第五章 相似理论与量纲分析.docx

1、第五章 相似理论与量纲分析第五章 相似原理与量纲分析 仅仅依靠理论知识，一般是很难确定与流体流动相关的所有参变量是如何相互联系的。在确定函数、关系式、以及某些参变量与自变量的关系时，常常采用实验研究的方法。鉴于完整描述流体流动的变量数较多，需要进行的实验数目将是相当惊人的。然而，利用量纲分析与相似原理，可以大大减少需要进行实验的数目。 涉及到流体力学的大多数工程问题的求解，都依赖于实验所获得的数据。在很多情况下，经验数据已经足够满足工程师们的一般设计需求，这些数据，例如管道的阻力系数与钝头体的阻力系数，可以通过学术期刊及教科书查到。然而，在许多问题中，要么是引导流动的几何结构太特殊、要么是流动

2、本身太稀少，需要对结构不同尺度的复制品进行专门的实验，以预测流态与压强的变化。在进行这样的实验时，在实际工程设计中所采用的结构称为原型，复制品称为模型。基于经济的原因，模型一般比原型小很多。5.1 相似原理与模型实验5.1.1 几何相似、运动相似、动力相似相似最基本的、或许也是最明显的要求，就是在几何上模型是原型精确的复制品，如图5-1所示。. Fig.5-1 Prototype and Model 原型与模型 定义：所谓几何相似，就是模型与原型有完全相同的形状，它们只是尺寸不同。用下标m表示模型，下标p表示原型，定义长度比尺为 (5.1)模型与原型之间对应的面积和体积有如下的比例关系 定义：

3、所谓运动相似，指的是除了满足几何相似，在流动中所有对应点的速度之比相等。速度比尺为 (5.2)由于时间在尺度上等于长度除以速度，所以时间比尺为按同样的方法，加速度比尺为流量比尺为 运动粘度比尺为 注：矢量相似要求：1）所涉及的矢量大小成比例，2）各矢量的方向相同。定义：除运动相似外，如果两流动中对应的力成同一比例，则称该两流动动力相似。即力比尺为 (5.3) 密度比尺可表示为 由于原型及模型流场的密度比尺是已知的，所以通常将密度比尺k作为动力相似的基本比尺。按照惯例，常用比尺kl、 kv 和 k 来其他的动力学变量，称为基本相似比尺。例如，力比尺可以表示为kF=k kl2kv2。一般作用在流体

4、上的力包括粘性力、压力（压差）、重力、弹性力、表面张力与惯性力等。其中，直接影响流动的力是惯性力，它是力图保持原有流动状态的力。而其它力是力图改变原有流动状态的力，称主动力，是流体受到的外力。流动的变化就是惯性力与主动力之间相互作用的结果。相似准则实际就是惯性力与某单项主动力成比例的动力相似。它是模型设计和试验的基本依据。前五种力与惯性力的比尺分别表示如下：惯性力与粘性力比尺 (5.4a)惯性力与压力比尺 (5.4b)惯性力与重力比尺 (5.4c)惯性力与弹性力比尺 (5.4d)惯性力与表面张力比尺 (5.4e) 上述五个方程中，每个方程都代表了一个动力相似准则。5.1.2 动力相似准则根据牛

5、顿第二定律，可以建立各比尺间的关系。由于 (5.5)其可表示为 将外力合力与惯性力之比定义为牛顿数 (5.6)要使模型与原型流动相似，就要求模型与原型的牛顿数必须相等。这称为牛顿相似准则，即 (5.7)1. 粘性力相似准则仅考虑粘性力时，由于惯性力ma 与Vv/t，也就是l2v2成正比，而粘性力与l2v/l=lv成正比，得 即 或 (5.8) 定义一个称为雷诺数的无量纲量为 (5.9)式中l由主要影响流动的线性尺寸确定，如管道的直径、板的长度等。雷诺数表征了惯性力与粘性力之比。在粘性力是主导因素的情况下，当(Re)m=(Re)p时，就达到动力相似。2. 压力相似准则由方程(5.4b)，得简化上

6、述方程，得 (5.10)定义一个称为欧拉数的无量纲量为 (5.11)欧拉数表征了惯性力与压力之比。在压力是主导因素的情况下，当(Eu)m=(Eu)p时，就达到动力相似。在大多数的工程应用中，经常用压差来取代压力。因此，欧拉数变为此外，工程中有时还采用压强系数Cp ( )，它也具有欧拉数的意义。3. 重力相似准则同样，由方程(5.4c)，得 (5.12) 定义一个称为佛雷德数的无量纲量为 (5.13)佛雷德数表征了惯性力与重力之比。在重力是主导因素的情况下，当(Fr)m=(Fr)p时，就达到动力相似。4. 弹性力相似准则当可压缩性比较重要时，就要考虑惯性力与弹性力的比值。由方程(5.4d)，得

7、或 (5.14) 式中K为体积弹性模量。定义一个称为柯西数的无量纲量为 (5.15) 柯西数表征了惯性力与弹性力之比。在弹性力是主要考虑因素的情况下，当(Ca)m=(Ca)p时，就达到动力相似。在处理气体流动问题时，常用马赫数取代柯西数。用c表示音速，体积弹性模量可表示为 (5.16)代入方程(5.14)，得 定义一称为马赫数的无量纲量为 (5.17)马赫数是流体速度与在同一介质内声波速度的比值。在速度接近或超过当地音速时（常常出现在气体动力学分析中），马赫数是最重要的参数。5. 表面张力相似准则在某些流动中，表面张力比较重要。在这些情况下，由方程(5.4e)，得 (5.18)定义一称为韦伯数

8、的无量纲量为 (5.19)韦伯数表征了惯性力与表面张力之比。在表面张力是主要考虑因素的情况下，当(We)m =( We)p时，就达到动力相似。5. l. 3 相似条件相似条件是实现动力相似的充分必要条件。有三种相似条件：1. 动力相似的流动满足相同的微分方程。2. 动力相似必须满足“单值”条件。单值条件将一个流动与其它流动区分开来，其包括几何条件、边界条件、物理性质条件与初始条件。3. 由各种变量构成的模型与原型的无量纲量是相等的。总之，当由关于单值条件的变量所组成的无量纲量相等时，对于同一种流态，将满足动力相似。5. l. 4 近似模型实验在工程中应力求做到完全相似，但实际上要做到这点是比较

9、困难的，故一般可做到近似相似，即起主要作用的力相似，满足一定的精度要求即可。当两流动动力相似时，对各相似比尺存在某些限制。例如，由重力相似准则，对重力场中的流动，有 kv=kl0.5如果在模型及原型中使用同样的流体，粘性力相似准则则要求 kv=kl-1显然，这两个相似准则产生了冲突。随着所考虑的相似准则越多，产生的冲突也就越厉害。有时，这些矛盾使得根本就不可能进行有意义的模型实验。因而，在工程应用中，人们经常进行近似模型实验。这些近似实验是基于仅仅考虑主要的相似准则。Example 5.1 The dimensions of a workshop are l=30m, w=15m and h=

10、10m respectively. The diameter of the ventilation inlet to the workshop is 0.6m, where the velocity of air is 0.8m/s. If the length scale ratio is 1/5, try to determine the size of a proposed model and its velocity of air at the inlet.例 5.1 一车间的尺寸分别为l=30m, w=15m 与 h=10m。通风设备到车间的入口直径为0.6m，空气的速度为0.8m/

11、s。如果长度比尺为1/5，试确定模型的尺寸与入口处空气的速度。Solution According to the given conditions, it is known that lp=30m, wp=15m, hp=10m, dp=0.6m, and the length scale ratio kl=1/5, thus 解 根据所给条件，已知lp=30m、wp=15m、hp=10m、dp=0.6m，长度比尺kl=1/5，故 The kinematic viscosity of air is 1.5710-5m2/s. Therefore, the Reynolds number in

12、the prototype is 空气的运动粘度为1.5710-5m2/s，因此原型的雷诺数为 Air is used in the model test. According to the similarity criterion of viscosity, the Reynolds number must be equal, so 模型实验使用空气。根据粘性力相似准则，雷诺数必须相等，因此 By solving for the velocity and we get vm=40.04 (m/s) 解得 vm=40.04 (m/s)Example 5.2An irrigation canal

13、 is 1m wide and carries water at a rate of 9m3/s. A geometrically similar model that is 0.2m wide is to be used to study certain flow characteristics in the irrigation canal. What flowrate is required in the model to maintain Froude number similarity?例 5.2 一灌水渠宽1m，送水流量为9m3/s。采用宽为0.2m的几何相似模型研究灌水渠的某些流

14、动特性。要保证佛雷德数相似，模型所需的流量为多少？Solution For Froude number similarity, (Fr)m=(Fr)p, or 解 对于佛雷德数相似，有(Fr)m=(Fr)p，或Since gm=gp, we have由于gm=gp，得 Because qp=vpAp and qm=vmAm, it follows that 因为qp=vpAp 及 qm=vmAm，有 Thus 从而 Example 5.3A 1:50 model of a boat has a wave resistance of 0.02N when operating in water a

15、t 1.0m/s.1. Find the corresponding prototype wave resistance. 2. What velocity does this test represent in the prototype? 3. Find the power requirement for the prototype.例5.3 一个1:50的船模，在速度为1.0m/s的水中航行时，所受到的波浪阻力位0.02N。1. 求原型所受到的波浪阻力。2. 实验在原型中表现的速度为多少？3. 原型所需的功率。Solution Gravity and inertia force pred

16、ominate; hence the Froude criterion is applicable.解 阻力与惯性力其主导作用，因此应用佛雷德准则。 Because (Fr)m=(Fr)p, and gm=gp, 因为(Fr)m=(Fr)p，且gm=gp Since 由于 Then 从而 Also according to 又根据 Then 故 5.2 量纲分析量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种非常有用的方法。它对于正确分析、科学表达物理过程是十分有益的。5.2.1 量纲的概念 1. 量纲与单位量纲是表征各种物理量性质和类别，是指物理量所属的种类，是物理量的质的

17、表征。单位：是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的标准量，是物理量的量的表征。通常，物理量q的量纲用一个方括号来表示为q。方括号的意思是“具有的量纲”。2. 量纲的分类量纲包括基本量纲与导出量纲。基本量纲（独立量纲）：不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。导出量纲（非独立量纲）：可由基本量纲导出的量纲。 对于不可压缩流体运动，通常选取长度、质量及时间的量纲作为基本量纲，分别表示为L、M和T。其他物理量量纲均为导出量纲。温度的量纲也是基本量纲，标记为。 例如，速度、加速度、力、以及动力粘度的导出量纲可表示如下：v=LT-1 a=LT-2 F=MLT-2 =ML-1T-1 综合以上各量纲式

18、，可得任一物理量q的量纲 q 都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示，即 q=LaMbTc (5.20) 3. 导出量纲的划分 在方程(5.20)中，根据指数a、b 或/及c是否为零，导出量纲可分为：1) 当 a 0，但b=0，c = 0 时，为几何学量纲；2) 当 a 0，b 0，但c=0时，为运动学量纲；3) 当 a 0，b 0，c 0时，为动力学量纲。 4. 无量纲量 定义：当量纲公式(5.20)中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时，有q=1。此时该物理量称为无量纲量。可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到, 也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。无量纲量的特点：

19、首先是其客观性；第二，其大小与所选单位无关，不受运动规模的限制；第三，除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、指数、三角函数等超越函数运算。5.2.2 雷利法1.量纲一致性原理所有与物理量相关的理论公式都必须是量纲和谐的，即，方程中所有的项必须有相同的量纲。这就是量纲和谐原理。例如，伯努利方程中各项都具有长度的量纲，可以将其写成无量纲的形式为2.雷利法 雷利法也称为指数法，过程变量一经确定，雷利法是一种利用量纲和谐原理，通过求解一组联立方程而获得变量指数的方法，见例5.4。Example 5.4 Derive an expression for the flow rate of q over

20、the spillway shown in Fig. 5-2. 例5.4 推导出图5-2所示的溢流道流量q的表达式。 Fig. 5-2 Example 5.4Solution Assume the variables that affect the flow rate are determined to be the head H，the acceleration due to gravity g，and the width bThere are 4 variables associated with this phenomenonThe MLT is chosen for reference

21、 dimensionsThus，we have解 设影响流量的变量有水头H、重力加速度g、以及宽度b。与该物理现象有关的变量数共4个。选MLT为参考量纲。 where，k is a constant. Substituting the dimensions of the variables into the above equation，we get式中k为常数。将各变量的量纲代入上述方程，得 According to the principle of dimensional homogeneity, we have由量纲和谐原理，有 Thus 从而 This is as far as we

22、can go with the Rayleigh method, since we cannot determine the values of 1 and 1. However, by further experimental investigation, it has been shown that the flow rate is proportional to the width of the spillway，and that 1=1 and 1=1.5. Therefore，the final result turns out to be利用雷利法只能求解到此，因为1 和 1不能被

23、确定。然而，根据进一步的实验研究发现，流量与溢流道的宽度成正比，从而1=1 且 1=1.5。因此，最后的结果为 Example 5.5 It has been ascertained that the physical parameters affecting water pumps input power include: the unit weight of water, the flowrate Q, the pumping head H. Find the formula for the input power N of the water pump.例 5.5 已知影响水泵输入功率的

24、物理量有：水的重度，流量Q，扬程 H。求水泵输入功率N 的表达式。Solution The exponent expression of N is 解 功率N的指数关系式为 The corresponding dimensional formula is 对应的量纲表达式为M L2T -3 = M L-2T -21 L3T -12 L3 According to the principle of dimensional consistency, we get 据量纲的和谐原理有：Therefore 因此N = k Q HExample 5.6 It is regarded by observa

25、tion, experiment and theoretical analysis that the average shear stress w on unit are at total flow boundary is related with fluid density , dynamic viscosity , average velocity v, hydraulic radius R and the average height of bulges on solid surface. Demonstrate that if let the coefficient of fricti

26、onal resistance , then .例 5.6根据观察、实验和理论分析，认为总流边界单位面积上的平均切应力w与流体密度、动力粘度、平均流速v、水力半径R以及固体表面凸出的平均高度有关。证明若令沿程阻力系数 ，则。Solution：From the known condition, we have 由已知条件有 Write the exponent product form of w as 写出w的指数乘积式 List the dimension of each physical quantity in the above formula as 列出上式各物理量的量纲为 dim= M

27、 L-1 T-2 dim=M L-3 dim=M L-1 T-1 dim v = L T-1 dim R = L dim = Lso dimensional expression of the above formula is 上式的量纲表达式为 Equation set of dimensional homogeneity is量纲和谐方程组 M： 1 = k1 + k2 L: 1 = 3k1 k2 + k3 + k4 + k5 T: 2 = k2 k3 There are five variables in the above equation set，three equations，se

28、lect k3、k5 as the ones to be determined.以上方程组有五个未知数，三个方程。选定k3、k5为待定。Solve the above equations, we obtain联立解上述方程组得 k2 = 2 k3 k1 = k3 1 k4 = - 2 + k3 k5 substitute the above solution into the original exponent form of w , it yields将上述指数代入原指数乘积式，得since 由于=, then 则 and 又 thus we get则可得 if let ，substitut

29、e into the above equation，we obtain 若令，并代入上式， 得5. 2. 3 帕金汉定理这一基本理论是由埃德加帕金汉的名字命名，他对量纲分析早期的发展作出了贡献。令xl、x2、.、xn代表n个有量纲的变量，如速度、密度、粘度等，它们与某一物理现象有关。写出相关变量的量纲一致性方程为F(xl,x2,x3, .,xn ) =0 (5.21)式中各项的量纲是相同的，从而可将方程重新写为 f(1, 2,3,n)=0 (5.22)式中f 是另外一个函数关系，各个值是某些独立xi的无量纲乘积。项减少的数目m一般等于所有变量中所包含的基本量纲的数目。 在应用帕金汉定理时，应遵

30、循以下的步骤：(l) 弄清题意，找出产生影响的因素。列出n个与影响有关的变量，这或许是应用帕金汉定理最难的步骤。这里所说的“变量”包括有量纲及无量纲常数在内的任何量，它们对所研究的现象都具有影响。最典型的是，这些变量包括描述系统的几何尺寸、流体特性、影响系统的外力等（如单位长度上的压降）。为了最大减小实验的工作量，各个变量要相互独立，这点很重要。(2) 找出描述所有变量的基本量纲m数。选择“质量M、长度 L 与时间T”或“力F、长度L 与时间T”作为参考量纲组，来描述n个实验变量。参考量纲组不要相互混杂。(3) 确定变量的数目为(n-m)，其中n为问题中所确定的变量数，m为描述变量的参考量纲数（通常为3）。(4) 将各实验变量表达成变量与其它基本变量的乘积的形式，加上要确定的指数： (5.23 )则无量纲量i可表示为 (5.24 )Example 5.7 Consider steady viscous flow through a small diam