微分方程习题及答案.docx

1、微分方程习题及答案微分方程习题 1 基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解(1)x2 xy y2 C,(x 2y)y 2x yt2(2)oe7dt x 1,y y(y )22.已知曲线族，求它相应的微分方程(其中 C,C1,C2均为常数)(一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数 决定求导次数.)(1)(x C)2 y2 1 ；(2)y C1 sin2x C2 cos2x .3 .写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。(1)曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。(2)曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q, PQ为y轴平分(3)曲线上的点Px, y处的切

2、线与y轴交点为Q PQ长度为2,且曲 线过点(2, 0)。 2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解(1)-.1 X2 y . 1 y2 ；(2)sec2 x tan ydx sec y tan xdy 0 ;(3)dy 3xy xy2 ；dx(4) (2xy 2x)dx (2xy 2y)dy 0.2.求下列微分方程的特解(1) y e2x y, y x 0 0 ；(2) xy3.求下列微分方程的通解(1)xy y(lny 1)；x(2)(x3 y3)dx 3xy2dy 0.4.求下列微分方程的特解(1)寻宀，八。1 ；dx x y5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程(1)y (

3、xy)2 ；(2)xy yy(ln xlny)(3)y1 1xy(4)y(xy1)dx x(1xyx2y2)dy 06.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于 y轴的直线和x轴 所围城三角形面积等于常数a2.7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设 开始下落时(t 0)速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系.8.有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能. 正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐1

4、0kg，现以每分钟3L的速 度注入清水，同时又以每分钟 2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小 时后，容器内尚有多少盐 3 一阶线性方程与贝努利方程1 .求下列微分方程的通解(1) y(2) (x2 1)y 2xy cosx 0 ;(3)y In ydx (x In y)dy 0 ;(4) yy2(ln y x)(5) d 4e y sin x 1 dx2.求下列微分方程的特解(1) y ytan x secx, y x 0 0 ；y y叫lx。1x x3.曲线过原点，在（x,y）处切线斜率为2x y，求该曲线方程.4.设可导函数（x）满足方程x(x)cosx 2 (t)sin tdtx 1，求（

5、x）.(3)dxydy Xx2 l n y 0(4) yxyx2 1xy25.设有一个由电阻 R 10，电感L 2H，电流电压E 20sin5tV串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.6.求下列贝努利方程的通解y 2 6(1)y x yx 4可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。(1)y y x; (2) y 竽;yy 2y 2 0 4 y3y 1x 12.求下列方程的特解1 y y2,yxo 0,y xo 1(2)y22xy e x , y x 0 0, y x 0 03.求yx的经过(0,1)且在与直线y上1相切的积分曲线24.证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线证明：(1 A

6、 K(K0,K 0可推出y是线性函数；K可取正或负5.枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为a ,出板速度为b(a b),设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少 5高阶线性微分方程1.已知y1(x), y2 (x)是二阶线性微分方程y p(x)y q(x)y f (x)的解，试证y1(x) y2(x)是 y p(x)y q(x)y 0 的解2.已知二阶线性微分方程y p(x)y q(x)y f(x)的三个特解y1 x, y2 x2, y3 e3x，试求此方程满足y(0) 0, y (0) 3的特解.3.验证yi x 1, y2 ex 1是微分方程(x 1)y xy y 1的

7、解，并求其通 解 6二阶常系数齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解(1)yy2y o ；(2)y6y13y o ；(3)y4y4y o ；(4)(4) y2yy o.2.求下列微分方程的特解(1)y 4y 3y 0, y x o 6, y | x o 10(2)y 25y 0, y x o 2, y x o 5(3)y 4y 13y 0, y x o 2, y x o 33.设单摆摆长为I，质量为m,开始时偏移一个小角度，然后放开,开始自由摆动在不计空气阻力条件下，求角位移 随时间t变化的规4.圆柱形浮筒直径为，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮x(t)筒周期为2s,求浮筒质量.5.长

8、为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为im问需多少时间链条全部滑过桌面. 7二阶常系数非齐次线性微分方程(1) y 3y 2y 3xe x ；(2) y 5y 4y 3 2x ；( 3) y 4y xcosx；(4) y y sin2 x ；(5) y y 2y x(ex 4).2求下列微分方程的特解(1) y 3y 2y 5, y(0) 6,y (0) 2；(2) y y sin2x 0, y( ) 1,y ( ) 1求 f(x).3.设连续函数 f(x)满足 f(x) ex ,(t x)f(t)dt4. 一质量为 m 的质点由静止开始沉入水中， 下沉时水的

9、反作用力与速 度成正比（比例系数为 k ），求此物体之运动规律 .x(t)5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子 8m另一端离开钉子12m若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.x(t)6.大炮以仰角、初速V。发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线 8欧拉方程及常系数线性微分方程组(1) x3y xy 2xy 2y x3x2(2) y2.求下列微分方程组的通解dx dy(1)dt dt dx dy dt dtd2x(2)dt2 d2y dt23xx4y 0y 0自测题1.求下列微分方程的解。(1) ytan;x(3) y2xy(4) y y xsi n2x.2.求连续函数(X),使得x 0时

10、有0 (xt)dt 2 (x).3求以y (Ci C2X x2)e 2x为通解的二阶微分方程.x，求试求:4.某个三阶常系数微分方程 y ay by cy 0有两个解ex和a, b, c.5 .设y p(x)y f (x)有一个解为-，对应齐次方程有一特解x2,x(1 ) p(x), f (x)的表达式；(2)该微分方程的通解.6.已知可导函数f(x)满足关系式:f(x) 1 求 f(x).7.已知曲线y y(x)上原点处的切线垂直于直线x 2y 1 0，且y(x)满 足微分方程y 2y 5y excos2x，求此曲线方程.微分方程习题答案 1 基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程

11、的解(1) x2 xy y2 C,(x 2y)y 2x y解：求导:2x y xy 2yy 0移项：(x 2y)y 2x y故所给出的隐函数是微分方程的解(2)x 1,yy(y)2.解：隐函数方程两边对x求导匚e T y 1 0方程两边再对x求导2_y_e y yy y 0指数函数非零，即有y y(y)2故所给出的隐函数是微分方程的解2.已知曲线族，求它相应的微分方程(其中 cc,C2均为常数)(一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.)(1) (x C)2 y2 1 ；求导得:2(x c) 2yy 0解出 x c yy代入原方程得y2y2 y2 1求导得:y 2

12、5 cos2x 2c2( sin 2x) 再求导得:y 4c1 sin2x 4c2 cos2x 消去 c1, c2 得:y 4y 03 .写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。(1)曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。解：设曲线为y二y ( x )则曲线上的点x,y处的切线斜率为y，由 题意知所求方程为y x2(2)曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。解：曲线上的点x, y处法线方程：Y y 丄X x。y故法线x轴的交点为Q坐标应为yy x,0，又PQ为y轴平分，故1cyy x x 0，2便得曲线所满足的微分方程：yy 2x 0(3)曲线上的点Px, y处的切

13、线与y轴交点为Q PQ长度为2,且曲线过点(2，0)。解：点P x, y处切线方程：Y y y (X x)故Q坐标为0,y yx，则有PQy y yx则得初值问题为:x2(1 y 2) 4yx2 0 2可分离变量与齐次方程1 .求下列微分方程的通解(1) -.1 x2 y . 1 y2 ；解:分离变量dy_dx_,两边积分1 x2，dy2 xdx得 arcsin y arcs in x c(2) sec2 x tan ydx sec y tanxdy解:分离变量sec2 xdxtan xsec2 ydytan y驚常 Wxany C1In tan xtany GIn |tanxtan y|ee

14、C1tan xta ny eC1 tan xta ny eC1tanxtany C 其中 c eC1(3)乎 3xy xy2 ；dxdydx3xy2xyxdx xdxy(y 3) y(y 3)孚xy(y 3)分dxdyxdxy(y 3)1dydyxdx3yy 3In1 y33x2 3C1|y 32y人2ln|y 3CiInee23Ci3C3Ex2e2Ce2其中c3Cie 1(4) (2x y 2x)dx (2x y 2y)dy0.2y2y 1dy2x2x 1dx2y2y 1dy2x2x 1dxInIn2y 12yIn 2x 1 C11 2x 1其中C eC1In 2y 1 2x 1eC12.求

15、下列微分方程的特解(1) y e2x y，y x o 0 ；变d 2y 1量d 2x 1得2y 12x 1In 2y 1 e2x 1eC12y 1 2x 1 eC12y 1 2x 1 C解：eydy e2xdxeydy e2xdxy 1 2xe e c2由y x 0 o解得c 所以特解为：ey -(e2x 1)2 xy y y2, yx1 寸解：分离变量得dy2y ydxx(-y1)dy ydxxInIn x CiIneyyln|x| C1e 1 1y_1eC1eC1x山Cx，其中yC eC1，1，故特解为yxy3.求下列微分方程的通解(1) xy y(lny 1)；x解：方程变形为齐次方程d

16、ydx原方程变为duu I n uIn |In uedxxIn x| C1edyx -dx即u(lnu 1)，d I n uIn u(In Vx分离变量得1)，dxduu I n u 故 In Inu则鱼dxdxxIndux ，故dx两边积分In ueC1In ueC1xyIn Cx 其中 C eC1x 八(2) (x3 y3)dx 3xy2 dy 0解：方程变形为齐次方程dydx程变为duu xdx1则3x dxdux -dx,故原方第，分离变量得3u2du1 2u3dxxd 1 2u31 2u两边积分3u2du1 2u3dxx2u32口厂dxxIn 12u32ln x C1In 12u32

17、ln xCiIn 12u3x2CiIn 1 e2u3 x2eC12u3x2eC13x2eC1x2eC12y3Cx其中CeC14.求下列微分方程的特解2 ，小1 ；解：原方程化为光yxyxdxX虫，故原方程变为dxdux -dxu1 u2分离变量得2u-ududxx2 u dudxxdudxxIn uIn xC1InIn xC1In uxeIn|y C1u2eC1Cy其中eC1eC1C 1,故特解为(2)(y2 3x2)dy2xydx0， y x 0 1 .解：原方程可化为dydx2x 2_yx-,令u3上则矽x dxduxdx，故原方程变为duu x dx2u2u3分离变量得Indxx23 u

18、_duu u曾nIndx ,两边积分x2Ldu u1 In u1 InIn xIn C即u2 13uIn Cx 得2u3uCxy即亠y1-Cx ，1得特解为5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程(1) y(x y)2 ；解：令ux y 则 dx dx 得 arcta nudx1 原方程变为du1 u2，分离变量并积故方程通解为arctan(x y)(2) xyy y(ln x In y)解：令x yu,贝 y ydxd I n uIn u岁，原方程变为字dx dxdxx分离变量并积得 In In uIn x得In uCx，即 In xy Cx，其中 CeC1故方程通解为xycx e(少1

19、ln|x G eIn ueC1Inu Cx，其中eC1 )(3)解：令xu，则1dydxdudx原方程变为1dudx，分离变量并积分ududx得x C故方程通解为(x解：令x y u,则 xdx ydU，原方程变为X竺u U2，分离变dx dx 1 u u2量并积分 一u3 u duudxx得-u 2 u 1 In u In x G，即 2x2y32C 1 2xy其中Cc-(分析原方程可变形为X X? yxyxyxy2xy2xy，故令令xy u,1 2 1u u In u In x C1 2uIn xC1 2u 2 u 1 e 2eC12xyxy2x2y3 C 1 2xy 其中 C eC1)解

20、：x(1yxy x2y2、dy)匸(xy1)令xyu,代入上式2(1u1u2)( ruxdx2 u duu-3u得通解:2x2y2解得:Inxln y2xy 1 cx2y12 In x c2u6.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于 y轴的直线和x轴所围城三角形面积等于常数a2.解：曲线点P (x, y)的切线方程为:Y y y(x x)该曲线与x轴交点记为B,则B坐标为x上,0 ,y过点P (x, y)平行于y轴的直线和x轴交点记为A,则A坐标为x,0故三角形面积为2abapx|y a2即有微分方程y2 2a2 dydx当y2 2a2也时用分离变量法解得y(C x) 2a2dx当y2

21、2a2业时用分离变量法解得y(C x) 2a2dx7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开 始下落时(t 0)速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系.解：根据F mam巴,而Fdtmgkv(k为比例常数)便得V满足微分方程:mg kvdv m.dt及初始条件：v|t 0 0求解方程：lx mdvdtmg kv积分得：t ln(mg kv) c k由 v|t00 解得 c ml n( mg)所以得：vkt逊 em).&有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能 .正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t分钟

22、时正常胰脏中染色量P(t)随 时间t变化的规律，此人胰脏是否正常解：t以分为单位，因此,每分钟正常胰脏吸收40%fe色可得通解为：5In p t c2加以初始P(0)=,便可求出p(t)= 04t 及 p(30)= 12dp 门，0.4pdt然后与实测比较知，此人胰脏不正常.9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速 度注入清水，同时又以每分钟 2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐解：设t时刻容器内含盐P(t), P(0) 10，由于t时刻容器内液体为：100+t，因此t时刻容器内浓度为：Q(t)上虬.于是在t时刻盐的流失100 t速度为：2Q(t

23、)，从而有P(t)满足的方程为：P(t)100dP(t) 2t初始化条件为：10dp100 tdtIn P2ln (100 t) Inc In(100 t)(100 t)f 0 10,求得 c 100000(100 t)当t 60分钟时，輕0 3.9(kg)25600 3 一阶线性方程与贝努利方程1求下列微分方程的通解(1) y解：法一：常系数变易法：解齐次方程yy 0，分离变量得也虫,x y xeC1 （注：在常系数变易法In yIn x GIn y In x Ci e eeCixCx其中C eCi。齐次方程有解代入非齐次方程有积分得In y In x C1，即y Cx，其中C时求解齐次方程

24、通解时写成显式解;x，即 u非齐次微分方程的通解法二（公式法）!dxIdxy e xx2e x dx CInx e2 Inx ,x e dx Cx xdx C解：y2xcosxx2 1a x2 1 2x Hcosx xndx e x 1 dx C 1cosxdxCsin x Cx2(x22xdx12x2x1r)(3)yin ydx(xin y)dy解:方程变形为dx 1dy yinyin yiin ydyxdy y in ydydy Gin in y e1 in inydy CiC11in y2in y即 2xin yin2其中2G(4) y2(in yx)解:方程变形为dx 2xdy y-i

25、n y , y故x2h dy ye2 in2dyy .y e dyC e2inyin y e2in ydy Cyy12,2dy C112 . 1 宀2Iny y2yln ydy C2y ln y Cyyyy2即xy22yln y1C2(分部积分 法2ylnydylnydy2 y2ln yy2d ln y y2ln y2y 、ydy y ln y 厅 c )(5)dy4e ysin x 1dx解：两边同乘e得澧4sinx e，即先4sinx ey , 故令u ey，则原方程变为 一 u 4sin xdx故 u e dx( 4sin x e C)，即卩 u e x( 4sinx exdx C)得 u e x2(sin x ex cosx ex) C即原方程通解为ey2(sin x cosx)Ce（sinx exdx用分部积分法积分）2.求下列微分方程的特解（1） y ytanx secx, y x o 0 ;解：si nx sinxtan xdx tan xdx dx dxy e secx e dx C ecosx secx e cosx dx Ce cosx secx e cosx dx CIn cosx In cos x e secx e dx Cdx Ccosx代 y(0) 0c 0特解：ycosx y y 沁,ylxo 1x x解：y1dxx sin xdx