高中数学必修4223向量数乘运算及其几何意义教学案.docx

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高中数学必修4223向量数乘运算及其几何意义教学案

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

一、教学内容分析

实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。

实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。

向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。

特别：

向量的平行要与平面中直线的平行区别开。

二、教学目标设计

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

三、教学重点与难点

重点：

实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；

难点：

理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

四、教学用具准备

多媒体、实物投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

1．设置情境：

引入：

位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。

如力与加速度的关系，位移与速度的关系。

这些公式都是实数与向量间的关系。

　　师：

我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？

这些变化与哪些因素有关？

　　生：

的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反。

　　师：

很好！

本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：

实数与向量的乘积）

2．探索研究

1）定义：

请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？

（可结合教材思考）

　　可根据小学算术中的解释，类比规定：

实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。

　　实数与向量的积是一个向量，记作.它的长度和方向规定如下：

（1）.

（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.

2）运算律：

　　问：

求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？

（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）

　　生：

，.

　　师：

设、为任意向量，、为任意实数，则有：

（1）；　

（2）；　（3）.

通常将

（2）称为结合律，

（1）（3）称为分配律。

小练习1：

计算：

（1）；

（2）；

（3）.

　　3）向量平行的充要条件：

　　请同学们观察，，回答、有何关系？

　　生：

因为，所以、是平行向量.

　引导：

若、是平行向量，能否得出？

为什么？

可得出吗？

为什么？

　　生：

可以！

因为、平行，它们的方向相同或相反.

　　师：

由此可得向量平行的充要条件：

向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.

　　对此定理的证明，是两层来说明的：

　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第

（2）条可知与平行，即与平行.

　　其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：

①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.

小练习2：

如图：

已知，，试判断与是否平行．

　解：

∵

　∴与平行.

4）单位向量：

单位向量：

模为1的向量.

向量（）的单位向量：

与同方向的单位向量，记作.

思考：

如何用来表示？

（）

3．例题与练习：

题1：

如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：

（1）用、表示；

（2）用、表示.

题2：

如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：

题3：

如图，已知，，，求证：

∽

练习：

P1451、2、3、4

4．课堂小结：

（1）与的积还是向量，与是共线的；

（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。

该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；

　　（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。

5．作业布置：

练习部分P88-89习题3A组2、3、4、5.

P89习题3B组2、3.

6．拓展思考题：

设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。

七、教学建议与说明

1．从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。

如可以通过物理中力与加速度的关系，位移与速度的关系等实际问题引入实数与向量的积。

　　2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：

方向和大小。

　　3．由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。

然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。

给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

课前预习学案

预习目标：

通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。

预习内容：

引入：

位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。

如力与加速度的关系，位移与速度的关系。

这些公式都是实数与向量间的关系。

　　师：

我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？

这些变化与哪些因素有关？

生：

师：

很好！

本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：

实数与向量的乘积）

课内探究学案

学习目标：

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

学习过程：

1、探索研究

1）定义：

请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？

（可结合教材思考）

　　可根据小学算术中的解释，类比规定：

实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。

　　实数与向量的积是一个向量，记作.它的长度和方向规定如下：

（1）.

（2）.

2）运算律：

　　问：

求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？

（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）

　　生：

.

　　师：

设、为任意向量，、为任意实数，则有：

（1）；　

（2）；　（3）.

通常将

（2）称为结合律，

（1）（3）称为分配律。

小练习1：

计算：

（1）；

（2）；

（3）.

　　3）向量平行的充要条件：

　　请同学们观察，，回答、有何关系？

　　生：

.

　引导：

若、是平行向量，能否得出？

为什么？

可得出吗？

为什么？

　　生：

.

　　师：

由此可得向量平行的充要条件：

向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.

　　对此定理的证明，是两层来说明的：

　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第

（2）条可知与平行，即与平行.

　　其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：

①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.

小练习2：

如图：

已知，，试判断与是否平行．

　解：

∵

　∴与平行.

4）单位向量：

单位向量：

模为1的向量.

向量（）的单位向量：

与同方向的单位向量，记作.

思考：

如何用来表示？

2．例题与练习：

题1：

如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：

（2）用、表示；

（2）用、表示.

题2：

如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：

题3：

如图，已知，，，求证：

∽

练习：

P1451、2、3、4

3．课堂小结：

（1）与的积还是向量，与是共线的；

（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。

该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；

　　（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。

4．作业布置：

练习部分P88-89习题3A组2、3、4、5.

P89习题3B组2、3.

5．拓展思考题：

设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。