第五章 相似理论与量纲分析.docx

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第五章相似理论与量纲分析

第五章相似原理与量纲分析

仅仅依靠理论知识，一般是很难确定与流体流动相关的所有参变量是如何相互联系的。

在确定函数、关系式、以及某些参变量与自变量的关系时，常常采用实验研究的方法。

鉴于完整描述流体流动的变量数较多，需要进行的实验数目将是相当惊人的。

然而，利用量纲分析与相似原理，可以大大减少需要进行实验的数目。

涉及到流体力学的大多数工程问题的求解，都依赖于实验所获得的数据。

在很多情况下，经验数据已经足够满足工程师们的一般设计需求，这些数据，例如管道的阻力系数与钝头体的阻力系数，可以通过学术期刊及教科书查到。

然而，在许多问题中，要么是引导流动的几何结构太特殊、要么是流动本身太稀少，需要对结构不同尺度的复制品进行专门的实验，以预测流态与压强的变化。

在进行这样的实验时，在实际工程设计中所采用的结构称为原型，复制品称为模型。

基于经济的原因，模型一般比原型小很多。

5.1相似原理与模型实验

5.1.1几何相似、运动相似、动力相似

相似最基本的、或许也是最明显的要求，就是在几何上模型是原型精确的复制品，如图5-1所示。

.

Fig.5-1PrototypeandModel原型与模型

定义：

所谓几何相似，就是模型与原型有完全相同的形状，它们只是尺寸不同。

用下标m表示模型，下标p表示原型，定义长度比尺为

（5.1）

模型与原型之间对应的面积和体积有如下的比例关系

定义：

所谓运动相似，指的是除了满足几何相似，在流动中所有对应点的速度之比相等。

速度比尺为

（5.2）

由于时间在尺度上等于长度除以速度，所以时间比尺为

按同样的方法，加速度比尺为

流量比尺为

运动粘度比尺为

注：

矢量相似要求：

1）所涉及的矢量大小成比例，2）各矢量的方向相同。

定义：

除运动相似外，如果两流动中对应的力成同一比例，则称该两流动动力相似。

即力比尺为

（5.3）

密度比尺可表示为

由于原型及模型流场的密度比尺是已知的，所以通常将密度比尺k作为动力相似的基本比尺。

按照惯例，常用比尺kl、kv和k来其他的动力学变量，称为基本相似比尺。

例如，力比尺可以表示为kF=kkl2kv2。

一般作用在流体上的力包括粘性力、压力（压差）、重力、弹性力、表面张力与惯性力等。

其中，直接影响流动的力是惯性力，它是力图保持原有流动状态的力。

而其它力是力图改变原有流动状态的力，称主动力，是流体受到的外力。

流动的变化就是惯性力与主动力之间相互作用的结果。

相似准则实际就是惯性力与某单项主动力成比例的动力相似。

它是模型设计和试验的基本依据。

前五种力与惯性力的比尺分别表示如下：

惯性力与粘性力比尺

（5.4a）

惯性力与压力比尺

（5.4b）

惯性力与重力比尺

（5.4c）

惯性力与弹性力比尺

（5.4d）

惯性力与表面张力比尺

（5.4e）

上述五个方程中，每个方程都代表了一个动力相似准则。

5.1.2动力相似准则

根据牛顿第二定律，可以建立各比尺间的关系。

由于

（5.5）

其可表示为

'

将外力合力与惯性力之比定义为牛顿数

（5.6）

要使模型与原型流动相似，就要求模型与原型的牛顿数必须相等。

这称为牛顿相似准则，即

（5.7）

1.粘性力相似准则

仅考虑粘性力时，由于惯性力ma与Vv/t，也就是l2v2成正比，而粘性力与l2v/l=lv成正比，得

即

或

（5.8）

定义一个称为雷诺数的无量纲量为

（5.9）

式中l由主要影响流动的线性尺寸确定，如管道的直径、板的长度等。

雷诺数表征了惯性力与粘性力之比。

在粘性力是主导因素的情况下，当（Re）m=（Re）p时，就达到动力相似。

2.压力相似准则

由方程（5.4b），得

简化上述方程，得

（5.10）

定义一个称为欧拉数的无量纲量为

（5.11）

欧拉数表征了惯性力与压力之比。

在压力是主导因素的情况下，当（Eu）m=（Eu）p时，就达到动力相似。

在大多数的工程应用中，经常用压差来取代压力。

因此，欧拉数变为

此外，工程中有时还采用压强系数Cp（

），它也具有欧拉数的意义。

3.重力相似准则

同样，由方程（5.4c），得

（5.12）

定义一个称为佛雷德数的无量纲量为

（5.13）

佛雷德数表征了惯性力与重力之比。

在重力是主导因素的情况下，当（Fr）m=（Fr）p时，就达到动力相似。

4.弹性力相似准则

当可压缩性比较重要时，就要考虑惯性力与弹性力的比值。

由方程（5.4d），得

或

（5.14）

式中K为体积弹性模量。

定义一个称为柯西数的无量纲量为

（5.15）

柯西数表征了惯性力与弹性力之比。

在弹性力是主要考虑因素的情况下，当（Ca）m=（Ca）p时，就达到动力相似。

在处理气体流动问题时，常用马赫数取代柯西数。

用c表示音速，体积弹性模量可表示为

（5.16）

代入方程（5.14），得

定义一称为马赫数的无量纲量为

（5.17）

马赫数是流体速度与在同一介质内声波速度的比值。

在速度接近或超过当地音速时（常常出现在气体动力学分析中），马赫数是最重要的参数。

5.表面张力相似准则

在某些流动中，表面张力比较重要。

在这些情况下，由方程（5.4e），得

（5.18）

定义一称为韦伯数的无量纲量为

（5.19）

韦伯数表征了惯性力与表面张力之比。

在表面张力是主要考虑因素的情况下，当（We）m=（We）p时，就达到动力相似。

5.l.3相似条件

相似条件是实现动力相似的充分必要条件。

有三种相似条件：

1.动力相似的流动满足相同的微分方程。

2.动力相似必须满足“单值”条件。

单值条件将一个流动与其它流动区分开来，其包括几何条件、边界条件、物理性质条件与初始条件。

3.由各种变量构成的模型与原型的无量纲量是相等的。

总之，当由关于单值条件的变量所组成的无量纲量相等时，对于同一种流态，将满足动力相似。

5.l.4近似模型实验

在工程中应力求做到完全相似，但实际上要做到这点是比较困难的，故一般可做到近似相似，即起主要作用的力相似，满足一定的精度要求即可。

当两流动动力相似时，对各相似比尺存在某些限制。

例如，由重力相似准则，对重力场中的流动，有

kv=kl0.5

如果在模型及原型中使用同样的流体，粘性力相似准则则要求

kv=kl-1

显然，这两个相似准则产生了冲突。

随着所考虑的相似准则越多，产生的冲突也就越厉害。

有时，这些矛盾使得根本就不可能进行有意义的模型实验。

因而，在工程应用中，人们经常进行近似模型实验。

这些近似实验是基于仅仅考虑主要的相似准则。

Example5.1

Thedimensionsofaworkshoparel=30m,w=15mandh=10mrespectively.Thediameteroftheventilationinlettotheworkshopis0.6m,wherethevelocityofairis0.8m/s.Ifthelengthscaleratiois1/5,trytodeterminethesizeofaproposedmodelanditsvelocityofairattheinlet.

例5.1一车间的尺寸分别为l=30m,w=15m与h=10m。

通风设备到车间的入口直径为0.6m，空气的速度为0.8m/s。

如果长度比尺为1/5，试确定模型的尺寸与入口处空气的速度。

Solution

Accordingtothegivenconditions,itisknownthatlp=30m,wp=15m,hp=10m,dp=0.6m,andthelengthscaleratiokl=1/5,thus

解根据所给条件，已知lp=30m、wp=15m、hp=10m、dp=0.6m，长度比尺kl=1/5，故

Thekinematicviscosityofairis1.5710-5m2/s.Therefore,theReynoldsnumberintheprototypeis

空气的运动粘度为1.5710-5m2/s，因此原型的雷诺数为

Airisusedinthemodeltest.Accordingtothesimilaritycriterionofviscosity,theReynoldsnumbermustbeequal,so

模型实验使用空气。

根据粘性力相似准则，雷诺数必须相等，因此

Bysolvingforthevelocityandwegetvm=40.04（m/s）

解得vm=40.04（m/s）

Example5.2

Anirrigationcanalis1mwideandcarrieswateratarateof9m3/s.Ageometricallysimilarmodelthatis0.2mwideistobeusedtostudycertainflowcharacteristicsintheirrigationcanal.WhatflowrateisrequiredinthemodeltomaintainFroudenumbersimilarity?

例5.2一灌水渠宽1m，送水流量为9m3/s。

采用宽为0.2m的几何相似模型研究灌水渠的某些流动特性。

要保证佛雷德数相似，模型所需的流量为多少？

Solution

ForFroudenumbersimilarity,（Fr）m=（Fr）p,or

解对于佛雷德数相似，有（Fr）m=（Fr）p，或

Sincegm=gp,wehave

由于gm=gp，得

Becauseqp=vpApandqm=vmAm,itfollowsthat

因为qp=vpAp及qm=vmAm，有

Thus从而

Example5.3

A1:

50modelofaboathasawaveresistanceof0.02Nwhenoperatinginwaterat1.0m/s.

1.Findthecorrespondingprototypewaveresistance.

2.Whatvelocitydoesthistestrepresentintheprototype?

3.Findthepowerrequirementfortheprototype.

例5.3一个1:

50的船模，在速度为1.0m/s的水中航行时，所受到的波浪阻力位0.02N。

1.求原型所受到的波浪阻力。

2.实验在原型中表现的速度为多少？

3.原型所需的功率。

Solution

Gravityandinertiaforcepredominate;hencetheFroudecriterionisapplicable.

解阻力与惯性力其主导作用，因此应用佛雷德准则。

Because（Fr）m=（Fr）p,andgm=gp,

因为（Fr）m=（Fr）p，且gm=gp

Since由于

Then从而

Alsoaccordingto

又根据

Then故

5.2量纲分析

量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种非常有用的方法。

它对于正确分析、科学表达物理过程是十分有益的。

5.2.1量纲的概念

1.量纲与单位

量纲是表征各种物理量性质和类别，是指物理量所属的种类，是物理量的质的表征。

单位：

是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的标准量，是物理量的量的表征。

通常，物理量q的量纲用一个方括号来表示为[q]。

方括号的意思是“具有∙∙∙的量纲”。

2.量纲的分类

量纲包括基本量纲与导出量纲。

基本量纲（独立量纲）：

不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。

导出量纲（非独立量纲）：

可由基本量纲导出的量纲。

对于不可压缩流体运动，通常选取长度、质量及时间的量纲作为基本量纲，分别表示为[L]、[M]和[T]。

其他物理量量纲均为导出量纲。

温度的量纲也是基本量纲，标记为[]。

例如，速度、加速度、力、以及动力粘度的导出量纲可表示如下：

[v]=LT-1[a]=LT-2[F]=MLT-2[μ]=ML-1T-1

综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲[q]都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示，即

[q]=[L]a[M]b[T]c（5.20）

3.导出量纲的划分

在方程（5.20）中，根据指数a、b或/及c是否为零，导出量纲可分为：

1）当a≠0，但b=0，c=0时，为几何学量纲；

2）当a≠0，b≠0，但c=0时，为运动学量纲；

3）当a≠0，b≠0，c≠0时，为动力学量纲。

4.无量纲量

定义：

当量纲公式（5.20）中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时，有[q]=1。

此时该物理量称为无量纲量。

可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到,也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。

无量纲量的特点：

首先是其客观性；第二， 其大小与所选单位无关，不受运动规模的限制；第三，除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、指数、三角函数等超越函数运算。

5.2.2雷利法

1.量纲一致性原理

所有与物理量相关的理论公式都必须是量纲和谐的，即，方程中所有的项必须有相同的量纲。

这就是量纲和谐原理。

例如，伯努利方程中各项都具有长度的量纲，可以将其写成无量纲的形式为

2.雷利法

雷利法也称为指数法，过程变量一经确定，雷利法是一种利用量纲和谐原理，通过求解一组联立方程而获得变量指数的方法，见例5.4。

Example5.4

DeriveanexpressionfortheflowrateofqoverthespillwayshowninFig.5-2.

例5.4推导出图5-2所示的溢流道流量q的表达式。

Fig.5-2Example5.4

Solution

AssumethevariablesthataffecttheflowratearedeterminedtobetheheadH，theaccelerationduetogravityg，andthewidthb．Thereare4variablesassociatedwiththisphenomenon．The[M][L][T]ischosenforreferencedimensions．Thus，wehave

解设影响流量的变量有水头H、重力加速度g、以及宽度b。

与该物理现象有关的变量数共4个。

选[M][L][T]为参考量纲。

where，kisaconstant.Substitutingthedimensionsofthevariablesintotheaboveequation，weget

式中k为常数。

将各变量的量纲代入上述方程，得

Accordingtotheprincipleofdimensionalhomogeneity,wehave

由量纲和谐原理，有

Thus

从而

ThisisasfaraswecangowiththeRayleighmethod,sincewecannotdeterminethevaluesof1and1.However,byfurtherexperimentalinvestigation,ithasbeenshownthattheflowrateisproportionaltothewidthofthespillway，andthat1=1and1=1.5.Therefore，thefinalresultturnsouttobe

利用雷利法只能求解到此，因为1和1不能被确定。

然而，根据进一步的实验研究发现，流量与溢流道的宽度成正比，从而1=1且1=1.5。

因此，最后的结果为

Example5.5

Ithasbeenascertainedthatthephysicalparametersaffectingwaterpump’sinputpowerinclude:

theunitweightγofwater,theflowrateQ,thepumpingheadH.FindtheformulafortheinputpowerNofthewaterpump.

例5.5已知影响水泵输入功率的物理量有：

水的重度γ，流量Q，扬程H。

求水泵输入功率N的表达式。

Solution

TheexponentexpressionofNis

解功率N的指数关系式为

Thecorrespondingdimensionalformulais

对应的量纲表达式为

[ML2T-3]=[ML-2T-2]α1[L3T-1]α2[L]α3

Accordingtotheprincipleofdimensionalconsistency,weget

据量纲的和谐原理有：

Therefore

因此

N=kγQH

Example5.6

Itisregardedbyobservation,experimentandtheoreticalanalysisthattheaverageshearstressτwonunitareattotalflowboundaryisrelatedwithfluiddensityρ,dynamicviscosityμ,averagevelocityv,hydraulicradiusRandtheaverageheightΔofbulgesonsolidsurface.Demonstratethatifletthecoefficientoffrictionalresistance

then

.

例5.6根据观察、实验和理论分析，认为总流边界单位面积上的平均切应力τw与流体密度ρ、动力粘度μ、平均流速v、水力半径R以及固体表面凸出的平均高度Δ有关。

证明若令沿程阻力系数

，则

。

Solution：

Fromtheknowncondition,wehave

由已知条件有

Writetheexponentproductformofτwas

写出τw的指数乘积式

Listthedimensionofeachphysicalquantityintheaboveformulaas

列出上式各物理量的量纲为

dimτ=ML-1T-2dimρ=ML-3

dimμ=ML-1T-1dimv=LT-1

dimR=LdimΔ=L

sodimensionalexpressionoftheaboveformulais

上式的量纲表达式为

Equationsetofdimensionalhomogeneityis

量纲和谐方程组

M：

1=k1+k2

L:

　–1=–3k1–k2+k3+k4+k5

T:

　–2=–k2–k3

Therearefivevariablesintheaboveequationset，threeequations，selectk3、k5astheonestobedetermined.

以上方程组有五个未知数，三个方程。

选定k3、k5为待定。

Solvetheaboveequations,weobtain

联立解上述方程组得

k2=2–k3

k1=k3–1

k4=-2+k3–k5

substitutetheabovesolutionintotheoriginalexponentformofτw,ityields

将上述指数代入原指数乘积式，得

since由于μ=ρν,

then则

and又

thusweget

则可得

iflet

，substituteintotheaboveequation，weobtain

若令

，并代入上式，得

5.2.3帕金汉定理

这一基本理论是由埃德加∙帕金汉的名字命名，他对量纲分析早期的发展作出了贡献。

令xl、x2、...、xn代表n个有量纲的变量，如速度、密度、粘度等，它们与某一物理现象有关。

写出相关变量的量纲一致性方程为

F（xl,x2,x3,...,xn）=0（5.21）

式中各项的量纲是相同的，从而可将方程重新写为

f（1,2,3,…,n）=0（5.22）

式中f是另外一个函数关系，各个值是某些独立xi的无量纲乘积。

项减少的数目m一般等于所有变量中所包含的基本量纲的数目。

在应用帕金汉定理时，应遵循以下的步骤：

（l）弄清题意，找出产生影响的因素。

列出n个与影响有关的变量，这或许是应用帕金汉定理最难的步骤。

这里所说的“变量”包括有量纲及无量纲常数在内的任何量，它们对所研究的现象都具有影响。

最典型的是，这些变量包括描述系统的几何尺寸、流体特性、影响系统的外力等（如单位长度上的压降）。

为了最大减小实验的工作量，各个变量要相互独立，这点很重要。

（2）找出描述所有变量的基本量纲m数。

选择“质量[M]、长度[L]与时间[T]”或“力[F]、长度[L]与时间[T]”作为参考量纲组，来描述n个实验变量。

参考量纲组不要相互混杂。

（3）确定变量的数目为（n-m），其中n为问题中所确定的变量数，m为描述变量的参考量纲数（通常为3）。

（4）将各实验变量表达成变量与其它基本变量的乘积的形式，加上要确定的指数：

（5.23）

则无量纲量i可表示为

（5.24）

Example5.7

Considersteadyviscousflowthroughasmalldiam