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1、四年级上册智慧数学教本第一讲 平 均 数同学们，计算平均数是我们生活中经常碰到的数学问题。我们常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。求平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。例1：二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵？【思路导航】因为二（1）班学生分三组植树

2、，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200棵，总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树20020=10棵。80+66+54=200（棵）8+6+6=20（人）20020=10（棵）答：平均每人植树10棵。 试一试1：电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台？例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队

3、同学的平均身高。【思路导航】这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”。解法一：153215214921472=1050（厘米）2122=7（人）10507=150（厘米） 答：四年级羽毛球队同学的平均身高是150厘米。解法二：3221232=0（厘米） 2122=7（人） 07=0（厘米） 150+0=150(厘米) 答：四年级羽毛球队同学的平均身高是150厘米。试一试2：五（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同

4、学得了99分，还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少？例3： 从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。这辆汽车上山下山的平均速度是每小时多少千米？【思路导航】求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是362=72千米，往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行726=12千米。 362=72（千米） 4+2=6（时） 726=12（千米） 答：这辆汽车上山下山的平均速度是每小时12千米。试一试3：小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15

5、分钟，放学回家，他从学校到家用了10分钟。求小强往返的平均速度。第二讲 植 树 问 题植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的段数和植树的棵数之间的关系就不同，存在着以下几种基本情形。1、线段上的植树问题可以分为以下三种情形：（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即： 棵数=段数1；（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即： 棵数=段数；（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1，即： 棵数=段数1。 2、在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即： 棵数=段数。例1：城中小学在

6、一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米？【思路导航】题中已知栽树28棵，28棵树之间有281=27（段），每隔6米为一段，所以这条大路长627=162（米）。 281=27（段）627=162（米）答：这条路长162米。 试一试1：在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？例2：在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。2405=48（棵） 答： 一共要栽48棵树。试一试2：在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？例

7、3：在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。 【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂2022=101（盏），101盏彩灯把800米长的大桥分成1011=100（段），所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800100=8（米）。 2022=101（盏）1011=100（段）800100=8（米）答：相邻两盏彩灯之间的距离是8米。试一试3：在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻的两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。第三讲 和 差 问 题同学们，已知两个数的和与差，分别求

8、出这两个数各是多少的应用题，我们通常把它们称为和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是： （和差）2=小数 小数差=大数（和小数=大数） 或：（和差）2=大数 大数差=小数（和大数=小数）解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。例1：两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？【思路导航】此题是四年级数学考试中常见题型，只要我们分析出了题中数量关系，很好解答。方法一：两筐合起来150千克，第一筐比第二筐重，把重的部分拿掉就等于

9、两个第二筐的重量了，150 - 8 = 142（千克）， 1422 = 71（千克），即为第二筐的重量。方法二：我再拿8千克放到第二筐里，那么第二筐就和第一筐相等了，此时合起来共重为：150 + 8 = 158（千克），是两个第一筐的重量，1582 = 79（千克），即为第一筐的重量。试一试1：果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？例2：今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？【思路导航】题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当

10、两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.。方法一：爸爸与小强的年龄差为：35 - 7 =28（岁） 58 - 28 = 30（岁）2个小强的年龄 302 = 15（岁）小强的年龄 58 - 15 = 43（岁）爸爸的年龄方法二：根据和差问题的解题思路快速解此题。知道年龄和为58，计算年龄差为：35 - 7 =28，利用：（和+差）2 = 较大数，得：（58 + 28）2 = 43（岁）爸爸 （和-差）2 = 较小数，得：（58 - 28）2 = 15（岁）小强试一试2：黄茜与胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜比胡敏大3岁，问黄茜和胡敏今年各是多少岁？例3：小明期末考试时语文和数学的平

11、均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？【思路导航】解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.解：语文与数学成绩和为：942 = 188 语文与数学成绩差为：8 数学得分（即大数）为：（188 + 8）2 = 1962 = 98（分） 语文得分（即小数）为：（188 - 8）2 = 1902 = 90（分）试一试3：某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？ 第四讲 周 期 问 题在日常生活中，有

12、一些按照一定的规律不断重复出现。如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等。像这些问题，我们称为“简单周期问题”。这一类问题一般要利用余数的知识来解答。所以这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。例1：2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？【思路导航】：我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。那么从10月1日到10月25日经过了251=24（天）。因此用除法算式解答。（1）、从10月1日到10月25日有：251=24（天） （2）、24天里有多少

13、个星期余多少天？247=3（个星期）3（天） （说明24天中包含3个星期还多3天，最后一天起，再过3天就应是星期四）答：10月25日是星期四。试一试1：1、2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？例2：100个3相乘，积的个位数字是几？【思路导航】：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。（1）、13=31个3相乘积的个位数字是：3 （2）、33=92个3相乘积的个位数字是：9 （3）、333=273个3相乘积的个位数字是：7 （4）、3333=814个3相乘积的个位数字是：1 （5）、33333=2435个3相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）（说明：可以发现积的个位数分别以3

14、、9、7、1不断出重复出现的。即每4个3的积的个位数为一个周期。）所以100个有多少个周期？1004=25（个）（整除说明是最后一个即个位为1）答：积的个位数字是1。试一试2：1、23个3相乘，积的个位数字是几？答： 。例3：ABCABCAB万事如意万事如意上表中，每一列两个符号组成一组，如第一组“A万”，第二组“B事”，问第20个组是什么？【思路导航】：观察上表，发现有两个独立的排列规律。上面一组是以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现的，下一组是以“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现的。要求出第20个组是什么，就要分别求出上下两行各是什么才行。解：（1）、上面一组：203=6（组

15、）2（个）（说明第20个字母是：“B”） （2）、下面一组：204=5（组）（说明第20个字是：“意”）答：第20个组是“B意”两个符号。试一试3：ABCDABCD12312312上表中每一列两个符号为一组，如：第一组为“A1”，第二组为“B2”，问第25组是什么？第五讲 还 原 问 题同学们，用倒推法计算是我们生活中经常碰到的数学问题。已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰

16、好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？【思路导航】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是10010=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是102=8岁；缩小9倍之后是8岁，没有缩小9倍之前应是89=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是727=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。 试一试1：一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？例2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？【思路导航】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”

17、向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即9520=115台正好是上午售后剩下的一半，那么1152=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即23010=240台又正好是总数的一半。那么，2402=480台就是原有洗衣机的台数。试一试2：粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨？例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？【思路导航】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本

18、，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书603=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有205=25本，小勇有205=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有253=22本，小明有203=23本。试一试3：甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？第六讲 错 中 求 解在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。这一讲，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。例1：小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13

19、.还余52。正确的商是多少？【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：135652=780。所以，正确的商是：78065=12。试一试1：小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。正确的商应该是多少？例2：小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商应该是多少？【思路导航】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是4810=480。试一试2：小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。正

20、确的商应该是多少？例3：小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1.乘得的结果是525，实际应为600。这两个两位数各是多少？【思路导航】一个因数的个位4错当作1.所得的结果比原来少了（41）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差600525=75，753=25，60025=24。所以一个因数是24，另一个因数是25。试一试3：小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数8错当作3.得345，实际应为420。这两个因数各是多少？第七讲 加 减 法 巧 算（1）速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一讲我们学习加、减法的

21、巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。例1：计算9+99+999+9999【思路导航】这四个加数分别接近10、100、1000、10000。在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为1001。这是小学数学计算中常用的一种技巧。9+99+999+9999=（101）+（1001）+（10001）+（100001）=10+100+1000+100004=11106 试一试1：计算99999

22、+9999+999+99+9例2：计算489+487+483+485+484+486+488【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。489+487+483+485+484+486+488=49071375642=343028=3402想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？试一试2：262+266+270+268+264例3：计算下面各题。（1）632156232 （2）128+186+7286【思路导航】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。（1）632156232 （2）128+186+72

23、86 =632232156 =128+72+18686 =400156 =（128+72）+（18686） =244 =200+100=300试一试3：1208569208 283+69183第八讲 加 减 法 巧 算 （2）同学们，速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一讲我们继续学习加、减法的巧算方法，在小括号的使用过程中也存在一些巧妙计算的方法。括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。掌握这些规律，我们可以进行更多的简便计算。例1：计算下

24、面各题。1. 248+（152127） 2. 283+（358183）【思路导航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。1248+（152127） 2 . 283+（358183） =248+152127 =283+358183 =400127 =283183+358 =273 =100+358 =458 试一试1：348+（252166） 例2：计算下面各题。1. 324（12497） 【思路导航】如果括号前面是“-”号，去

25、括号时，括号内的符号要改变；我们可以把例1例2的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。 324（12497） =324124+97 =200+97 =297 试一试2： 462(262129)例3：计算下面各题。 （1）286+879679 （2）812593+193【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。（1）286+879679 （2）812593+193=286+（879679） =812（593193）=286+200 =812400=868 =412试一试3：368+1859859 582+393293