第四章 三角形.docx
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第四章三角形
第四章三角形
4.1认识三角形
一、三角形的有关概念
1.三角形：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的边：
组成三角形的三条线段，叫做三角形的边。
三角形的顶点：
相邻两边的公共端点，叫做三角形的顶点。
三角形的内角：
相邻两边的夹角，叫做三角形的内角。
A
E
A
例1：
如图4.1-1，图中各有多少个三角形？
将它们分别表示出来。
B
B
C
B
F
C
B
D
E
E
D
图4.1-1图4.1-2
例2：
（1）如图4.1-2，图中共有个三角形，它们分别是
。
（2）以AD为边的三角形有。
（3）∠C分别为△AEC，△ADC，△ABC中，，边的对角。
（4）∠B是，，的内角；∠AED是，的内角。
二、三角形的内角和
1.三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
2.推导过程：
E
D
A
D
A
C
C
例3：
如图4.1-3，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=。
5
4
3
2
1
6
图4.1-3
三、三角形按角分类
1.锐角三角形：
三个内角都是锐角的三角形，是锐角三角形。
直角三角形：
有一个内角是直角的三角形，是直角三角形。
钝角三角形：
有一个内角是钝角的三角形，是钝角三角形。
2.任何一个三角形，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。
3.判断方法：
判断一个三角形是何种三角形，只需看最大内角是什么角。
例4：
在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，则△ABC是三角形。
四、直角三角形的表示、有关概念及性质
1.表示：
用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。
2.斜边：
直角所对的边，叫做直角三角形的斜边。
直角边：
夹直角的两条边，叫做直角边。
3.性质：
直角三角形的两个锐角互余。
例5：
如图4.1-4，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD=。
D
C
B
A
图4.1-4
五、三角形的三边关系
1.等腰三角形：
有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。
相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边。
两条腰所对的角叫做底角，底边所对的角叫做顶角。
2.等边三角形：
三边都相等的三角形是等边三角形，也叫做正三角形。
3.三角形三边关系：
①三角形任意两边之和大于第三边。
②三角形任意两边之差小于第三边。
依据：
两点之间，线段最短。
4.判断是否能构成三角形的方法：
只需将较短的两边之和与最长边作比较，若较短的两边之和大于最长边，则就可以构成三角形。
例6：
下列各组线段中，能构成三角形的是（）
A.a=6,b=8,c=15B.a=7,b=6,c=13
C.a=4,b=5,c=6D.a=,b=c=
六、三角形的中线
1.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
2.三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
3.三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个部分。
例7：
如图4.1-5，D、E分别是△ABC、△BDC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（）
A.DE是△BDC的中线B.BD是△ABC的中线
A
D
B
A
C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线
B
C
D
E
E
C
图4.1-5图4.1-6
例8：
如图4.1-6，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD=5cm，EC=2cm，则S△ABE=，S△AEC=，由此可猜想出
。
七、三角形的角平分线
1.在一个三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2.三角形的三条角平分线交于一点。
D
C
B
A
例9：
如图4.1-7，在△ABC中，∠B=42°，∠C=52°，AD平分∠BAC，求∠DAC的度数。
图4.1-7
八、三角形的高
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
2.三角形的三条高所在直线交于一点。
A
A
例10：
如图，画△ABC一边上的高，正确的画法是（）
B
D
C
B
A
C
B
A
D
D
C
B
C
D
B
ABCD
l2
H
A
例11：
如图4.1-8，已知AD是△ABC的中线，DH⊥AB与点H，DG垂直AC于点G，AB=7cm，AC=6cm，DH=3cm，则DG的长是。
G
D
C
图4.1-8
九、题型解析
题型一：
三角形内角和定理的应用
练习1：
如图4.1-9，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3=.
2
3
1
l1
图4.1-9
练习2：
如图4.1-10，计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=。
C
4
6
3
5
4
1
C
B
D
F
E
A
图4.1-10
练习3：
如图4.1-11，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
6
5
3
1
2
图4.1-11
练习4：
如图4.1-12，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，用∠1、∠2来表示∠A。
2
1
E
D
A
B
图4.1-12
题型二：
三角形内角和定理和列方程的综合运用
练习5：
在一个三角形中，已知最大角是最小角的2倍，最大角比另外一个角大20°，求此三角形的最小角。
练习6：
如图4.1-13，已知在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC：
∠BCA=3:
2，CD⊥EA与点D，且∠ACD=35°，求∠BAE的度数。
B
E
D
C
B
A
图4.1-13
练习7：
如图4.1-14，在△ABC中，已知∠A=∠1，∠2=∠B，∠B=∠ACB，求∠ACB的度数。
2
1
D
C
A
图4.1-14
题型三：
直角三角形的两个锐角互余
C
练习8：
如图4.1-15，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB，∠1=50°，则∠B的度数为.
北
北
B
1
F
E
B
A
图4.1-15
练习9：
如图4.1-16，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于.
A
C
图4.1-16
A
练习10：
如图4.1-17，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，求∠EDF的度数。
D
F
E
C
B
图4.1-17
题型四：
三角形三边关系的应用
练习11：
已知三角形三边长分别为4、5、6-x，求x的取值范围。
练习12：
已知a、b、c是△ABC的三边，a=4，b=6，且三角形的周长是大于14的偶数。
（1）求c的值。
（2）判断△ABC的形状。
练习13：
已知a、b、c是△ABC的三边，则化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|的结果是多少？
练习14：
有5条线段，长度为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条线段为边长，共可以组成个形状不同的三角形。
练习15：
周长为P的三角形中，最长边m的取值范围是。
练习16：
已知△ABC有两边长为2和7，另一边长是关于x的方程（3x-m）+3=2（x+1）的解，求m的取值范围。
练习17：
A、B、C、D四个工艺品厂的位置如图4.1-18所示，四个点分别表示四个厂的位置，若准备修建一个公共展厅来展销这四个厂家的产品，展厅应该建在何处，才能使四个工艺品厂到展厅的距离之和最短。
A
.
D
.
B
C
..
图4.1-18
题型五：
三角形中线分割把三角形分割成两个相等面积的部分
A
A
A
练习18：
如图4.1-19，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积是20cm2，则△ADE的面积是。
E
F
E
E
B
D
F
G
C
D
C
B
D
C
B
图4.1-19图4.1-20图4.1-21
练习19：
如图4.1-20，在△ABC中，已知点D、E、F分别在三边上，E为AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是。
练习20：
如图4.1-21，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEF=。
题型六：
中线分三角形为两部分，利用周长关系求边长
练习21：
如图4.1-22，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长。
A
B
I
C
D
C
图4.1-22
练习22：
等腰三角形ABC，AC边上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm两部分，求这个等腰三角形各边的长。
练习23：
在△ABC中，已知AB=AC，中线BD把这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个三角形各边的长度。
题型七：
探讨三角形两角的角平分线相交所成的角与第三个角之间的关系
A
练习24：
如图4.1-23，∠ABC的平分线交∠ACB的平分线与I，若∠A=60°，则∠BIC=。
B
图4.1-23
练习25：
如图1，在△ABC中，DC、DB分别是∠ACB和∠ABC的平分线，且∠A=α。
（1）用含α的代数式表示∠CDB；
（2）若将图1中∠ACB的平分线DC改为ACB的外角的平分线（如图2），怎样用含α的代数式表示∠CDB？
（3）若把图1中“DC、DB分别是∠ACB和∠ABC的平分线”改成“DC、DB分别是∠ACB和∠ABC的外角的平分线”（如图3），怎样用含α的代数式表示∠CDB？
F
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
A
C
B
D
图1图2
图3
练习26：
如图4.1-24，已知点E是△ABC的两条角平分线的交点。
（1）若∠A=80°，求∠BEC的度数；
（2）若∠BEC=130°，求∠A的度数；
E
F
A
D
B
C
（3）∠BEC能是直角吗？
能是锐角吗？
请说明理由。
图4.1-24
题型八：
三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角之和。
练习27：
如图4.1-25，把△ABC的一边BC延长到点E，过点C作BA的平行线CD，由平行线的性质，我们有：
∠1=∠B，∠2=∠A，于是∠1+∠2=∠A+∠B，即∠ACE=∠A+∠B。
结论：
如果把∠ACE叫做三角形的一个外角，那么我们就可以得到这一结论：
三角形的一个外角，等于与它不相邻的两内角之和。
（1）如果4.1-26，在△ABC中，∠A=30°，∠B=40°，则∠1=。
A
A
D
A
（2）如果4.1-27，已知∠1=20°，∠2=45°，∠3=35°，求∠BDC的度数。
3
2
1
1
1
2
D
C
B
C
B
E
C
B
图4.1-25图4.1-26图4.1-27
题型九：
等面积法
E
D
C
练习28：
如图4.1-28，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，已知AB=6，BC=4，AD=5，则CE=。
A
B
图4.1-28
练习30：
已知三角形ABC是直角三角形，两条直角边分别为7和24，斜边长为25，在三角形内有一点P到各边距离都相等，则距离h=。
M
F
A
练习：
如图4.1-30，点O是等边三角形ABC内任意一点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，高AM⊥BC。
求证：
OD+OE+OF=AM。
E
D
O
C
B
图4.1-30
题型十：
利用高和角平分线求角的度数
A
练习31：
如图4.1-31，在△ABC中，已知∠B=34°，∠ACB=104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。
E
D
B
C
图4.1-31
练习32：
如图4.1-，在锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，已知∠BMC=100°，求∠BNC的度数。
G
E
D
F
N
M
C
B
A
图4.1-32
4.2图形的全等
一、全等图形的定义和性质
1、定义：
能够完全重合的两个图形，称为全等图形。
2、性质：
全等图形的形状和大小都相同。
推论：
全等图形的周长相等，全等图形的面积相等。
例1：
对于两个图形，给出下列结论：
（1）两个图形的周长相等；
（2）两个图形的面积相等；（3）两个图形的周长、面积都相等；（4）两个图形的形状相同，面积也相同。
其中能得到这两个图形全等的结论共有（）
A：
1个B:
2个C：
3个D:
4个
二、全等三角形的概念及其表示方法
1.概念：
能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。
2.表示方法：
若△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF
例2：
如图4.2-1，若△ABE≌△ACF，则对应边是、、
；对应角是、、；若△BDF≌△CDE，则对应边是、、；对应角是、、。
C
A
D
F
E
B
图4.2-1
三、全等三角形的性质
1.性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2.注意：
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
F
E
例3：
如图4.2-2，已知△ACF≌△DBE，∠F=∠E，AD=9cm，BC=5cm，求AB的长。
D
C
A
B
图4.2-2
四、题型解析
题型一：
判断对应边和对应角
A
E
A
D
A
练习1：
如图4.2-3，每个图形都有两个三角形全等。
根据已知条件，写出其余相等的对应边和对应角。
B
E
D
C
B
D
C
B
A
B
C
D
F
E
C
B
图
（1）图
（2）图（3）图（4）
图4.2-3
题型二：
利用三角形全等求边的长度或角的度数
练习2：
如图4.2-4，△ABC≌△CDF，AF=3cm，
（1）求CE的长度。
（2）求证：
AB∥CD，BE∥DF
F
E
C
D
A
图4.2-4
练习3：
如图4.2-5，在△ABC中，已知∠ACB=90°，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，△CEF≌△CAD。
（1）求∠B的度数；
（2）求证：
EF∥AC；
C
（3）求证：
CE=AB.
F
E
D
B
A
图4.2-5
4.3探索三角形全等的条件
一、三角形全等的判定①——“边边边”或“SSS”:
1.判定①：
三边分别相等的两个三角形全等。
简写作“边边边”或“SSS”。
例1：
如图4.3-1，AD=CB，AB=CD，试说明△ABD≌△CDB。
A
D
A
D
C
B
C
B
图4.3-1
二、三角形的稳定性
1.只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
这种性质表现为判定三角形全等的条件“SSS”，与角无关。
2.四边形钉成的框架，它的形状是可以改变的，因此，四边形具有不稳定性。
例2：
木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图4.3-2所示的那钉上两根斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做是运用了三角形的（）
.
.
A:
全等性B:
灵活性C:
稳定性D:
对称性
C
A
.
D
.
图4.3-2
三、三角形全等的判定②——“角边角”或“ASA”
判定②：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
简写为“角边角”或“ASA”。
例3：
如图4.3-3，已知点D是△ABC边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF。
试说明：
AE=CE。
B
E
F
图4.3-3
四、三角形的全等判定③——“角角边”或“AAS”
判定③：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
简写为“角角边”或“AAS”。
例4：
如图4.3-4，点C，F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC，试说明：
AB=DE。
A
F
E
D
C
B
A
图4.3-4
五、三角形的全等判定④——“边角边”或“SAS”
判定④：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
C
例5：
如图4.3-5，已知AC=AD，AB平分∠CAD，试说明：
△ACB≌△ADB。
D
B
图4.3-5
六、题型解析
题型一：
利用公共边或作公共边的辅助线证明三角形全等
练习1：
如图4.3-6，已知BC=DE，BE=DC。
问：
（1）BC与DE平行吗？
请说明理由。
（2）∠A=∠ADE成立吗？
请说明理由。
A
E
D
C
B
图4.3-6
A
D
练习2：
如图4.3-7，AB=DC，AC=DB，求证：
∠B=∠C。
B
E
C
图4.3-7
C
A
练习3：
如图4.3-8，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，OA=OC，EA=EC，请说明∠A=∠C。
B
O
B
D
E
图4.3-8
A
练习4：
如图4.3-9，在△ABC中，已知∠C=90°，AD=AC，DE=CE，试猜想ED与AB的位置关系，并说明理由。
E
D
C
图4.3-9
练习5：
如图4.3-10，在△ABC和△DCB中，已知AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M。
（1）求证：
△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN相交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论。
M
N
C
D
A
B
图4.3-10
练习6：
如图4.3-11
（1）已知A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF。
（1）试说明AB∥ED，BC∥EF；
A
（2）把图中的△DEF沿AD平移到位置
（2），仍有上面的结论吗？
B
B
D
E
F
C
B
A
E
F
D
C
B
图
（1）
图
（2）4.3-11
题型二：
利用公共角证明三角形全等
练习7：
如图4.3-12，已知点D在AB上，点E在AC上，BE、CD交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
（1）试判断BD和CE有什么关系？
说明你的理由；
A
（2）试判断OB与OC有什么关系？
请说明理由。
C
O
E
D
C
图4.3-12
A
练习8：
如图4.3-13，AB=AE，∠EAB=∠CAD，∠B=∠E，求证：
BC=ED。
E
D
图4.3-13
A
练习9：
如图4.3-14，AB=AG，∠DAG=∠EAF，∠ADC=∠AEB。
求证：
DG=EF。
C
B
F
E
G
D
图4.3-13
题型三：
补充条件，使三角形全等
练习10：
如图4.3-14，AC与BD交于点O，若OA=OD，用SAS证明△AOB≌△DOC，还需条件（）
A
A
D
A
A：
AB=DCB：
OB=OCC：
∠A=∠DD：
∠AOB=∠DOC
D
D
C
O
B
C
E
B
图4.3-15
图4.3-14
练习11：
如图4.3-15，要得到△ABC≌△ADE，除去公共角∠A外，在下列横线上写出还需要的两个条件，并在括号内写出这种条件得到的两个三角形全等的理由。
（1）∠B=∠D，AB=AD，（ASA）
（2），，（）
（3），，（）
（4），，（）
（5），，（）
C
练习12：
如图4.3-16，已知∠CAE=∠DAB，AC=AD，增加下列条件：
①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E。
其中能使△ABC≌AED的条件有个。
E
B
图4.3-16
题型四：
利用三角形全等把不相关的三边转换到一个三角形中去
练习13：
已知在△ABC中，AB=5cm，AC=9cm，，若AD是BC边上的中线，则中线AD的取值范围是。
A
练习14：
如图4.3-17，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，BE=3，CF=2，则EF的取值范围是。
F
F
E
D
C
B
图4.3-17
题型五：
利用三角形全等找边或角之间的关系
E
A
C
练习15：
如图4.3-18，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB与点E。
若AB=6cm，则△DEB的周长是。
D
B
E
D
A
C
B
图4.3-18图4.3-19
练习16：
如图4.3-19，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是。
A
练习17：
如图4.3-20，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为。
E
D
C
B
A
D
C
B
E
图4.3-20图4.3-21
练习18：
如图4.3-21，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，AE⊥CE与点E，DE=4cm,CE=2cm，则S△ABD=。
A
A
练习19：
如图4.3-22，D、E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC，若∠BAE的平分线AF交BE于点F，FD∥BC交AC于点D，设AB=6，AC=8，则DC的长为。
C
C
B
F
D
E
C
B
图4.3-22
D
D
练习20：
如图4.3-23，已知点B在线段AC上，点D、E在AC的同侧，∠A=∠C=90°，BD=BE，AD=BC，求证：
AC=AD+CE。
E
图4.3-23
练习21：
如图4.3-24，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在CD上，且AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，试探究线段AB与AD、BC的数量关系。
H
F
E
B
E
B
A
图4.3-24
D
A
练习22：
如图4.3-25，G为正方形ABCD的边CD上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于点H，求证：
BH⊥DE。
G
C
图4.3-25
A
练习23：
如图4.3-26，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：
BE=CE。
C
E
D
C
B
图4.3-26
B
练习24：
如图4.3-27，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：
OB=OD。
D
4
3
2
1
O
D
A
图4.3-27
A
A
练习25：
如图4.3-28，AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC与点E。
求证：
AE⊥BC。
C
D
E
C
B
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