四年级上册智慧数学教本.docx
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四年级上册智慧数学教本
第一讲平均数
同学们，计算平均数是我们生活中经常碰到的数学问题。
我们常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。
例1：
二
（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。
平均每人植树多少棵？
【思路导航】因为二
（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。
三个组植树的总棵数为：
80+66+54=200棵，总人数为：
8+6+6=20人，所以平均每人植树200÷20=10棵。
80+66+54=200（棵）
8+6+6=20（人）
200÷20=10（棵）
答：
平均每人植树10棵。
试一试1：
电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。
这个月平均每天生产电视机多少台？
例2：
王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。
其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。
求四年级羽毛球队同学的平均身高。
【思路导航】这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。
这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”。
解法一：
153×2＋152＋149×2＋147×2=1050（厘米）
2＋1＋2＋2=7（人）
1050÷7=150（厘米）
答：
四年级羽毛球队同学的平均身高是150厘米。
解法二：
3×2＋2－1×2－3×2=0（厘米）
2＋1＋2＋2=7（人）
0÷7=0（厘米）
150+0=150（厘米）
答：
四年级羽毛球队同学的平均身高是150厘米。
试一试2：
五
（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。
这7个同学的平均成绩是多少？
例3：
从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。
这辆汽车上山下山的平均速度是每小时多少千米？
【思路导航】求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米，往返的时间是4+2=6小时。
所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
36×2=72（千米）4+2=6（时）72÷6=12（千米）
答：
这辆汽车上山下山的平均速度是每小时12千米。
试一试3：
小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，放学回家，他从学校到家用了10分钟。
求小强往返的平均速度。
第二讲植树问题
植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的段数和植树的棵数之间的关系就不同，存在着以下几种基本情形。
1、线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：
棵数=段数＋1；
（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：
棵数=段数；
（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1，即：
棵数=段数－1。
2、在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：
棵数=段数。
例1：
城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。
这条路长多少米？
【思路导航】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27（段），每隔6米为一段，所以这条大路长6×27=162（米）。
28－1=27（段）6×27=162（米）
答：
这条路长162米。
试一试1：
在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？
例2：
在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。
240÷5=48（棵）
答：
一共要栽48棵树。
试一试2：
在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？
例3：
在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。
求相邻两盏彩灯之间的距离。
【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101（盏），101盏彩灯把800米长的大桥分成101－1=100（段），所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8（米）。
202÷2=101（盏）101－1=100（段）800÷100=8（米）
答：
相邻两盏彩灯之间的距离是8米。
试一试3：
在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻的两棵树之间的距离相等。
求相邻两棵树之间的距离。
第三讲和差问题
同学们，已知两个数的和与差，分别求出这两个数各是多少的应用题，我们通常把它们称为和差应用题。
解答和差应用题的基本数量关系是：
（和－差）÷2=小数
小数＋差=大数（和－小数=大数）
或：
（和＋差）÷2=大数
大数－差=小数（和－大数=小数）
解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。
例1：
两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？
【思路导航】此题是四年级数学考试中常见题型，只要我们分析出了题中数量关系，很好解答。
方法一：
两筐合起来150千克，第一筐比第二筐重，把重的部分拿掉就等于两个第二筐的重量了，150-8=142（千克），142÷2=71（千克），即为第二筐的重量。
方法二：
我再拿8千克放到第二筐里，那么第二筐就和第一筐相等了，此时合起来共重为：
150+8=158（千克），是两个第一筐的重量，158÷2=79（千克），即为第一筐的重量。
试一试1：
果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？
例2：
今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
【思路导航】题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.。
方法一：
爸爸与小强的年龄差为：
35-7=28（岁）
58-28=30（岁）————2个小强的年龄
30÷2=15（岁）—————小强的年龄
58-15=43（岁）————爸爸的年龄
方法二：
根据和差问题的解题思路快速解此题。
知道年龄和为58，
计算年龄差为：
35-7=28，
利用：
（和+差）÷2=较大数，得：
（58+28）÷2=43（岁）——爸爸
（和-差）÷2=较小数，得：
（58-28）÷2=15（岁）——小强
试一试2：
黄茜与胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜比胡敏大3岁，问黄茜和胡敏今年各是多少岁？
例3：
小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？
【思路导航】解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.
解：
语文与数学成绩和为：
94×2=188
语文与数学成绩差为：
8
数学得分（即大数）为：
（188+8）÷2=196÷2=98（分）
语文得分（即小数）为：
（188-8）÷2=190÷2=90（分）
试一试3：
某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？
第四讲周期问题
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现。
如：
人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等。
像这些问题，我们称为“简单周期问题”。
这一类问题一般要利用余数的知识来解答。
所以这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
例1：
2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？
【思路导航】：
我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。
那么从10月1日到10月25日经过了25—1=24（天）。
因此用除法算式解答。
（1）、从10月1日到10月25日有：
25—1=24（天）
（2）、24天里有多少个星期余多少天？
24÷7=3（个星期）……3（天）
（说明24天中包含3个星期还多3天，最后一天起，再过3天就应是星期四）
答：
10月25日是星期四。
试一试1：
1、2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？
例2：
100个3相乘，积的个位数字是几？
【思路导航】：
我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。
（1）、1×3=3……1个3相乘积的个位数字是：
3
（2）、3×3=9……2个3相乘积的个位数字是：
9
（3）、3×3×3=27……3个3相乘积的个位数字是：
7
（4）、3×3×3×3=81……4个3相乘积的个位数字是：
1
（5）、3×3×3×3×3=243……5个3相乘积的个位数字是：
3（已经重复出现）
（说明：
可以发现积的个位数分别以3、9、7、1不断出重复出现的。
即每4个3的积的个位数为一个周期。
）
所以100个有多少个周期？
100÷4=25（个）（整除说明是最后一个即个位为1）
答：
积的个位数字是1。
试一试2：
1、23个3相乘，积的个位数字是几？
答：
。
例3：
A
B
C
A
B
C
A
B
……
万
事
如
意
万
事
如
意
……
上表中，每一列两个符号组成一组，如第一组“A万”，第二组“B事”，……问第20个组是什么？
【思路导航】：
观察上表，发现有两个独立的排列规律。
上面一组是以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现的，下一组是以“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现的。
要求出第20个组是什么，就要分别求出上下两行各是什么才行。
解：
（1）、上面一组：
20÷3=6（组）……2（个）（说明第20个字母是：
“B”）
（2）、下面一组：
20÷4=5（组）（说明第20个字是：
“意”）
答：
第20个组是“B意”两个符号。
试一试3：
A
B
C
D
A
B
C
D
……
1
2
3
1
2
3
1
2
……
上表中每一列两个符号为一组，如：
第一组为“A1”，第二组为“B2”，……问第25组是什么？
第五讲还原问题
同学们，用倒推法计算是我们生活中经常碰到的数学问题。
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。
解决这类问题通常运用倒推法。
遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。
例1：
小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。
小刚的奶奶今年多少岁？
【思路导航】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；缩小9倍之后是8岁，没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。
所以，小刚的奶奶今年是79岁。
试一试1：
一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。
这个数是多少？
例2：
某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。
这个商场原来有洗衣机多少台？
【思路导航】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。
而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。
那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
试一试2：
粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。
粮库原有大米多少吨？
例3：
小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。
如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。
这三个人原来各有故事书多少本？
【思路导航】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。
如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。
试一试3：
甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。
如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。
问三人原来各有贺年卡多少张？
第六讲错中求解
在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。
这一讲，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。
例1：
小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52。
正确的商是多少？
【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。
我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：
13×56＋52=780。
所以，正确的商是：
780÷65=12。
试一试1：
小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。
正确的商应该是多少？
例2：
小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。
正确的商应该是多少？
【思路导航】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。
所以正确的商应该是48×10=480。
试一试2：
小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。
正确的商应该是多少？
例3：
小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1.乘得的结果是525，实际应为600。
这两个两位数各是多少？
【思路导航】一个因数的个位4错当作1.所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差600－525=75，75÷3=25，600÷25=24。
所以一个因数是24，另一个因数是25。
试一试3：
小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数8错当作3.得345，实际应为420。
这两个因数各是多少？
第七讲加减法巧算
（1）
速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。
这一讲我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。
转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
例1：
计算9+99+999+9999
【思路导航】这四个加数分别接近10、100、1000、10000。
在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为100－1。
这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999
=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）
=10+100+1000+10000－4
=11106
试一试1：
计算99999+9999+999+99+9
例2：
计算489+487+483+485+484+486+488
【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490×7－1－3－7－5－6－4－2
=3430－28
=3402
想一想：
如果选480为基准数，可以怎样计算？
试一试2：
262+266+270+268+264
例3：
计算下面各题。
（1）632－156－232
（2）128+186+72－86
【思路导航】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。
（1）632－156－232
（2）128+186+72－86
=632－232－156=128+72+186－86
=400－156=（128+72）+（186－86）
=244=200+100=300
试一试3：
1208－569－208283+69－183
第八讲加减法巧算
（2）
同学们，速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。
这一讲我们继续学习加、减法的巧算方法，在小括号的使用过程中也存在一些巧妙计算的方法。
括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。
括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。
掌握这些规律，我们可以进行更多的简便计算。
例1：
计算下面各题。
1.248+（152－127）2.283+（358－183）
【思路导航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；
我们可以把上面的计算方法概括为：
括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。
1．248+（152－127）2.283+（358－183）
=248+152－127=283+358－183
=400－127=283－183+358
=273=100+358
=458
试一试1：
348+（252－166）
例2：
计算下面各题。
1.324－（124－97）
【思路导航】如果括号前面是“-”号，去括号时，括号内的符号要改变；
我们可以把例1例2的计算方法概括为：
括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。
324－（124－97）
=324－124+97
=200+97
=297
试一试2：
462－（262－129）
例3：
计算下面各题。
（1）286+879－679
（2）812－593+193
【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：
括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。
（1）286+879－679
（2）812－593+193
=286+（879－679）=812－（593－193）
=286+200=812－400
=868=412
试一试3：
368+1859－859582+393－293
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