同济大学线性代数第六版课后答案全.docx
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同济大学线性代数第六版课后答案全
同济大学线性代数第六版课后答案（全）
第一章行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
（1）;
解
=2⨯（-4）⨯3+0⨯（-1）⨯（-1）+1⨯1⨯8
-0⨯1⨯3-2⨯（-1）⨯8-1⨯（-4）⨯（-1）
=-24+8+16-4=-4.
（2）;
解
=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc
=3abc-a3-b3-c3.
（3）;
解
=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2
=（a-b）（b-c）（c-a）.
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2n-1）2,（2n-1）4,（2n-1）6,⋅⋅⋅,（2n-1）（2n-2）（n-1个）
（6）13⋅⋅⋅（2n-1）（2n）（2n-2）⋅⋅⋅2.
解逆序数为n（n-1）:
32（1个）
52,54（2个）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2n-1）2,（2n-1）4,（2n-1）6,⋅⋅⋅,（2n-1）（2n-2）（n-1个）
42（1个）
62,64（2个）
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2n）2,（2n）4,（2n）6,⋅⋅⋅,（2n）（2n-2）（n-1个）
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解含因子a11a23的项的一般形式为
（-1）ta11a23a3ra4s,
其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.
所以含因子a11a23的项分别是
（-1）ta11a23a32a44=（-1）1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
（-1）ta11a23a34a42=（-1）2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4.计算下列各行列式:
（1）;
解
.
（2）;
解
.
（3）;
解
.
（4）.
解
=abcd+ab+cd+ad+1.
5.证明:
（1）=（a-b）3;
证明
=（a-b）3.
（2）;
证明
.
（3）;
证明
（c4-c3,c3-c2,c2-c1得）
（c4-c3,c3-c2得）
.
（4）
=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）;
证明
=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）.
（5）=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an.
证明用数学归纳法证明.
当n=2时,,命题成立.
假设对于（n-1）阶行列式命题成立,即
Dn-1=xn-1+a1xn-2+⋅⋅⋅+an-2x+an-1,
则Dn按第一列展开,有
=xDn-1+an=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an.
因此,对于n阶行列式命题成立.
6.设n阶行列式D=det（aij）,把D上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得
,,
证明,D3=D.
证明 因为D=det（aij）,所以
.
同理可证
.
.
7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）:
（1）,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
解
（按第n行展开）
=an-an-2=an-2（a2-1）.
（2）;
解将第一行乘（-1）分别加到其余各行,得
再将各列都加到第一列上,得
=[x+（n-1）a]（x-a）n-1.
（3）;
解根据第6题结果,有
此行列式为范德蒙德行列式.
.
（4）;
解
（按第1行展开）
.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=（andn-bncn）D2n-2.
于是.
而,
所以.
（5）D=det（aij）,其中aij=|i-j|;
解aij=|i-j|,
=（-1）n-1（n-1）2n-2.
（6）,其中a1a2⋅⋅⋅an≠0.
解
.
8.用克莱姆法则解下列方程组:
（1）;
解因为
,
,
所以,,,.
（2）.
解因为
,
,
所以
,,,.
9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
解系数行列式为
.
令D=0,得
μ=0或λ=1.
于是,当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10.问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
解系数行列式为
=（1-λ）3+（λ-3）-4（1-λ）-2（1-λ）（-3-λ）
=（1-λ）3+2（1-λ）2+λ-3.
令D=0,得
λ=0,λ=2或λ=3.
于是,当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换:
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.
解由已知:
故,
.
2.已知两个线性变换
,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.
解由已知
所以有.
3.设,,求3AB-2A及ATB.
解
.
4.计算下列乘积:
（1）;
解.
（2）;
解=（1⨯3+2⨯2+3⨯1）=（10）.
（3）;
解.
（4）;
解.
（5）;
解
=（a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3）
.
5.设,,问:
（1）AB=BA吗?
解AB≠BA.
因为,,所以AB≠BA.
（2）（A+B）2=A2+2AB+B2吗?
解（A+B）2≠A2+2AB+B2.
因为,
但,
所以（A+B）2≠A2+2AB+B2.
（3）（A+B）（A-B）=A2-B2吗?
解（A+B）（A-B）≠A2-B2.
因为,,
而,
故（A+B）（A-B）≠A2-B2.
6.举反列说明下列命题是错误的:
（1）若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A≠0.
（2）若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.
（3）若AX=AY,且A≠0,则X=Y.
解取
,,
则AX=AY,且A≠0,但X≠Y.
7.设,求A2,A3,⋅⋅⋅,Ak.
解,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
8.设,求Ak.
解首先观察
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立，则k+1时，
由数学归纳法原理知:
.
9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.
证明因为AT=A,所以
（BTAB）T=BT（BTA）T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:
因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以
（AB）T=（BA）T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性:
因为AT=A,BT=B,且（AB）T=AB,所以
AB=（AB）T=BTAT=BA.
11.求下列矩阵的逆矩阵:
（1）;
解.|A|=1,故A-1存在.因为
故.
（2）;
解.|A|=1≠0,故A-1存在.因为
所以.
（3）;
解.|A|=2≠0,故A-1存在.因为
所以.
（4）（a1a2⋅⋅⋅an≠0）.
解,由对角矩阵的性质知
.
12.解下列矩阵方程:
（1）;
解.
（2）;
解
.
（3）;
解
.
（4）.
解
.
13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
（1）;
解方程组可表示为
故,
从而有.
（2）.
解方程组可表示为
故,
故有.
14.设Ak=O（k为正整数）,证明（E-A）-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为
E-Ak=（E-A）（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）,
所以（E-A）（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）=E,
由定理2推论知（E-A）可逆,且
（E-A）-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明一方面,有E=（E-A）-1（E-A）.
另一方面,由Ak=O,有
E=（E-A）+（A-A2）+A2-⋅⋅⋅-Ak-1+（Ak-1-Ak）
=（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）（E-A）,
故（E-A）-1（E-A）=（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）（E-A）,
两端同时右乘（E-A）-1,就有
（E-A）-1（E-A）=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及（A+2E）-1.
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A（A-E）=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E,即（A+2E）（A-3E）=-4E,
或
由定理2推论知（A+2E）可逆,且.
证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即|A||A-E|=2,
故|A|≠0,
所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.
由A2-A-2E=O⇒A（A-E）=2E
⇒A-1A（A-E）=2A-1E⇒,
又由A2-A-2E=O⇒（A+2E）A-3（A+2E）=-4E
⇒（A+2E）（A-3E）=-4E,
所以（A+2E）-1（A+2E）（A-3E）=-4（A+2E）-1,
.
16.设A为3阶矩阵,,求|（2A）-1-5A*|.
解因为,所以
=|-2A-1|=（-2）3|A-1|=
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