得
In
dx
x
2
3u_du
uu
曾n
In
dx,两边积分
x
2
Lduu
1Inu
1In
Inx
InC即
u21
3
u
InCx得
2
u
3
u
Cx
y
即亠
y
1
-Cx，
1得特解为
5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程
（1）y
（xy）2；
解：
令u
xy则dxdx得arctanu
dx1'原方程变为du
1u2，
分离变量并积
故方程通解为arctan（xy）
（2）xy
yy（lnxIny）
解：
令xy
u,贝yy
dx
dInu
Inu
岁，原方程变为字
dxdx
dx
x
分离变量并积
得InInu
Inx
得Inu
Cx，即InxyCx，其中C
eC1故方程通解
为xy
cxe
（少1
ln|xGe
Inu
eC1
InuCx，其中
eC1）
（3）
解：
令x
u，则1
dy
dx
du
dx
原方程变为1
du
dx
，分离变量并
积分
udu
dx得
xC故方程通解为
（x
解：
令xyu,
则xdxy
dU，原方程变为X竺uU『2，分离变
dxdx1uu
2
量并积分一u3udu
u
dx
x
得-u2u1InuInxG，即2x2y3
2
C12xy其中C
c-
（分析原方程可变形为XX?
y
xy
xy
xy
2
xy
2
xy
，故令令x
yu,
121
—uuInuInxC12
u
In—
x
C12u2u1e2
eC1
2
xy
xy
2x2y3C12xy其中CeC1）
解：
x（1
y
xyx2y
2、dy
）匸
（xy
1）
令xy
u,
代入上式
2
—（1
u
1
u2）（ru
x
dx
2udu
u
-3
u
得通解:
2x2y2
解得:
In
x
lny
2xy1cx2y
1
—2Inxc
2u
6.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴
所围城三角形面积等于常数a2.
解：
曲线点P（x,y）的切线方程为:
Yyy（xx）
该曲线与x轴交点记为B,则B坐标为x上,0,
y
过点P（x,y）平行于y轴的直线和x轴交点记为A,则A坐标为x,0
故三角形面积为2abap
x|ya2
即有微分方程y22a2dy
dx
当y22a2也时用分离变量法解得y（Cx）2a2
dx
当y22a2业时用分离变量法解得y（Cx）2a2
dx
7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时（t0）速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系.
解：
根据Fma
m巴,而F
dt
mg
kv（k为比例常数）便得V满足微分方程:
mgkv
dvm—.
dt
及初始条件：
v|t00
求解方程：
lxmdv
dt
mgkv
积分得：
t—ln（mgkv）ck
由v|t0
0解得cmln（mg）
所以得：
v
kt
逊em）.
&有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.
正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了染色，
30分钟后剩下，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P（t）随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常
解：
t以分为单位，因此,每分钟正常胰脏吸收40%fe色可得
通解为：
5
Inptc
2
加以初始
P（0）=,
便可求出
p（t）=04t及p（30）=12
dp门，
0.4p
dt
然后与实测比较知，此人胰脏不正常.
9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小
时后，容器内尚有多少盐
解：
设t时刻容器内含盐P（t）,P（0）10，由于t时刻容器内液体为：
100+t，因此t时刻容器内浓度为：
Q（t）上虬.于是在t时刻盐的流失
100t
速度为：
2Q（t），从而有P（t）满足的方程为：
P（t）
100
dP（t）2t
初始化条件为：
10
dp
100tdt
InP
2ln（100t）IncIn
（100t）
（100t）
f010,求得c100000
（100t）
当t60分钟时，
輕03.9（kg）
25600
§3一阶线性方程与贝努利方程
1求下列微分方程的通解
（1）y
解：
法一：
常系数变易法：
解齐次方程y
y0，分离变量得也虫,
xyx
eC1（注：
在常系数变易法
Iny
InxG
InyInxCiee
eCix
Cx其中Ce
Ci。
齐次方
程有解
代入非齐次方程有
积分得InyInxC1，即yCx，其中C
时求解齐次方程通解时写成显式解;
x，即u
非齐次微分方程的通解
法二（公式法）
!
dx
Idx
yex
x2exdxC
Inxe
2Inx,
xedxC
xxdxC
解：
y
2x
cosx
x21
ax21[
2xH
cosxxndxex1dxC]1
cosxdx
C]
sinxC
x2
（x2
2x—dx
1
2
x
~2~
x
1
r）
（3）
yinydx
（x
iny）dy
解:
方程变形为
dx1
dyyiny
iny
iinydy
x
dyyiny
dy
dyG
ininye
1inin
ydyCi
C1
1
iny
2
iny
即2xiny
in2
其中
2G
（4）y
2（iny
x）
解:
方程变形为
dx2
x
dyy
-iny,y
故x
2hdyy
e
2in
2dy
y.
yedy
Ce2iny
—inye2inydyC
y
y
1
2,
2
dyC
1
1
2.1宀
2
In
yy
2ylnydyC
2
ylnyC
y
y
y
y
2
即xy2
2
y
lny
1C
2
（
分
部
积
分法
2yln
ydy
ln
ydy2y2
lny
y2dlnyy2
lny
2
y、
ydyylny厅c）
（5）
dy
4ey
sinx1
dx
解：
两边同乘e得澧4sinxe，即先4sinxey,故令uey，则原方程变为一u4sinx
dx
故uedx（4sinxeC），即卩uex（4sinxexdxC）
得uex[2（sinxexcosxex）C]
即原方程通解为ey
2（sinxcosx）
Ce
（sinxexdx用分部积分法积分）
2.求下列微分方程的特解
（1）yytanxsecx,yxo0;
解：
sinx」sinx」
tanxdxtanxdxdxdx
ye[secxedxC]ecosx[secxecosxdxC]
ecosx[secxecosxdxC]
Incosx「Incosx■
e[secxedxC]
dxC
cosx
代y（0）0
c0特解：
y
cosx
⑵yy沁,ylxo1
xx
解：
y
1dx
x[
sinx
dx
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