数的整除性13.docx
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数的整除性13
数的整除性
(一)
1.能被2整除的书的特征:
个位上的数字是0.2.4.6.8的整数,“特征”包含两方面的意义:
一方面,个位数字是偶数,包括0的整数,必能被2整除;另一方面:
能被2整除的数,其个位上的数字只能是偶数。
2.能被5整除的数的特征是:
个位是0或5
3.能被3或9整除的数的特征是:
各个数位数字之和能被3或9整除
4.能被4或25整除的数的特征是:
末两位数能被4或25整除
例:
1864=1800+64因为100是4与25的倍数,所以1800是4和25的倍数。
又因为64能被4整除,数以1864能被4整除。
但因为64不能被25整除,所以1864不能被25整除。
5.能被8或125整除的数的特征是:
末三位数能被8整除。
例:
29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8和125的倍数。
又因为375能被125整除,所以29375能被125整除。
但因为375不能被8整除,所以8不能被29375整除。
6.能被11整除的数的特征是:
这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差(大减小)是11的倍数
例:
判断123456789这九位数能否被11整除
解:
这个数的奇数位上的数字之和三个是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。
因为25-20=5,有因为11不能被5整除,所以123456789不能被11整除
再例如:
判断13574能否是11的倍数?
解:
这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字和的差是:
(4+5+1)—(7+3)=0因为0是任何整数的倍数,所以11能被0整除。
因此13574是11的倍数。
7.能被7(11或13)整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差,(大减小)能被7(11或13)整除
例如:
判断1059282是否是7的倍数?
解:
把1059282分成1059和282两个数,因为1059-282=777,由777能被7整除,所以1059282能被7整除,因此1059282是7的倍数
再例如:
判断3546725能否被3整除?
解:
把3546725分乘3456和725两个数。
因为3456—725=2821。
在把2821分成2和821两个数。
因为82—2=819,又819能被13整除,所以2819能被13整除,进而3546725能被13整除
例1在下面的数中,哪些能被4整除?
哪些能被8整除?
哪些能被9整除?
234,789,7756,8865,3728,8064。
解:
能被4整除的数有7756,3728,8064;
能被8整除的数有3728,8064;
能被9整除的数有234,8865,8064。
例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?
解:
如果56□2能被9整除,那么
5+6+□+2=13+□
应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除;
如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除;
如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。
到现在为止,我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征。
根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。
例如,判断一个数能否被6整除,因为6=2×3,2与3互质,所以如果这个数既能被2整除又能被3整除,那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除。
同理,判断一个数能否被12整除,只需判断这个数能否同时被3和4整除;判断一个数能否被72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除;如此等等。
例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。
解:
因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征,数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。
例4五位数
能被72整除,问:
A与B各代表什么数字?
分析与解:
已知
能被72整除。
因为72=8×9,8和9是互质数,所以
既能被8整除,又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征,要求
能被8整除,由此可确定B=6。
再根据能被9整除的数的特征,
的各位数字之和为
A+3+2+9+B=A+3-f-2+9+6=A+20,
因为l≤A≤9,所以21≤A+20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除,所以A=7。
例5六位数
是6的倍数,这样的六位数有多少个?
分析与解:
因为6=2×3,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值。
再由六位数能被3整除,推知
3+A+B+A+B+A=3+3A+2B
能被3整除,故2B能被3整除。
B可取0,3,6,9这4个值。
由于B可以取4个值,A可以取5个值,题目没有要求A≠B,所以符合条件的六位数共有5×4=20(个)。
例6要使六位数
能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字?
分析与解:
因为36=4×9,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数
能被4整除,就要
能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9。
要使所得的商最小,就要使
这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小。
先试取A=0。
六位数
的各位数字之和为12+B+C。
它应能被9整除,因此B+C=6或B+C=15。
因为B,C应尽量小,所以B+C=6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使
尽可能小,应取B=1,C=5。
当A=0,B=1,C=5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156÷36=4171。
课堂练习
1.6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除?
2.个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个?
3.一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除。
在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少?
4.五位数
能被12整除,求这个五位数。
5.有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几?
最小是几?
数的整除
(二)
数的整除性质主要有:
(1)如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除。
(2)如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(5)几个数相乘,如果其中一个因数能被某数整除,那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质,能解决许多有关整除的问题。
例1在□里填上适当的数字,使得七位数□7358□□能分别被9,25和8整除。
分析与解:
分别由能被9,25和8整除的数的特征,很难推断出这个七位数。
因为9,25,8两两互质,由整除的性质(3)知,七位数能被9×25×8=1800整除,所以七位数的个位,十位都是0;再由能被9整除的数的特征,推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除?
分析与解:
因为41×271=11111,所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节,2000÷5=400,就有400节,
因为2000个1组成的数11…11能被11111整除,而11111能被41和271整除,所以根据整除的性质
(1)可知,由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3现有四个数:
76550,76551,76552,76554。
能不能从中找出两个数,使它们的乘积能被12整除?
分析与解:
根据有关整除的性质,先把12分成两数之积:
12=12×1=6×2=3×4。
要从已知的四个数中找出两个,使其积能被12整除,有以下三种情况:
(1)找出一个数能被12整除,这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除;
(2)找出一个数能被6整除,另一个数能被2整除,那么它们的积就能被12整除;
(3)找出一个数能被4整除,另一个数能被3整除,那么它们的积能被12整除。
容易判断,这四个数都不能被12整除,所以第
(1)种情况不存在。
对于第
(2)种情况,四个数中能被6整除的只有76554,而76550,76552是偶数,所以可以选76554和76550,76554和76552。
对于第(3)种情况,四个数中只有76552能被4整除,76551和76554都能被3整除,所以可以选76552和76551,76552和76554。
综合以上分析,去掉相同的,可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数:
76550和76554,76552和76554,76551和76552。
例4在所有五位数中,各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些?
分析与解:
从题设的条件分析,对所求五位数有两个要求:
①各数位上的数字之和等于43;
②能被11整除。
因为能被11整除的五位数很多,而各数位上的数字之和等于43的五位数较少,所以应选择①为突破口。
有两种情况:
(1)五位数由一个7和四个9组成;
(2)五位数由两个8和三个9组成。
上面两种情况中的五位数能不能被11整除?
9,8,7如何摆放呢?
根据被11整除的数的特征,如果奇数位数字之和是27,偶数位数字之和是16,那么差是11,就能被11整除。
满足这些要求的五位数是:
97999,99979,98989。
例5能不能将从1到10的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除?
分析与解:
10个数排成一行的方法很多,逐一试验显然行不通。
我们采用反证法。
假设题目的要求能实现。
那么由题意,从前到后每两个数一组共有5组,每组的两数之和都能被3整除,推知1~10的和也应能被3整除。
实际上,1~10的和等于55,不能被3整除。
这个矛盾说明假设不成立,所以题目的要求不能实现。
练习
1.已知4205和2813都是29的倍数,1392和7018是不是29的倍数?
2.如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少?
3.173□是个四位数。
数学老师说:
“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可以被9,11,6整除。
”问:
数学老师先后填入的3个数字之和是多少?
班有多少名学生?
6.能不能将从1到9的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除?
数的整除性(三)
我们先看一个特殊的数——1001。
因为1001=7×11×13,所以凡是1001的整数倍的数都能被7,11和13整除。
能被7,11和13整除的数的特征:
如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差(大数减小数)能被7或11或13整除,那么数A能被7或11或13整除。
否则,数A就不能被7或11或13整除。
例2判断306371能否被7整除?
能否被13整除?
解:
因为371-306=65,65是13的倍数,不是7的倍数,所以306371能被13整除,不能被7整除。
例3已知10□8971能被13整除,求□中的数。
解:
10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7,若是13的倍数,则必是13的9倍,由13×9-37=80,推知□中的数是8。
2位数进行改写。
根据十进制数的意义,有
因为100010001各数位上数字之和是3,能够被3整除,所以这个12位数能被3整除。
根据能被7(或13)整除的数的特征,100010001与(100010-1=)100009要么都能被7(或13)整除,要么都不能被7(或13)整除。
同理,100009与(100-9=)91要么都能被7(或13)整除,要么都不能被7(或13)整除。
因为91=7×13,所以100010001能被7和13整除,推知这个12位数能被7和13整除。
分析与解:
根据能被7整除的数的特征,555555与999999都能被7
因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除,所以等号右边第二个数也能被7整除,推知55□99能被7整除。
根据能被7整除的数的特征,□99-55=□44也应能被7整除。
由□44能被7整除,易知□内应是6。
下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。
判断一个数能否被27或37整除的方法:
对于任何一个自然数,从个位开始,每三位为一节将其分成若干节,然后将每一节上的数连加,如果所得的和能被27(或37)整除,那么这个数一定能被27(或37)整除;否则,这个数就不能被27(或37)整除。
例6判断下列各数能否被27或37整除:
(1)2673135;
(2)8990615496。
解:
(1)2673135=2,673,135,2+673+135=810。
因为810能被27整除,不能被37整除,所以2673135能被27整除,不能被37整除。
(2)8990615496=8,990,615,496,8+990+615+496=2,109。
2,109大于三位数,可以再对2,109的各节求和,2+109=111。
因为111能被37整除,不能被27整除,所以2109能被37整除,不能被27整除,进一步推知8990615496能被37整除,不能被27整除。
由上例看出,若各节的数之和大于三位数,则可以再连续对和的各节求和。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法:
为了叙述方便,将个位是9的数记为k9(=10k+9),其中k为自然数。
对于任意一个自然数,去掉这个数的个位数后,再加上个位数的(k+1)倍。
连续进行这一变换。
如果最终所得的结果等于k9,那么这个数能被k9整除;否则,这个数就不能被k9整除。
例7
(1)判断18937能否被29整除;
(2)判断296416与37289能否被59整除。
解:
(1)上述变换可以表示为:
由此可知,296416能被59整除,37289不能被59整除
。
一般地,每进行一次变换,被判断的数的位数就将减少一位。
当被判断的数变换到小于除数时,即可停止变换,得出不能整除的结论。
练习
1.下列各数哪些能被7整除?
哪些能被13整除?
88205,167128,250894,396500,
675696,796842,805532,75778885。
2.六位数175□62是13的倍数。
□中的数字是几?
7.九位数8765□4321能被21整除,求中间□中的数。
8.在下列各数中,哪些能被27整除?
哪些能被37整除?
1861026,1884924,2175683,2560437,
11159126,131313555,266117778。
9.在下列各数中,哪些能被19整除?
哪些能被79整除?
55119,55537,62899,71258,
186637,872231,5381717。