数学表达式解析前缀中缀后缀.docx
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数学表达式解析前缀中缀后缀
前缀、中缀、后缀表达式
它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。
它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：
前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。
举例：
（3+4）×5-6就是中缀表达式
-×+3456 前缀表达式
34+5×6- 后缀表达式
中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。
中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。
对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素op次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“-×+3456”：
（1）从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
（2）遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
（3）接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
（4）最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
（1）初始化两个栈：
运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
（2）从右至左扫描中缀表达式；
（3）遇到操作数时，将其压入S2；
（4）遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
（4-1）如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“）”，则直接将此运算符入栈；
（4-2）否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
（4-3）否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到（4-1）与S1中新的栈顶运算符相比较；
（5）遇到括号时：
（5-1）如果是右括号“）”，则直接压入S1；
（5-2）如果是左括号“（”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
（6）重复步骤
（2）至（5），直到表达式的最左边；
（7）将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
（8）依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+（（2+3）×4）-5”转换为前缀表达式的过程如下：
扫描到的元素
S2（栈底->栈顶）
S1（栈底->栈顶）
说明
5
5
空
数字，直接入栈
-
5
-
S1为空，运算符直接入栈
）
5
-）
右括号直接入栈
4
54
-）
数字直接入栈
×
54
-）×
S1栈顶是右括号，直接入栈
）
54
-）×）
右括号直接入栈
3
543
-）×）
数字
+
543
-）×）+
S1栈顶是右括号，直接入栈
2
5432
-）×）+
数字
（
5432+
-）×
左括号，弹出运算符直至遇到右括号
（
5432+×
-
同上
+
5432+×
-+
优先级与-相同，入栈
1
5432+×1
-+
数字
到达最左端
5432+×1+-
空
S1中剩余的运算符
因此结果为“-+1×+2345”。
后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。
后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“34+5×6-”：
（1）从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
（2）遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
（3）将5入栈；
（4） 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
（5）将6入栈；
（6）最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
（1）初始化两个栈：
运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
（2）从左至右扫描中缀表达式；
（3）遇到操作数时，将其压入S2；
（4）遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
（4-1）如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“（”，则直接将此运算符入栈；
（4-2）否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
（4-3）否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到（4-1）与S1中新的栈顶运算符相比较；
（5）遇到括号时：
（5-1）如果是左括号“（”，则直接压入S1；
（5-2）如果是右括号“）”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
（6）重复步骤
（2）至（5），直到表达式的最右边；
（7）将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
（8）依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。
例如，将中缀表达式“1+（（2+3）×4）-5”转换为后缀表达式的过程如下：
扫描到的元素
S2（栈底->栈顶）
S1（栈底->栈顶）
说明
1
1
空
数字，直接入栈
+
1
+
S1为空，运算符直接入栈
（
1
+（
左括号，直接入栈
（
1
+（（
同上
2
12
+（（
数字
+
12
+（（+
S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
3
123
+（（+
数字
）
123+
+（
右括号，弹出运算符直至遇到左括号
×
123+
+（×
S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
4
123+4
+（×
数字
）
123+4×
+
右括号，弹出运算符直至遇到左括号
-
123+4×+
-
-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-
5
123+4×+5
-
数字
到达最右端
123+4×+5-
空
S1中剩余的运算符
因此结果为“123+4×+5-”（注意需要逆序输出）。
编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。
其中的toPolishNotation（）方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation（）方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：
注：
（1）程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。
有耐心的话可以研究一下。
（2）此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。
[java] viewplain copy
1.package qmk.simple_test;
2.import java.util.Scanner;
3.import java.util.Stack;
4./**
5. * Example of converting an infix-expression to
6. * Polish Notation （PN） or Reverse Polish Notation （RPN）.
7. * Written in 2011-8-25
8. * @author QiaoMingkui
9. */
10.public class Calculator {
11. public static final String USAGE = "== usage ==\n"
12. + "input the expressions, and then the program "
13. + "will calculate them and show the result.\n"
14. + "input 'bye' to exit.\n";
15. /**
16. * @param args
17. */
18. public static void main（String[] args） {
19. System.out.println（USAGE）;
20. Scanner scanner = new Scanner（System.in）;
21. String input = "";
22. final String CLOSE_MARK = "bye";
23. System.out.println（"input an expression:
"）;
24. input = scanner.nextLine（）;
25. while （input.length（） !
= 0
26. && !
CLOSE_MARK.equals（（input））） {
27. System.out.print（"Polish Notation （PN）:
"）;
28. try {
29. toPolishNotation（input）;
30. } catch （NumberFormatException e） {
31. System.out.println（"\ninput error, not a number."）;
32. } catch （IllegalArgumentException e） {
33. System.out.println（"\ninput error:
" + e.getMessage（））;
34. } catch （Exception e） {
35. System.out.println（"\ninput error, invalid expression."）;
36. }
37. System.out.print（"Reverse Polish Notation （RPN）:
"）;
38. try {
39. toReversePolishNotation（input）;
40. } catch （NumberFormatException e） {
41. System.out.println（"\ninput error, not a number."）;
42. } catch （IllegalArgumentException e） {
43. System.out.println（"\ninput error:
" + e.getMessage（））;
44. } catch （Exception e） {
45. System.out.println（"\ninput error, invalid expression."）;
46. }
47. System.out.println（"input a new expression:
"）;
48. input = scanner.nextLine（）;
49. }
50. System.out.println（"program exits"）;
51. }
52. /**
53. * parse the expression , and calculate it.
54. * @param input
55. * @throws IllegalArgumentException
56. * @throws NumberFormatException
57. */
58. private static void toPolishNotation（String input）
59. throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
60. int len = input.length（）;
61. char c, tempChar;
62. Stack s1 = new Stack（）;
63. Stack s2 = new Stack（）;
64. Stack
65. double number;
66. int lastIndex = -1;
67. for （int i=len-1; i>=0; --i） {
68. c = input.charAt（i）;
69. if （Character.isDigit（c）） {
70. lastIndex = readDoubleReverse（input, i）;
71. number = Double.parseDouble（input.substring（lastIndex, i+1））;
72. s2.push（number）;
73. i = lastIndex;
74. if （（int） number == number）
75. expression.push（（int） number）;
76. else
77. expression.push（number）;
78. } else if （isOperator（c）） {
79. while （!
s1.isEmpty（）
80. && s1.peek（） !
= '）'
81. && priorityCompare（c, s1.peek（）） < 0） {
82. expression.push（s1.peek（））;
83. s2.push（calc（s2.pop（）, s2.pop（）, s1.pop（）））;
84. }
85. s1.push（c）;
86. } else if （c == '）'） {
87. s1.push（c）;
88. } else if （c == '（'） {
89. while （（tempChar=s1.pop（）） !
= '）'） {
90. expression.push（tempChar）;
91. s2.push（calc（s2.pop（）, s2.pop（）, tempChar））;
92. if （s1.isEmpty（）） {
93. throw new IllegalArgumentException（
94. "bracket dosen't match, missing right bracket '）'."）;
95. }
96. }
97. } else if （c == ' '） {
98. // ignore
99. } else {
100. throw new IllegalArgumentException（
101. "wrong character '" + c + "'"）;
102. }
103. }
104. while （!
s1.isEmpty（）） {
105. tempChar = s1.pop（）;
106. expression.push（tempChar）;
107. s2.push（calc（s2.pop（）, s2.pop（）, tempChar））;
108. }
109. while （!
expression.isEmpty（）） {
110. System.out.print（expression.pop（） + " "）;
111. }
112. double result = s2.pop（）;
113. if （!
s2.isEmpty（））
114. throw new IllegalArgumentException（"input is a wrong expression."）;
115. System.out.println（）;
116. if （（int） result == result）
117. System.out.println（"the result is " + （int） result）;
118. else
119. System.out.println（"the result is " + result）;
120. }
121. /**
122. * parse the expression, and calculate it.
123. * @param input
124. * @throws IllegalArgumentException
125. * @throws NumberFormatException
126. */
127. private static void toReversePolishNotation（String input）
128. throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
129. int len = input.le
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